精品解析：辽宁省辽阳高中联合体2026-2027学年高一上学期期中数学学科试卷

联合体期中考试高一数学学科试卷 试卷满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组函数为同一函数的是（　 　） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 ，则下列区间中一定包含 零点的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有 ，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数 的值域为 B. 函数 的值域为 C. 函数 的值域为 D. 函数 的值域为 11. 已知函数在上单调递增，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则_____________________. 13. 已知集合 ，集合 ，且 ，则实数 的值为______． 14. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是_______________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，非空集合，其中. （1）当时，求； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 16. （1）已知 ， 且 ，求 的最小值； （2）已知 为二次函数，且 ，求 ． 17. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 19. 定义：若函数的定义域为 ，且对任意 都有 ，则称 为“恒越函数”． （1）判断 是否为“恒越函数”，并说明理由； （2）若 为“恒越函数”，求实数 的取值范围； （3）若 均为“恒越函数”，求证：对任意 都有 ； （4）若 为“恒越函数”，且对任意 都有 ，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 联合体期中考试高一数学学科试卷 试卷满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知： 所以，， 所以答案选A 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题. 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 可得命题的否定为：. 故选：C. 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图象，利用奇偶性的定义和单调性的定义可判断. 【详解】是偶函数，在内为增函数，不合题意； 是奇函数，但在定义域内不是减函数，不合题意； 是偶函数，在为增函数，不合题意； 作函数的图象，观察图象可得是奇函数，且在定义域内为减函数，符合题意. 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解绝对值不等式和分式不等式，根据两个范围的包含关系，结合充要条件的判断方法即得结论. 【详解】，即， 或，即， 因是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 下列各组函数为同一函数的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同一函数应满足：函数的定义域与对应关系相同，据此逐项判断是否为同一函数. 【详解】A．的定义域为，定义域也为，满足； B．的定义域为，定义域为，定义域不同，不符； C．的定义域为，定义域为，定义域不同，不符； D．因为，所以，所以定义域为；又因为，所以或，所以定义域为或，定义域不同，不符； 故选A. 【点睛】判断两个函数是否为同一函数，先看两个函数定义域是否相同，若不同则不是同一函数，若相同再看对应关系是否相同，对应关系也相同则为同一函数，对应关系不同则不是同一函数. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数m和n，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：C. 7. 若函数 ，则下列区间中一定包含 零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】依题意得， 函数在上均单调递减， 又， ， ， ， ， 根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有 ，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数的单调性、奇偶性、过定点等性质，然后分类讨论解不等式. 【详解】因为对任意，且，都有， 所以在上单调递减， 又因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增，且， 由得 所以或，则或， 由的单调性可知或，解得或， 所以不等式的解集为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值检验，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，则，故A正确； 选项B：若，满足， 但，故B错误； 选项C：因为，且，所以，故C正确； 选项D：因为，，所以， 又，所以，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数 的值域为 B. 函数 的值域为 C. 函数 的值域为 D. 函数 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、基本不等式的性质等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，所以函数 的值域为，A正确； 对于B，令，则，化简得， 解得，而，所以B错误； 对于C，令，则，所以. 又，所以，所以函数 的值域为，C正确； 对于D，当时，；当时，. 当时，根据基本不等式的性质，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，，根据基本不等式的性质，， 当且仅当时等号成立，此时，那么，所以. 综上，函数 的值域为，D正确. 11. 已知函数在上单调递增，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先分析各段函数在对应区间上单调递增，然后结合分段点处函数值大小关系确定出的可取值. 【详解】依题意得，，解得， 故AC选项正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再代入求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为： 13. 已知集合 ，集合 ，且 ，则实数 的值为______． 【答案】 或 或 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，再由，可得，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】 且， ，， 时，，满足题意； 时，，则或，解得或， 的值可能为． 14. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是_______________________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式可得. 【详解】因为，，使得， 所以，对，，有， 因为在上单调递增，所以， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上的最大值为， 故，解. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，非空集合，其中. （1）当时，求； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的并集和补集运算定义求解. （2）由已知可得，再结合非空列出不等式组求解. 【小问1详解】 当时，，而，则， 所以或. 【小问2详解】 由命题“，都有”是真命题，得，而 B 为非空集合， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. （1）已知 ， 且 ，求 的最小值； （2）已知 为二次函数，且 ，求 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据条件，将所给式子转化，然后用基本不等式以及巧用“1”求最值； （2）设出二次函数解析式，代入已知等式，待定系数法即可得解. 【详解】（1）已知 ， 且 ，两边同除以得； 所以； 当且仅当，即时取等号，此时，； 所以的最小值为； （2）设， 则； 由题意得，，； 解得，，，所以． 17. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 【答案】（1）； （2） 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年平均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 【解析】 【分析】（1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 略 18. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 19. 定义：若函数的定义域为 ，且对任意 都有 ，则称 为“恒越函数”． （1）判断 是否为“恒越函数”，并说明理由； （2）若 为“恒越函数”，求实数 的取值范围； （3）若 均为“恒越函数”，求证：对任意 都有 ； （4）若 为“恒越函数”，且对任意 都有 ，求证：． 【答案】（1）函数的定义域为， 因为，即，也就是对任意 都有 所以是“恒越函数”； （2） （3）因为是“恒越函数”，根据定义，对任意，有， 又因为是“恒越函数”，根据定义，对任意实数，都有， 令（为实数，满足的定义域要求），代入得， 结合不等式的传递性，由且，可得， 即对任意，都有； （4）假设存在，使得，令，则由假设可知。 因为是“恒越函数”，对任意实数都满足，将代入得，即。 结合假设，可得， 即，这与题设条件“对任意都有”矛盾， 因此假设不成立，即不存在使得， 又由“恒越函数”的定义可知，对任意都有， 综上，且不能大于，故对任意，必有. 【解析】 【分析】（1）的定义域为，且对任意 都有 ，满足“恒越函数”的定义； （2）将“恒越函数”的条件等价转化为一元二次不等式在上的恒成立问题，利用二次函数的判别式的约束求解参数； （3）两次运用“恒越函数”的定义进行放缩，先对内层函数使用定义，再将作为整体代入外层函数的定义中，最后通过不等式的传递性完成证明； （4）采用反证法，结合恒越函数的放缩性质推出与题设矛盾的结论，从而否定“”的可能，再结合原定义的，最终推导出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，由“恒越函数”的定义可知，对任意恒成立，即 ， 要使其对全体实数恒成立，则，即，解得， 因此，实数的取值范围为 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $