精品解析：山西大同市第一中学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

大同一中2026—2027学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西是中华民族重要发祥地之一，其自然美景、历史文化遗产、革命史迹等共同构成了山西多姿多彩的旅游资源，下列山西旅游景点图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线 的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 6. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 8. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 12. 已知二次函数，将其配成顶点式为______________． 13. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚．则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为______________． 15. 如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，于点，交于点．若，，则的长为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为_________． 19. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 20. 大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝．喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面． （1）求这条水流抛物线的函数表达式； （2）在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离． 21. 下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） （2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 23. 综合与探究 问题情境：已知，如图1，在中，，．点是的中点，点在的延长线上，且．保持不动，将从图1的位置开始，绕点顺时针旋转角得到，，的对应点分别为、． 初步思考： （1）求证：； 操作探究： （2）如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当与的边平行时，且直线交直线于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同一中2026—2027学年第一学期九年级期中考试 数学试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 山西是中华民族重要发祥地之一，其自然美景、历史文化遗产、革命史迹等共同构成了山西多姿多彩的旅游资源，下列山西旅游景点图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2. 抛物线 的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线顶点式的性质是解题关键． 抛物线 的对称轴是直线 ，观察所给顶点式，判断对称轴即可． 【详解】∵ ， ∴ 对称轴为直线 ， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：将原方程移项，得． ∵，，， ∴． ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 5. 根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 6. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程为， 故选：C． 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC． 【详解】解：依题意旋转角∠A′CA=40°， 由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°， 由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°． 故选A． 8. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 10. 已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系整体代入计算． 【详解】解：， 由根与系数的关系得，，． ∴． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答． 【详解】∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 已知二次函数，将其配成顶点式为______________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 14. 2026年山西文旅暑期推广季在平遥古城启动，“怡然见晋中”活动带火三晋文创．某书店五月销售《人说山西好风光》主题书签200枚，随着暑期推广季持续升温，七月销量达到288枚．则该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为x，根据五月份和七月份的销量建立方程求解即可． 【详解】解：设该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该店五月到七月主题书签销售量平均每月增长率为． 15. 如图，四边形是正方形，为上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，于点，交于点．若，，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质可得，，证明三点共线；证明垂直平分，得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴三点共线； ∵，， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得，， 配方得， 解得， 【小问2详解】 解：． ． ． 或 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是：． （1）画出 关于原点O 的中心对称图形 （2）画出 绕点 O 顺时针旋转得到 ，并写出点 的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先作出 关于的对称点，然后顺次连接即可； （2）先作出 绕顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可，并写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为_________． 【答案】（1）为，； （2）或。 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、联立函数解析式解方程组以及利用函数图象解不等式的方法是解题的关键． （1）先将点横坐标代入一次函数求，得点坐标后代入反比例函数求，再联立两个函数解析式解方程组求点坐标． （2）观察图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：点在上， ， ， 在上， ， ， 反比例函数表达式为， 联立得， 两边同乘得， ， 或， 当时，， ； 【小问2详解】 解： ，， 观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为或． 19. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 20. 大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝．喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面． （1）求这条水流抛物线的函数表达式； （2）在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把代入得：； 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：把代入解析式得 解得， ∴、两点之间的水平距离为． 21. 下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【答案】（）画图如下： 一次，反比例； （）①，；② 【解析】 【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒；（用含x的代数式表示） （2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） （3）①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）①；②第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用，运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）设第x天的单价，利用待定系数法求解； （2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可； （3）①由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；②列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 即（元）与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①由图象可知：二次函数的图象经过点，， 代入，得：， 解得， ； ②， ， 当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元． 23. 综合与探究 问题情境：已知，如图1，在中，，．点是的中点，点在的延长线上，且．保持不动，将从图1的位置开始，绕点顺时针旋转角得到，，的对应点分别为、． 初步思考： （1）求证：； 操作探究： （2）如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当与的边平行时，且直线交直线于点，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：点是的中点， ． ， ． ， ， ． ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形 ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）由线段中点的定义得到，证明得到，据此可证明； （2）由旋转的性质可知，，，，证明是等边三角形，则可证明，得到．再证明，即可证明四边形是平行四边形． （3）分两种情况：和，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当时，过点C作于点N， 由旋转的性质可得，， ∵点是的中点， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∴， ∴， 同理可得； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $