精品解析：湖北武汉市东湖新技术开发区武汉光谷未来学校2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段学情检测试题

数学试卷 一、选择题（共10小题，30分） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）定义即可求出答案. 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于熟练掌握相关定义. 2. 将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2，3 B. C. 2，7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绕原点旋转的点的中心对称性质，代入原抛物线表达式推导新表达式． 【详解】解：设旋转后抛物线上任意一点的坐标为， ∵ 抛物线绕原点旋转， ∴ 点关于原点的对称点在原抛物线上， 将代入原表达式，得， 整理得． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦，半径也是弦 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 弦就是直径 D. 长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【解析】 【详解】解：直径是经过圆心的弦，半径一端为圆心不在圆上，不是弦，A错误； 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧还包括优弧、劣弧，故半圆是弧，弧不一定是半圆，B正确． 弦不一定过圆心，故弦不都是直径，C错误． 等弧是能够完全重合的弧，需在同圆或等圆中才存在，仅长度相等的弧不一定是等弧，D错误． 8. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，首先根据二次函数中，可得抛物线开口向下，对称轴为，又根据可知，根据当时，抛物线在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下， 整理可得：， 抛物线的对称轴为，且在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， A选项：当时，可知，且，， 抛物线的对称轴是， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 当点坐标为时的关于对称轴的对称点为， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， ， ， 故A选项错误； B选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 若点、都在右侧时，恒成立， 此时， 解得：； 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时， 可得：， 解得：， 设点的关于对称轴的对称点的横坐标为， 则有， 又， 则有， 解得：， ； 综上所述，当时，或， 故B选项错误； C选项：若点、都在左侧时， ， 恒成立； 此时，， 解得：； 故C选项错误； D选项：当时，可知， 此时点、都在对称轴左侧， 根据二次函数的性质可知， 故D选项正确； 故选：D． 9. 已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，，点同时从点出发，点以的速度沿匀速运动，点沿匀速运动，当点运动到终点时，两点同时停止运动．当点出发秒时，的面积为．已知与的函数关系的图象如图2（曲线和均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（ ） A. B. 曲线的函数表达式为 C. 点的运动速度为 D. 若秒，则 【答案】D 【解析】 【分析】用勾股定理求出，故A选项正确；过点作于点，则，则，得到点的运动速度为，故C选项正确；当时，点在上运动，此时，过点作于点，求出，故选项B正确，求出，故选项D错误． 【详解】解：由图2可知，当时，面积达到最大值，此时点运动到点， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 故A选项正确； 当时，点与点重合，此时， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴点的运动速度为，故C选项正确； 当时，点在上运动，此时，则，，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， 故选项B正确， 当时，，点E在上， ∴，， 在中， 此时，， ∴，故选项D错误． 二、填空题（共6小题，18分） 11. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标的对称规律，解题关键是关于原点的两点坐标分别为．关于原点对称的点横纵坐标分别相反数，据此直接求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 则，即， 故答案为：． 12. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后二次函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 13. 已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【解析】 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 14. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？，设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形宽为步，根据长与宽的和为60步表示出长的长度，结合矩形面积为864平方步的条件，依据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设矩形的宽为步， ∵长与宽共60步， ∴长为步， ∵矩形面积为864平方步，且矩形面积长 宽， ∴可列方程． 15. 菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 16. 已知抛物线经过点，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先根据题意画出抛物线简图，然后根据二次函数图象的性质可得抛物线开口方向向下、对称轴大于零确定a、b的符号，进而判定①；由抛物线可知抛物线的顶点坐标的纵坐标大于1，即，再结合可得，即可判定②；由抛物线经过点、可得，进而判定③；抛物线的对称轴为直线，再利用抛物线的对称性可判定④． 【详解】解：根据题意，画出抛物线的简图如下： 如图，由图可知，抛物线开口方向向下：即， 对称轴，， ∵’ ∴，故①正确； 由题可知：抛物线的顶点坐标的纵坐标大于1，即， ∵， ∴故②正确． 抛物线经过点，， ， ， ，故③错误． ∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称， ，整理，得，故④正确． 故答案为①②④． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解； （2）在中，由勾股定理可求得的长，再在直角中利用三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，，， ∵等边三角形 ∴， ∴ 即， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得，， 为等边三角形， ， ∵， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确求得的长和证明为直角三角形是解题的关键． 19. 如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． （1）求两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式求得，再将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）联立，求得点，然后根据即可求解； （3）由（2）得一次函数与二次函数的交点的横坐标为，根据函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为． ∵抛物线经过点、， ， ∴，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：联立， 解得，或， 点的坐标是， ， 轴，， ． 【小问3详解】 解：根据图象，可知当或时，在的上方， 那么当或时，． 20. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【解析】 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为720cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，点是线段上的任意一点，先画是平行四边形；再在线段上画点，使； （2）在图2中，点是边与网格线的交点，先将线段绕点顺时针旋转得到线段，再在上画点，使． 【答案】（1），点如图所示： （2）线段及点如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质确定点D，连接，即可；连接交于点，连接并延长交于点； （2）先画出线段顺时针旋转后的线段，再由确定点的位置，将线段绕点逆时针旋转得线段，根据点的位置特征，在上确定点，使，连接交于点． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； （2）试推断与之间的数量关系，并说明理由； （3）已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为， （2） （3）①；②的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用，位似图形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据抛物线的顶点坐标公式，求得顶点坐标为，再将代入正比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得，可得顶点坐标，再设抛物线的解析式为，从而可得抛物线 的解析式，结合顶点在上，即可得解； （3）依据题意，由①得抛物线的顶点坐标为，又将抛物线横向、纵向同时放大倍后，可得顶点坐标为，从而抛物线将点代入，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得 ； 【小问2详解】 与之间的数量关系为．理由如下： 由题意，顶点始终在直线上， ∴ ， ． 与之间的数量关系为． 【小问3详解】 ①由题意，， ． 抛物线顶点的横坐标为， 顶点的纵坐标为． 设抛物线的解析式为 抛物线 的解析式为 抛物线 的顶点坐标为 在上 ． ②由①得抛物线的顶点坐标为． 将抛物线横向、纵向同时放大倍后， 顶点坐标为． 抛物线 将点代入得 解得： ∴的值为或． 23. 在探究活动课中，同学们以“两个正方形旋转中的线段关系”为主题开展学习探究活动． （1）如图1，将正方形的两边，分别放在正方形的两边，上，直接写出与的数量与位置关系； （2）若将正方形绕点逆时针旋转至如图2的位置，连接，，，求的值． （3）正方形和正方形边长分别为2和，若将正方形绕点逆时针旋转至如图3的位置，线段与线段将相交，交点为，直接写出与面积之和的最大值． 【答案】（1）， （2）​ （3）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的边相等，通过等量代换，得到；再利用正方形的内角为直角，得到． （2）利用勾股定理求出正方形对角线和边长的数量关系，再根据等量代换得到夹角相等，从而证明，然后由相似比求出的值． （3）先证明，，故在旋转过程中，，则点H是以为直径的圆和以为直径的圆的交点，要使两个三角形的面积最大，即高最大即可，故可得当点H与点A重合时，面积之和最大． 【小问1详解】 解：如图1，四边形和四边形都是正方形， ，，且， ，， ； 与的关系为：，． 【小问2详解】 如下图，连接、： 四边形和四边形都是正方形， 由勾股定理可得，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，即， ，， ，即， ，即； 对于，点H在以为直径的圆上， ∴当点H与点A重合时，的高最大， 同理，对于，点H在以为直径的圆上， ∴当点H与点A重合时，的高最大，如下图所示； 正方形和正方形边长分别为2和​， 此时，， 与面积之和的最大值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及圆上点到直线的距离最值问题，属于几何综合题．解题关键是先通过证明三角形全等得到垂直关系，再结合圆的性质分析三角形面积的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，有一抛物线． （1）如图1，抛物线分别交轴于，交轴于，连接． ①直接写出抛物线和直线的解析式； ②如图1，为第四象限抛物线上的一动点，连接交于，若，求点坐标． （2）如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当时，请判断是否为一个定值，并说明理由． 【答案】（1）①，；② （2）是一个定值，定值为，理由如下： 如图所示，由题意可设点，，， 在中令，得：， ∴， 令，即，该方程的两个根为，， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 同理：设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∵，， ∴，即， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， 将分别代入上式得：， ， 再将，代入得： ， ∴， ∴， 将代入上式得： ， ∴ 由可得：， ∴，整理得：， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴是一个定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）①先求出，，，再利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式；②过点作轴交于，设点，由，可求出，进而可表示出代入直线的解析式求出，即可求出点坐标； （2）设点，，，令，即，可得，再求出，，根据，得出，将，，，代入得，因为，所以是一个定值，定值为． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴， 将点，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得： ∴直线的解析式为； ②如图所示，过点作轴交于， ∵为第四象限抛物线上的一动点， ∴设点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 将点代入直线的解析式得： ，整理得：，解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共10小题，30分） 1. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2，3 B. C. 2，7 D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦，半径也是弦 B. 半圆是弧，但弧不一定是半圆 C. 弦就是直径 D. 长度相等的两条弧是等弧 8. 已知二次函数的图象上有和两点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，点同时从点出发，点以的速度沿匀速运动，点沿匀速运动，当点运动到终点时，两点同时停止运动．当点出发秒时，的面积为．已知与的函数关系的图象如图2（曲线和均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（ ） A. B. 曲线的函数表达式为 C. 点的运动速度为 D. 若秒，则 二、填空题（共6小题，18分） 11. 点与点关于原点对称，则________． 12. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后二次函数的解析式为________． 13. 已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 14. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？，设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为______． 15. 菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是_____． 16. 已知抛物线经过点，其中．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填序号）． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 19. 如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． （1）求两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 20. 如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 21. 如图是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，点是线段上的任意一点，先画是平行四边形；再在线段上画点，使； （2）在图2中，点是边与网格线的交点，先将线段绕点顺时针旋转得到线段，再在上画点，使． 22. 如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； （2）试推断与之间的数量关系，并说明理由； （3）已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 23. 在探究活动课中，同学们以“两个正方形旋转中的线段关系”为主题开展学习探究活动． （1）如图1，将正方形的两边，分别放在正方形的两边，上，直接写出与的数量与位置关系； （2）若将正方形绕点逆时针旋转至如图2的位置，连接，，，求的值． （3）正方形和正方形边长分别为2和，若将正方形绕点逆时针旋转至如图3的位置，线段与线段将相交，交点为，直接写出与面积之和的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，有一抛物线． （1）如图1，抛物线分别交轴于，交轴于，连接． ①直接写出抛物线和直线的解析式； ②如图1，为第四象限抛物线上的一动点，连接交于，若，求点坐标． （2）如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当时，请判断是否为一个定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $