精品解析：辽宁沈阳市沈北新区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

沈北新区2026—2027学年度上学期质量监测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 5. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个中号唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，则该装饰与喇叭端的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则CM的长为（    ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为________． 12. 两相似五边形的相似比为，它们周长之差为，那么较小的五边形的周长是________． 13. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是________． 14. 如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 15. 如图，在菱形中，对角线和交于点，点为上一点，，连接并延长交于点，连接，，且，交于点，若，，则的长为________． 三．解答题 16. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 17. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）求证：BC=ED． 18. 根据表格中的素材，探索完成以下任务： 任务背景 “东北超”足球联赛落地沈阳，赛事官方文创吉祥物巨虎“虎哥”以东北虎为原型，深度融合东北四省区地域文化与足球赛事属性，成为东北文化对外传播的鲜活“形象大使”．某学校数学兴趣小组调研了电商平台与线下实体店的销售情况． 数据信息 素材：统计某电商平台，今年月份“虎哥”手办销售量为万件，今年月份销售量达到万件，且从月到月销售量的月增长率相同． 素材：某线下球迷实体店销售这款手办，该手办每件进价为元，若每件售价定为元，则每天可以售出件．经市场调研发现：售价每降低元，每天就可以多售出件． 问题解决 （1）分析数量关系 根据素材中的信息，求这款手办从月到月销售量的月平均增长率． （2）探索销售方案解决问题 为回馈沈阳球迷，商家决定降价促销，为尽快减少库存，并且保证每天销售获利元，请你分析售价应降低多少元？ 19. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． （1）求的值． （2）求此时虚像的高度． 20. 射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度（单位：）与向前运动的水平距离（单位：）的关系可以近似地表示为 （1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，水珠向前运动的水平距离的取值范围是________时，水珠向上运动的高度逐步上升；水珠运动的最大高度是________． （2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离，高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？并说明理由． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 如图，在中，，，垂足为． 通过证明，可以得出结论：①；②；③． （1）请证明“射影定理”中的结论③． （2）如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，直接写出的长为________． 22. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，当，时，求的长； （3）如图，在（2）的条件下，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于．求的值． 23. 将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． 若二次函数对一次函数“吸收”，如图所得的“吸收函数”的图象过，其中一次函数与轴交于点， （1）求、的值； （2）如图，点为所得“吸收函数”在第一象限内的点，过点作，垂足为，作轴，垂足为，交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点坐标； （3）若函数，其中，且函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈北新区2026—2027学年度上学期质量监测（一） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据一元二次方程的定义，从整式性、未知数个数、最高次数三个维度逐一验证选项． 【详解】解：A、未说明，当时方程不是一元二次方程，不符合； B、方程含有两个未知数，不是一元方程，不符合； C、将展开得，移项合并同类项后得，是一元一次方程，不符合； D、只含一个未知数，且的最高次数为2，是整式方程，符合． 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质，由四边形是正方形，得，，根据等腰三角形的性质得，则通过三角形外角性质由，最后由平行线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 6. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：∵以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小， ∴点的对应点的坐标是，即为． 8. 如图，一个中号唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，则该装饰与喇叭端的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形判断为较短线段，利用黄金分割比计算即可．  【详解】解：由图可知，点为线段的黄金分割点， ， ， ， ． 9. 如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则CM的长为（    ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 由题意可得：是的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出，再证明得成比例的线段即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式变形为含两根之和、两根之积的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程的两根为， ∴由根与系数的关系可得，， ∵代数式可整理为， ∴将，代入整理后的代数式，可得原式 12. 两相似五边形的相似比为，它们周长之差为，那么较小的五边形的周长是________． 【答案】 20 【解析】 【分析】相似多边形的周长比等于相似比，结合已知的相似比与周长差，设未知数建立方程即可求解． 【详解】解：根据相似多边形的性质，相似多边形的周长比等于相似比， 已知两相似五边形的相似比为，因此二者的周长比也为， 设较小五边形的周长为，较大五边形的周长为， ∵两五边形的周长之差为， ∴， 解得 ∴较小五边形的周长为． 13. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：点是斜边的中点， ∴． ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，． 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 14. 如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可. 【详解】解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 结合抛物线的对称性可得： ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在菱形中，对角线和交于点，点为上一点，，连接并延长交于点，连接，，且，交于点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，由，，和四边形是菱形，可得， ，，多次利用相似三角形的性质最后得，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 三．解答题 16. 用合适的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴， 解得； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得． 17. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）求证：BC=ED． 【答案】 （1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点， ∴EA=EC， ∵△ACD与△ACE关于直线AC对称． ∴△ACD≌△ACE， ∴EA=EC=DA=DC， ∴四边形ADCE是菱形； （2）∵四边形ADCE是菱形， ∴CD∥AE且CD=AE， ∵AE=EB， ∴CD∥EB且CD=EB ∴四边形BCDE为平行四边形， ∴DE=BC． 【解析】 【详解】试题分析： （1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE关于直线AC对称，可得：AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形； （2）由（1）可得DC∥BE，DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE. 试题解析：略 18. 根据表格中的素材，探索完成以下任务： 任务背景 “东北超”足球联赛落地沈阳，赛事官方文创吉祥物巨虎“虎哥”以东北虎为原型，深度融合东北四省区地域文化与足球赛事属性，成为东北文化对外传播的鲜活“形象大使”．某学校数学兴趣小组调研了电商平台与线下实体店的销售情况． 数据信息 素材：统计某电商平台，今年月份“虎哥”手办销售量为万件，今年月份销售量达到万件，且从月到月销售量的月增长率相同． 素材：某线下球迷实体店销售这款手办，该手办每件进价为元，若每件售价定为元，则每天可以售出件．经市场调研发现：售价每降低元，每天就可以多售出件． 问题解决 （1）分析数量关系 根据素材中的信息，求这款手办从月到月销售量的月平均增长率． （2）探索销售方案解决问题 为回馈沈阳球迷，商家决定降价促销，为尽快减少库存，并且保证每天销售获利元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）这款手办从月到月销售量的月平均增长率为． （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）设这款手办从月到月销售量的月平均增长率为，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低元，根据题意列一元二次方程求解，结合“尽快减少库存”，取较大正数解即可． 【小问1详解】 解：设这款手办从月到月销售量的月平均增长率为， 则， 解得，（舍）， 答：这款手办从月到月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 则， 整理得， 解得，， 当时，每天售出（件）， 当时，每天售出（件）， ∵， ∴为了尽快减少库存，取， 答：售价应降低元． 19. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点是凸透镜的中心，光线，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点、、、在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像，此时． （1）求的值． （2）求此时虚像的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易证四边形是矩形，再利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， 四边形是矩形， ， ，点、、、在同一条直线上， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 20. 射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度（单位：）与向前运动的水平距离（单位：）的关系可以近似地表示为 （1）如果这次射出的水流没有遇到障碍物，水珠向前运动的水平距离的取值范围是________时，水珠向上运动的高度逐步上升；水珠运动的最大高度是________． （2）假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离，高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？并说明理由． 【答案】（1），； （2）不能． 当时，， 这次射出的水流不能击中这只昆虫． 【解析】 【分析】（1）将函数关系式配方得到抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得解； （2）求出时的函数值，与昆虫的高度比较即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 水平距离的取值范围是时，水珠向上运动的高度逐步上升；水珠运动的最大高度是． 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 如图，在中，，，垂足为． 通过证明，可以得出结论：①；②；③． （1）请证明“射影定理”中的结论③． （2）如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，直接写出的长为________． 【答案】（1）证明：，， ， ， （2）①证明：正方形，点是对角线、的交点， ，，， ， 在中，，， ， ， ， 又， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意直接证明，利用对应边成比例即可证明结论； （2）①根据射影定理得出，得到，再结合夹角相等即可证明相似； ②利用正方形的性质，得出，利用勾股定理，得出，由①可知，，利用对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②正方形的边长为， ，，， ，， ， ，， 由①可知，， ， ， ． 22. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，当，时，求的长； （3）如图，在（2）的条件下，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于．求的值． 【答案】（1）证明：旋转， ，，， ，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到两组对应边成比例且夹角相等，即可证明相似； （2）根据旋转的性质，得到，，，设，，由（1）可知，，推出，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，则，，进而得出四边形是矩形，则，再证明，利用对应边成比例求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ，， 旋转， ，，， 设，，则， 由（1）可知，， ，， ，， ， ， 在中，， ，即， 解得：或（舍）， ； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 23. 将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． 若二次函数对一次函数“吸收”，如图所得的“吸收函数”的图象过，其中一次函数与轴交于点， （1）求、的值； （2）如图，点为所得“吸收函数”在第一象限内的点，过点作，垂足为，作轴，垂足为，交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点坐标； （3）若函数，其中，且函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值为________． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】-+（1）将点代入一次函数求出，再根据“吸收函数”的定义得到新二次函数，再将点代入求出的值； （2）由（1）可知，，设，则，，，证明，推出，，则，再计算，根据比值列方程求解即可． （3）由（1）可知，函数，结合图象可知，无论取何值，函数的最大值都为，则函数的最小值为，即函数的最小值在上，求出对应的值即为的值． 【小问1详解】 解：一次函数与轴交于点， ， 一次函数， 二次函数对一次函数“吸收”， “吸收函数”， “吸收函数”的图象过， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，“吸收函数”， ，， ，， ， 点为所得“吸收函数”在第一象限内的点， 设 轴，垂足为，交于点， ，，， ，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，解得：（舍），， 此时点的坐标为； 当时，解得：（舍），（舍）， 综上可知，点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，函数， 当时，函数，图象开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， 当时，函数，图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 函数图象如下图， ，， 无论取何值，函数的最大值都为， 函数的最大值与最小值的差为， 函数的最小值为，即函数的最小值在上， 令， 解得：，（舍）， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $