精品解析：河北邯郸市临漳县2026-2027学年上学期九年级期中数学试题

九年级期中质量评估 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 如图所示，已知，点为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 2. 下列命题中，真命题的是（） A. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】判定特殊四边形时，需先明确是否具备平行四边形的前提条件，再结合附加条件判断． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，该命题为假． B．两组邻边相等的四边形不一定是菱形，该命题为假． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该命题为真． D．有一个角是直角且对角线相等的四边形，不满足平行四边形前提时无法判定为矩形，该命题为假． 3. 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ） A. 2.5 m B. 2.75 m C. 3.5 m D. 3.75 m 【答案】A 【解析】 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，，  ，   由镜面反射，可知， ，  ，   ，，，  ，  . 故路灯的高度为. 4. 手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（ ） A. 增加米 B. 减小米 C. 增加米 D. 减小米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 5. 小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵小伟仅看错一次项系数，常数项正确， ∴， ∵小谦仅看错常数项，一次项系数正确， ∴，即. ∴原方程为． 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，与相交于点，则为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形性质证，求出，再利用三角形外角性质求解.  【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， 是的外角， . 7. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，和菱形对角线的性质可求长，进而求出菱形面积，再用等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 9. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 10. 如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则与的大小关系是(　　) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得出，进而根据正方形的面积与矩形的面积可得，即可求解． 【详解】解：． 理由如下： ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴． 故选：B． 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用判别式求出的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解的值． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴ ． 整理得，即． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ ． 代入得， 整理得. 解得. ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ . 12. 如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，则可求出，根据平移的性质得到，据此可证明四边形  是平行四边形；过点  作  于点 ，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：四边形  是菱形， ∴，  分别为  的中点， ； 由平移性质可知 ， ，  四边形  是平行四边形； 过点  作  于点 ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得，，把代入原方程可得，将代入得，进行整理计算即可． 【详解】解：，n分别为一元二次方程的两个实数根， ， 把代入原方程得，， ， ． 14. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在边的点处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，，利用折叠性质得出，，在中利用勾股定理求出，进而求出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着折叠，使点恰好落在边的点处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 15. 如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【解析】 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 16. 如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、， ．若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得，再根据相似三角形的判定，可得，可以得到，计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）该一元二次方程不易因式分解，确定，先算出判别式，再代入求根公式计算得到方程的两个根． （2）先移项把移到左边，提取公因式进行因式分解，转化为两个一次因式乘积等于 0 的形式，求出方程的两个根为 1 和 3． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：移项，得 因式分解，得 ， 或 ． 18. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 19. 阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，代数式的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ， ， ． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 21. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明； （2）由相似三角形的性质推出，进而计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 22. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，点D是线段的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是 矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得到，，证明，结合题意，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可求解； （2）设，则，运用勾股定理得到，，结合矩形的性质得到，由此得到，再根据面积的计算即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵，点D是的中点， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴． 23. 【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 （1）任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据该店5月份”加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份，列出方程进行计算即可； （2）设该款”常州麻糕”应该降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：任务1：设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 【小问2详解】 设该款”常州麻糕”应该降价元，由题意，得： ， 解得：或； ∵要尽快减少库存， ∴； 答：该款”常州麻糕”应该降价3元． 24. 结合图形，解答下列问题： （1）【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型： （2）【类比应用】如图③，在中，，点、、都在直线上，并且．若，，求的长； （3）【拓展探究】如图④，正方形中，，，直接写出的面积______． 【答案】（1）， （2）的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）由可得出对应边相等，可得结果； （2）由角度关系证出，证明，即可得，，最终得出结果； （3）将图形转变为赵爽弦图，可得，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． 【小问2详解】 解：∵． ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：将图④转变为赵爽弦图，如下图所示： 故此可得出， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中质量评估 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 如图所示，已知，点为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题的是（） A. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 3. 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（ ） A. 2.5 m B. 2.75 m C. 3.5 m D. 3.75 m 4. 手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（ ） A. 增加米 B. 减小米 C. 增加米 D. 减小米 5. 小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，与相交于点，则为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 2 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 10. 如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则与的大小关系是(　　) A. B. C. D. 无法确定 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 12. 如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则________． 14. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在边的点处，则的长为________． 15. 如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 16. 如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、， ．若，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 19. 阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 21. 如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，在中，，D，E分别是线段中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 23. 【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 （1）任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 24. 结合图形，解答下列问题： （1）【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型： （2）【类比应用】如图③，在中，，点、、都在直线上，并且．若，，求的长； （3）【拓展探究】如图④，正方形中，，，直接写出的面积______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $