精品解析：广东深圳市南头中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

南头中学2026~2027学年第一学期期中考试 高一 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算,化简即可求得. 【详解】因为集合,集合 由集合的交集运算可知 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 2. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性直接判断即可. 【详解】函数，，在上都是单调递增的，BCD不是； 函数在上单调递减，A是. 故选：A 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域代入求解. 【详解】因为已知函数， 所以，则， 故选：D 4. 奇函数在区间上为减函数，且又最小值2，则它在区间上（ ） A. 是减函数，有最大值-2 B. 是增函数，有最大值-2 C. 是减函数，有最小值-2 D. 是增函数，有最小值-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，同时对称区间上的最大值和最小值对应相反，由此判断函数的单调性和最小值. 【详解】因为区间与区间关于原点对称且是奇函数，所以在上递减， 又因为在区间上的最小值为，所以在区间上的最大值为， 综上可知：在区间上是减函数，有最大值. 故选A. 【点睛】奇函数在对称区间上的单调性相同，奇函数在对称区间上的最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，偶函数在对称区间上的最值相同. 5. 如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设两根为，，方程有一正根一负根，则，解得； 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 令，由于，其中，故． 将代入原函数式，可得， 将变量换为，即有． 7. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 8. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，再判断哪个选项对应的集合是该范围的真子集，即为所求的充分不必要条件. 【详解】若命题“”为真命题，等价于存在使得成立. 当时，的取值范围为，因此只需， 即原命题为真的充要条件是 对应集合为， 充分不必要条件对应的集合应为的真子集，逐一分析选项： 选项A：对应集合包含为必要不充分条件，不符合要求； 选项B：对应集合，包含，为必要不充分条件，不符合要求； 选项C：对应集合与充要条件集合相等，为充要条件，不符合要求； 选项D：对应集合是的真子集，为充分不必要条件，符合要求. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象经过定点 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，不妨取，则，A错； 对于B选项，因为， 且函数为上的减函数，故， 所以函数的值域为，B对； 对于C选项，对于函数（且），令可得， 故函数的图象过定点，C对； 对于D选项，函数过点，但函数不过点， 所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错. 11. 已知定义在上的单调函数满足：对任意，都有且.则以下结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时， C. 函数是奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过赋值法，求得，，再根据函数的性质，逐项判断即可. 【详解】令，代入，得，即， 又，所以， 对于A选项，因为为定义在上的单调函数，又，， 所以函数在上单调递增，故A正确； 对于B选项，在中令，得. 由可知，, 当时，则，又，所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以， 所以， 又，所以， 即，所以函数为奇函数，故C正确； 对于D选项，因为，所以，， 所以，当且仅当，即时取等， 又， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 函数(且)的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的定义域为， 所以，不等式的解集为， 因此，函数是减函数，即， 故实数的取值范围为. 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 由得，所以， 解得，即m的取值范围是； 【小问3详解】 当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）求关于的不等式：的解集． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的形式求解即可. （2）根据一元二次不等式解集的形式，分情况讨论求解. 【小问1详解】 当时，不等式就是， 所以，解得. 所以所求不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式可化为， 也就是. 若，即，则不等式的解为或； 若，即，则不等式可化为，解集为； 若，即，则不等式的解集为或. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义法证明：函数在上单调递增； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）为奇函数 （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【小问1详解】 由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 18. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1） （2）当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【解析】 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时， 当时， 因为时，，解得 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 19. 已知幂函数是偶函数． （1）求的解析式； （2）设，求在区间上的最小值的解析式： （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【小问1详解】 由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. 【小问2详解】 当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南头中学2026~2027学年第一学期期中考试 高一 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. 1 B. 6 C. 8 D. 9 4. 奇函数在区间上为减函数，且又最小值2，则它在区间上（ ） A. 是减函数，有最大值-2 B. 是增函数，有最大值-2 C. 是减函数，有最小值-2 D. 是增函数，有最小值-2 5. 如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象经过定点 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 11. 已知定义在上的单调函数满足：对任意，都有且.则以下结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 当时， C. 函数是奇函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ____________． 13. 函数(且)的定义域是 ，则实数的取值范围为____. 14. 已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）求关于的不等式：的解集． 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义法证明：函数在上单调递增； （3）求不等式的解集. 18. 第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. （1）求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； （2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 19. 已知幂函数是偶函数． （1）求的解析式； （2）设，求在区间上的最小值的解析式： （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $