第三十四章 概率初步 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学下册

概率初步 单元测试卷（原卷版） 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 班级：　　　　　　姓名：　　　　　　学号：　　　　　　得分：　　　　　　 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列现象中，属于中心投影的是（　　） A．阳光下旗杆的影子　　B．路灯下行人的影子 C．日晷上晷针的影子　　D．阳光下窗框在地面上的影子 2．一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（　　） A．圆锥　　B．圆柱　　C．球　　D．三棱柱 3．福建土楼中的圆形土楼可近似地看作圆柱．关于这个圆柱的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同　　B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同　　D．三种视图都相同 4．同一时刻，身高 1.6 m 的小华在阳光下的影长为 2 m，旁边旗杆的影长为 12.5 m，则旗杆的高度是（　　） A．8 m　　B．10 m　　C．12 m　　D．12.5 m 5．晚上，小明沿一条直线先走向路灯，从灯下走过以后再继续向前走．在这一过程中，他在地面上的影子长度（　　） A．一直变长　　B．一直变短　　C．先变长，后变短　　D．先变短，后变长 6．一个长方体的主视图是长为 4、宽为 3 的矩形，左视图是长为 2、宽为 3 的矩形，则这个长方体的体积是（　　） A．12　　B．24　　C．36　　D．48 7．由若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 8．一块三角形纸板 ABC 平行于投影面放置，在平行光线的照射下形成的投影是 △A′B′C′．若 BC=6，B′C′=9，△ABC 的面积为 8，则 △A′B′C′ 的面积为（　　） A．12　　B．16　　C．18　　D．24 9．如图，点光源 O 把胶片上的图案投影到与胶片平行的屏幕上．胶片上图案的高度为 4 cm，点光源到胶片的距离为 10 cm，点光源到屏幕的距离为 30 cm，则屏幕上图案的高度为（　　） A．8 cm　　B．10 cm　　C．12 cm　　D．16 cm 10．一个圆柱的主视图和左视图都是长为 6、宽为 4 的矩形，俯视图是直径为 4 的圆（如图），则这个圆柱的表面积是（　　） A．24π　　B．28π　　C．32π　　D．36π 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．日晷是我国古代的一种计时仪器，晷针在晷面上形成的影子属于________投影． 12．一个圆柱的俯视图是直径为 6 的圆，主视图是面积为 24 的矩形，则这个圆柱的高为________． 13．同一时刻，1 m 长的竹竿在阳光下的影长为 1.5 m．一棵树的影子一部分落在地面上，长 6 m；另一部分落在竖直的墙面上，高 2 m，则这棵树的高度为________m． 14．一个圆形桌面的半径为 0.6 m，桌面离地面的高度为 0.8 m．在桌面正上方有一盏灯，灯泡离桌面的高度为 1.2 m，灯光照射桌面在地面上形成一个圆形阴影，则这个阴影的面积为________m²（结果保留 π）． 15．一个圆柱的侧面展开图是面积为 12π 的矩形，它的底面半径为 2，则这个圆柱的高为________． 16．把一个面积为 12 的三角形纸板放在投影面 P 的上方，当纸板与投影面平行时，它的正投影的面积是 12；当纸板与投影面不平行时，它的正投影的面积________12（填“>”“<”或“=”）． 三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）如图，由 5 个大小相同的小正方体搭成了一个几何体． （1）画出这个几何体的主视图； （2）画出它的左视图； （3）画出它的俯视图． 18．（8 分）一个圆锥的三视图如图所示，主视图是底边长为 6、高为 4 的等腰三角形． （1）这个几何体是什么？它的俯视图是什么图形？ （2）求这个圆锥的母线长； （3）求这个圆锥的全面积（结果保留 π）． 19．（8 分）如图，路灯 PO 垂直于地面，O 为灯柱底部，P 为灯泡的位置，PO=5.6 m．小明身高 AB=1.6 m，站在距灯柱底部 6 m 的 B 处，他的影子为 BC． （1）求影子 BC 的长； （2）若小明沿 BO 方向向路灯走近 2 m，他的影子长度变化了多少？ 20．（8 分）同一时刻，身高 1.5 m 的小明在阳光下的影长为 2 m．一棵树的影子一部分落在地面上，长 8 m；另一部分落在竖直的墙面上，高 1.8 m． （1）求这棵树的高度； （2）求此时太阳光线与地面所成角的正切值． 21．（10 分）一个几何体由圆柱和圆锥组成，它的三视图如图所示．已知圆柱的底面直径为 8，高为 6，圆锥的高为 3． （1）说明这个几何体是怎样组合而成的； （2）求这个几何体的体积（结果保留 π）； （3）求这个几何体的表面积（结果保留 π）． 22．（10 分）由若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示． （1）这个几何体最多由多少个小正方体搭成？ （2）这个几何体最少由多少个小正方体搭成？ 23．（10 分）一个长方体木块的长为 8 cm、宽为 6 cm、高为 5 cm，现从上底面正中挖去一个底面直径为 4 cm、深 3 cm 的圆柱形孔． （1）画出挖孔后这个几何体的主视图和俯视图（只画轮廓和能看到的孔壁，不标注尺寸）； （2）求挖孔后这个几何体的体积（结果保留 π）． 24．（12 分）一个直三棱柱的三视图如图所示，主视图是底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，左视图是长为 5、宽为 4 的矩形． （1）这个几何体的底面是什么形状？它的侧棱长是多少？ （2）求这个三棱柱的侧面积； （3）求这个三棱柱的体积． 25．（12 分）身高 1.6 m 的小明在路灯下沿直线行走．他第一次站在 A 处时，影长为 2.4 m；然后向路灯方向走近 3 m 到达 B 处，此时影长为 1.2 m．设路灯的高度为 h m，A 处到路灯底部的距离为 x m． （1）用含 x 的式子表示 h； （2）求路灯的高度； （3）当小明站在距路灯底部 4 m 处时，求他的影长． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率初步 单元测试卷（解析版） 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 （本册为教师用解析版，逐题附答案与解析） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列现象中，属于中心投影的是（　　） A．阳光下旗杆的影子　　B．路灯下行人的影子 C．日晷上晷针的影子　　D．阳光下窗框在地面上的影子 【答案】B 【解析】A、C、D 中的光线都是太阳光，太阳光是平行光线，形成的投影是平行投影； B 中路灯的光线从一点发出，形成的投影是中心投影．故选 B． 2．一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是（　　） A．圆锥　　B．圆柱　　C．球　　D．三棱柱 【答案】B 【解析】俯视图是圆，说明这个几何体是由曲面围成的旋转体；主视图、左视图都是矩形，说明它的侧面展开后是矩形，符合圆柱的特征， 圆锥的主视图是三角形，球的三视图都是圆，三棱柱的俯视图是多边形．故选 B． 3．福建土楼中的圆形土楼可近似地看作圆柱．关于这个圆柱的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同　　B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同　　D．三种视图都相同 【答案】A 【解析】圆柱的主视图和左视图都是矩形，矩形的长等于圆柱的底面直径、宽等于圆柱的高，所以两者相同； 俯视图是圆，与主视图、左视图都不同．故选 A． 4．同一时刻，身高 1.6 m 的小华在阳光下的影长为 2 m，旁边旗杆的影长为 12.5 m，则旗杆的高度是（　　） A．8 m　　B．10 m　　C．12 m　　D．12.5 m 【答案】B 【解析】同一时刻，平行投影下物体的高度与影长成正比，，解得 h=10．故选 B． 5．晚上，小明沿一条直线先走向路灯，从灯下走过以后再继续向前走．在这一过程中，他在地面上的影子长度（　　） A．一直变长　　B．一直变短　　C．先变长，后变短　　D．先变短，后变长 【答案】D 【解析】人走向路灯时，人与灯的距离变小，影子变短；走过灯下继续远离时，距离变大，影子又变长， 所以影子先变短、后变长．故选 D． 6．一个长方体的主视图是长为 4、宽为 3 的矩形，左视图是长为 2、宽为 3 的矩形，则这个长方体的体积是（　　） A．12　　B．24　　C．36　　D．48 【答案】B 【解析】由主视图可知长方体的长为 4、高为 3，由左视图可知宽为 2，所以体积为 4×2×3=24．故选 B． 7．由若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 【答案】C 【解析】俯视图有 4 个位置可以放小正方体：后排从左到右 3 个，前排中间 1 个． 主视图说明从左到右三列的最高层数依次是 1、2、1，所以前排中间与后排中间的位置都可以放 2 个， 最多为 1+2+1+2=6（个）．故选 C． 8．一块三角形纸板 ABC 平行于投影面放置，在平行光线的照射下形成的投影是 △A′B′C′．若 BC=6，B′C′=9，△ABC 的面积为 8，则 △A′B′C′ 的面积为（　　） A．12　　B．16　　C．18　　D．24 【答案】C 【解析】纸板与投影面平行时，投影与原图形相似，相似比为 ， 所以面积比为 ²=，△A′B′C′ 的面积为 ．故选 C． 9．如图，点光源 O 把胶片上的图案投影到与胶片平行的屏幕上．胶片上图案的高度为 4 cm，点光源到胶片的距离为 10 cm，点光源到屏幕的距离为 30 cm，则屏幕上图案的高度为（　　） A．8 cm　　B．10 cm　　C．12 cm　　D．16 cm 【答案】C 【解析】胶片与屏幕平行，所以胶片上的图案与屏幕上的图案是位似图形，位似中心是点光源 O， 相似比为 10∶30=1∶3，屏幕上图案的高度为 4×3=12（cm）．故选 C． 10．一个圆柱的主视图和左视图都是长为 6、宽为 4 的矩形，俯视图是直径为 4 的圆（如图），则这个圆柱的表面积是（　　） A．24π　　B．28π　　C．32π　　D．36π 【答案】C 【解析】由三视图可知圆柱的底面直径为 4，半径为 2，高为 6， 表面积 =2πr²+2πrh=2π×4+2π×2×6=8π+24π=32π．故选 C． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．日晷是我国古代的一种计时仪器，晷针在晷面上形成的影子属于________投影． 【答案】平行 【解析】晷针的影子是太阳光照射形成的，太阳光线可以看作平行光线，所以是平行投影． 12．一个圆柱的俯视图是直径为 6 的圆，主视图是面积为 24 的矩形，则这个圆柱的高为________． 【答案】4 【解析】主视图矩形的长等于底面直径 6，设高为 h，则 6h=24，h=4． 13．同一时刻，1 m 长的竹竿在阳光下的影长为 1.5 m．一棵树的影子一部分落在地面上，长 6 m；另一部分落在竖直的墙面上，高 2 m，则这棵树的高度为________m． 【答案】6 【解析】地面上 6 m 的影子对应的高度为 （m）， 墙上的影子高 2 m 相当于把树顶这一段“竖”起来，所以树高为 4+2=6（m）． 14．一个圆形桌面的半径为 0.6 m，桌面离地面的高度为 0.8 m．在桌面正上方有一盏灯，灯泡离桌面的高度为 1.2 m，灯光照射桌面在地面上形成一个圆形阴影，则这个阴影的面积为________m²（结果保留 π）． 【答案】π 【解析】灯泡离地面的高度为 0.8+1.2=2（m），阴影圆的半径与桌面半径之比等于 2∶1.2=5∶3， 所以阴影圆的半径为 （m），面积为 π×1²=π（m²）． 15．一个圆柱的侧面展开图是面积为 12π 的矩形，它的底面半径为 2，则这个圆柱的高为________． 【答案】3 【解析】侧面展开图矩形的长为底面周长 2π×2=4π，设高为 h，则 4πh=12π，h=3． 16．把一个面积为 12 的三角形纸板放在投影面 P 的上方，当纸板与投影面平行时，它的正投影的面积是 12；当纸板与投影面不平行时，它的正投影的面积________12（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】正投影时，纸板与投影面平行则投影与原图形全等，面积相等； 纸板与投影面不平行时，投影会被“压扁”，面积小于原图形的面积． 三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）如图，由 5 个大小相同的小正方体搭成了一个几何体． （1）画出这个几何体的主视图； （2）画出它的左视图； （3）画出它的俯视图． 【答案】主视图 3 列，从左到右依次有 3、1、1 个小正方形；左视图 1 列 3 个小正方形；俯视图 3 个小正方形排成一行 【解析】从正面看，左边一列有 3 层，中间和右边各 1 层，所以主视图由 3 列小正方形组成，自左向右依次是 3 个、1 个、1 个，下边对齐； 从左面看，只有一列，共 3 层，所以左视图是 3 个小正方形竖直排成一列； 从上面看，3 个小正方形横向排成一行，所以俯视图是 3 个小正方形排成一行． 画出的三视图如下． 18．（8 分）一个圆锥的三视图如图所示，主视图是底边长为 6、高为 4 的等腰三角形． （1）这个几何体是什么？它的俯视图是什么图形？ （2）求这个圆锥的母线长； （3）求这个圆锥的全面积（结果保留 π）． 【答案】（1）圆锥，俯视图是直径为 6 的圆；（2）5；（3）24π 【解析】（1）主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，所以这个几何体是圆锥，俯视图是直径为 6 的圆． （2）圆锥的底面半径为 3，高为 4，母线长为 ． （3）侧面积 =πrl=π×3×5=15π，底面积 =π×3²=9π，全面积为 15π+9π=24π． 19．（8 分）如图，路灯 PO 垂直于地面，O 为灯柱底部，P 为灯泡的位置，PO=5.6 m．小明身高 AB=1.6 m，站在距灯柱底部 6 m 的 B 处，他的影子为 BC． （1）求影子 BC 的长； （2）若小明沿 BO 方向向路灯走近 2 m，他的影子长度变化了多少？ 【答案】（1）2.4 m；（2）变短 0.8 m 【解析】（1）由题意得 △ABC∽△POC，所以 ，即 =BC/(BC+6)， 解得 BC=2.4（m）． （2）走近 2 m 后，他到灯柱底部的距离为 4 m，设此时影长为 s m， 则 =s/(s+4)，解得 s=1.6（m）， 2.4-1.6=0.8（m），所以影子变短了 0.8 m． 20．（8 分）同一时刻，身高 1.5 m 的小明在阳光下的影长为 2 m．一棵树的影子一部分落在地面上，长 8 m；另一部分落在竖直的墙面上，高 1.8 m． （1）求这棵树的高度； （2）求此时太阳光线与地面所成角的正切值． 【答案】（1）7.8 m；（2） 【解析】（1）地面上 8 m 的影子对应的高度为 （m），再加上墙上的影高 1.8 m， 所以树高为 6+1.8=7.8（m）． （2）设太阳光线与地面所成的角为 α，则 tanα=小明身高/小明影长=． 21．（10 分）一个几何体由圆柱和圆锥组成，它的三视图如图所示．已知圆柱的底面直径为 8，高为 6，圆锥的高为 3． （1）说明这个几何体是怎样组合而成的； （2）求这个几何体的体积（结果保留 π）； （3）求这个几何体的表面积（结果保留 π）． 【答案】（1）圆柱在下、圆锥在上，圆锥的底面与圆柱的上底面重合；（2）112π；（3）84π 【解析】（1）由三视图可知，这个几何体是圆柱与圆锥的组合体：圆柱在下，圆锥在上，圆锥的底面与圆柱的上底面重合． （2）圆柱的体积为 π×4²×6=96π，圆锥的体积为 π×4²×3=16π， 所以这个几何体的体积为 96π+16π=112π． （3）圆柱的侧面积为 2π×4×6=48π，下底面积为 π×4²=16π； 圆锥的母线长为 ，侧面积为 π×4×5=20π， 所以表面积为 48π+16π+20π=84π． 22．（10 分）由若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示． （1）这个几何体最多由多少个小正方体搭成？ （2）这个几何体最少由多少个小正方体搭成？ 【答案】（1）11 个；（2）9 个 【解析】俯视图有 5 个位置：后排 3 个，前排左右各 1 个；主视图说明从左到右三列的最高层数依次是 2、3、2． （1）每个位置都放到该列允许的最大层数，最多为 2+3+2+2+2=11（个）． （2）中间一列只有后排一个位置，必须放 3 个；左右两列各有两个位置，其中至少有一个位置要达到该列的最高层数 2， 所以最少为 2+1+3+1+2=9（个）． 23．（10 分）一个长方体木块的长为 8 cm、宽为 6 cm、高为 5 cm，现从上底面正中挖去一个底面直径为 4 cm、深 3 cm 的圆柱形孔． （1）画出挖孔后这个几何体的主视图和俯视图（只画轮廓和能看到的孔壁，不标注尺寸）； （2）求挖孔后这个几何体的体积（结果保留 π）． 【答案】（1）主视图是长 8、高 5 的矩形，中间有两条相距 4 的竖线；俯视图是长 8、宽 6 的矩形，正中有一个直径为 4 的圆；（2）240-12π 【解析】（1）从正面看，木块的轮廓是长 8、高 5 的矩形，孔壁在中间呈现出两条相距 4 的竖线； 从上面看，轮廓是长 8、宽 6 的矩形，孔口是正中一个直径为 4 的圆． （2）长方体的体积为 8×6×5=240（cm³），圆柱形孔的体积为 π×2²×3=12π（cm³）， 所以挖孔后几何体的体积为 (240-12π) cm³． 24．（12 分）一个直三棱柱的三视图如图所示，主视图是底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，左视图是长为 5、宽为 4 的矩形． （1）这个几何体的底面是什么形状？它的侧棱长是多少？ （2）求这个三棱柱的侧面积； （3）求这个三棱柱的体积． 【答案】（1）底面是底边 6、高 4 的等腰三角形，侧棱长 5；（2）80；（3）60 【解析】（1）由主视图可知底面是底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，腰长为 ；由左视图可知侧棱长为 5． （2）底面三角形的周长为 6+5+5=16，侧面积为 16×5=80． （3）底面面积为 ×6×4=12，体积为 12×5=60． 25．（12 分）身高 1.6 m 的小明在路灯下沿直线行走．他第一次站在 A 处时，影长为 2.4 m；然后向路灯方向走近 3 m 到达 B 处，此时影长为 1.2 m．设路灯的高度为 h m，A 处到路灯底部的距离为 x m． （1）用含 x 的式子表示 h； （2）求路灯的高度； （3）当小明站在距路灯底部 4 m 处时，求他的影长． 【答案】（1）h=(x+2.4)；（2）5.6 m；（3）1.6 m 【解析】（1）在 A 处时，由相似三角形得 ，所以 h=(x+2.4)． （2）在 B 处时，他到路灯底部的距离为 (x-3) m，影长为 1.2 m， 由相似三角形得 ，所以 h=(x-1.8)． 于是 (x+2.4)=(x-1.8)，解得 x=6，h=×8.4=5.6（m）． （3）设影长为 s m，则 =s/(s+4)，解得 s=1.6（m）． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $