精品解析：内蒙古赤峰市松山区2026——2027学年九年级上学期数学期中试卷

2026-2027学年度上学期期中质量监测 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 如果4是方程的一个根，则这个方程的其他根是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入， 得， 解得． ∴原方程为，即， 解得． ∴方程的其他根为． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 4. 若代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用互为相反数的性质列方程，通过因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：代数式和互为相反数， ， ， ， 或， 解得或． 5. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 6. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点个数的判断，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断图象与轴的交点个数． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点即方程的根， 计算判别式， ， 无实数根， 二次函数的图象与轴没有交点， 故选：A． 7. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. ρ与V的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【解析】 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入​，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 8. 二次函数的图像如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤（）中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”是解答此题的关键．根据二次函数平移法则解答即可． 【详解】解：根据平移法则得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 10. 如图：线段AB的长为1，线段AB上一点C，且满足AC2＝BC•AB，则线段AC的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要求AC的长，可根据AC2＝BC•AB，设AC=x，再根据AB=1，列出关系式即可，即x2＝1×（1﹣x），解出x即为所求，但要保证x必须为正值. 【详解】解：设AC＝x，则BC＝AB﹣AC＝1﹣x， ∵AC2＝BC•AB， ∴x2＝1×（1﹣x）， 解得：x＝或（舍去）， 故答案为 【点睛】本题属于一元二次方程的实际应用题，掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 11. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 12. 反比例函数 （）的图象如图所示，点 是反比例函数图象上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 的面积是 ______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，过图象上任意一点向坐标轴作垂线，连接原点所得三角形面积为； 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵ 轴于点， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解决问题： （1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）是直角三角形， 理由：∵方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【小问1详解】 解：原方程可变为 方程两边同时加一次项一半的平方得： 左边写成完全平方式： 两边同时开平方得： ； 【小问2详解】 略 14. 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）利用配方：将y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，请直接写出函数值y的取值范围． 【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+5，顶点坐标为：（2，5）；（2）＜y≤5． 【解析】 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数顶点坐标得出答案； （2）直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围． 【详解】（1）由题意可得： y=x2+2x+3=（x﹣2）2+5， 顶点坐标为：（2，5）； （2）当﹣1＜x＜3时， 当x=﹣1，y=， 则y的取值范围为：＜y≤5． 【点睛】此题主要考查二次函数的性质，用配方法求顶点坐标以及增减性，熟练掌握，即可解题. 15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，求反比例函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． ∴反比例函数解析式为： 17. 如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 【答案】当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为 【解析】 【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性． 利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案． 【详解】解：依题意，抛物线经过点和， 解得 ∴， ∵， ∴当时，取得最大值3.5， 当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）． （3）存在，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）两个交点是抛物线与轴的公共点，把它们代入含待定系数的解析式，得到关于、的方程组即可确定解析式； （2）的周长中是定长，用轴对称把折线化为直线段，再由两点之间线段最短定出点，最后求相应直线与轴的交点； （3）先求直线的解析式，把动点的坐标用一个字母表示，再按等腰直角三角形直角顶点在、、的三种位置分类，由两条直角边相等与勾股定理列方程求出点的坐标，代入抛物线解析式求解． 【小问1详解】 解：将．代入得． 解之得： ∴此函数解析式为． 【小问2详解】 解：作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点E， 则，， 根据两点之间线段最短，当共线时，， 此时的周长最小， 如图①所示． ， ． 设直线的解析式为，则有 解得 ∴直线的解析式为， 当中时，， ∴当的周长最小时，点E的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． 理由如下： 设直线的解析式为，把、代入，得． 解得． ∴直线的解析式为． 点在直线上，设． 当时点与点重合，不存在，故． 记，则，且． 由勾股定理得． 设，由勾股定理得． 同理． 为等腰直角三角形时，两条直角边相等，斜边的平方等于两条直角边平方之和；直角顶点只能在、、三处，三种情况如图②所示． ①直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得． ∵， ∴，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得． 整理得． 解得(点与点重合，舍去)，，此时． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 两支给出的点都是，对应直线上两个不同的点． ②直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第一式展开后与第二式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 解得，此时点与点重合，舍去． ③直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵，且是斜边， ∴，即． ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 该式只给出，图形退化，这一支舍去． 综上可知，抛物线上存在点，使为等腰直角三角形；②与③得到的点都是，故点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中质量监测 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果4是方程的一个根，则这个方程的其他根是( ) A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 1或2 5. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 7. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. ρ与V的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，ρ的变化范围是 8. 二次函数的图像如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤（）中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是_______． 10. 如图：线段AB的长为1，线段AB上一点C，且满足AC2＝BC•AB，则线段AC的长度是_____． 11. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为_________． 12. 反比例函数 （）的图象如图所示，点 是反比例函数图象上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 的面积是 ______． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解决问题： （1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 14. 已知二次函数y＝x2+2x+3． （1）利用配方：将y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，请直接写出函数值y的取值范围． 15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，求反比例函数解析式． 17. 如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $