精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

松山区2025-2026学年度上学期期中质量监测九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 阳泉市于2021年被正式命名为“国家卫生城市”．为了进一步巩固创卫成果，近日我市多个小区实行垃圾分类，以下是几种常见的垃圾分类标志图片，其文字上方图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为( ) A. B. C. D. 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 某药厂计划把某种药品价格经过两次降价后调整为289元，已知原价为326元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 二、填空题（4小题，每小题3分，共12分） 9. 2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 10. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 11. 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是__________． 12. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有____（填序号）． 三、简答题：（本题共6小题，计64分） 13. （1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 14. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的 （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． （3）若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 15. 某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 16. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求经过、两点的直线解析式； （3）若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 18. 如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，连接；若，，， （1）求证：是直角三角形； （2）求的长； （3）求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区2025-2026学年度上学期期中质量监测九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 阳泉市于2021年被正式命名为“国家卫生城市”．为了进一步巩固创卫成果，近日我市多个小区实行垃圾分类，以下是几种常见的垃圾分类标志图片，其文字上方图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，先将方程化为标准形式，移项后两边加上一次项系数一半的平方．配方法的关键是加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可． 【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形 ∴（且为正整数） ∴至少为 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键． 5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”．即向左平移时在上加平移量，向上平移时在整个函数上加平移量． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 先向左平移2个单位：根据“左加”，得 ， 再向上平移3个单位：根据“上加”，得 ． ∴ 平移后的函数表达式为 ， 故选：B． 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 7. 某药厂计划把某种药品价格经过两次降价后调整为289元，已知原价为326元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；药品经过两次降价，每次降价的百分率相同，均为．最终价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：设原价为326元，每次降价率为，根据题意得， 故选：D． 8. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=-=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 二、填空题（4小题，每小题3分，共12分） 9. 2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 10. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 【答案】16 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解： 解：∵， ∴当时，Ｓ取得最大值64， 即飞机着陆后滑行16秒才能停下来． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解题的关键． 11. 已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系及多项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式， 故答案为：． 12. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有____（填序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x=1，过（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=1时，y=a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点， ∴二次函数的最大值为a+b+c；因此①正确； ∵当x=-1时，y=a-b+c=0，因此②不正确； 抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac＞0，因此③不正确； 由图象可知，当y＞0时，-1＜x＜3，因此④正确； 综上所述，正确的有：①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提． 三、简答题：（本题共6小题，计64分） 13. （1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 【答案】（1），； （2） 解∶ ， ， 故无论x取何实数，代数式的值总大于0． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法的应用； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法将代数式化为，根据非负数的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ，． （2）略 14. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的 （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． （3）若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键． (1) 先求出中三个点关于原点对称的点坐标，再依次连接即可画出关于原点对称的； (2) 先利用旋转性质求出的坐标，再依次连接即可画出； (3)根据旋转中心即为对应点连线的垂直平分线的交点，即可确定旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为， 故答案为：． 15. 某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件定价为元时利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件涨价元，每星期售出商品的利润为元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：设每件涨价元，每星期售出商品的利润为元． 由题意得， ， 当时，有最大值， ， 答：每件定价为元时利润最大． 16. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【答案】该运动员的成绩是 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键，根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为，设此二次函数的解析式为，将点A的坐标代入解析式中，即可求出二次函数的解析式，然后将代入解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】解：根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为， 设此二次函数的解析式为， 将点A的坐标代入解析式中，得 解得：， ∴此二次函数的解析式为 将代入解析式中，得 解得：（不符合题意，舍去） 即该运动员的成绩是． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求经过、两点的直线解析式； （3）若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）有最大值；此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数解析式的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （3）过点作轴垂线，垂足为，交于点，设，则，求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得面积的最大值，进而求得点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，有， 解得：， 点在点左侧， 点的坐标为． 设过，两点的直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问3详解】 解：有最大值； 如图，过点作轴垂线，垂足为，交于点， 设，则 又：点在上方 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为； 18. 如图，点是正方形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得到，连接；若，，， （1）求证：是直角三角形； （2）求的长； （3）求正方形的边长． 【答案】（1） 绕点顺时针旋转得到， ，，，． 为等腰直角三角形． ，． ． 是直角三角形； （2） （3）正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定； （1）根据旋转的性质可得，，，进而可得为等腰直角三角形，得出，即可得证； （2）根据勾股定理，即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得是等腰直角三角形，勾股定理求得，即可求得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，根据勾股定理，得 ． 【小问3详解】 过点作交的延长线于． ， ． 是等腰直角三角形． ． ． 在中，根据勾股定理，得． 正方形的边长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $