辽宁锦州市第四中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 数学试卷 试卷总分：120分考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2-3x+4 B.x2+2y+1=0 C.x2=1 Dx2+1 s2 2.下列关于投影的说法中，不正确的是() A.正午时，东方明珠广播电视塔在地面上的投影是平行投影 B.当匡衡凿壁借光学习时，穿过洞的光线投射到地面上形成的投影是中心投影 C.三角形木板的平行投影可以是…个点 D.黑夜时，一个人向路灯走去，他的影子越来越短 3.下列方程中，两根分别是-2和3的方程是（) A.x2-x-6=0B.x2-6x+5=0 C.x2+x-6=0 D.x2-6x-1=0 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD相交于点O,下列说法错误的是（) A.若AC⊥BD,则四边形ABCD是菱形 A D B.若AC=BD,则四边形ABCD是矩形 C.若AB⊥BC且AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形 D.若AB=BC且AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形 (第4题图) 5.如表是代数式x2+12x的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程x2+12x=15的一个正根x1的判 断正确的是() 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x 14.41 15.84 17.29 18.76 A.x1<1.1 B.1.1<x1<1.2 C.1.2<x1<1.3 D.1.3<x1<1.4 6.如图，已知AB∥CD∥EF,BD:DF=2:5,那么下列结论正确的是（) A.AC:AB=2:5 B.AB:CD=2:5 C.CD:EF=2:5 D.CE:EA=5:7 7.如图是H希腊时期的帕提农神庙，把图中的矩形框架画成矩形ABCD,当以矩形ABCD的宽边BC为 边作正方形BCEF,发现矩形ADEF与矩形ABCD相似， DE等于() C A5+1 &.5-1 C.3+1 D. 3-V5 2 2 2 九年级数学 第1页（共7页） A B D D E (第6题图) (第7题图) 8.如图，将含有30°的直角三角尺CAB直角顶点A放到矩形DEFH的边DE上，若∠BAB=15°，则∠FQG 的度数是(） A.40° B.45° C.50° D.55 9.如图，小明家的客厅有一张高0.8m的圆桌，直径BC为1m,在距地面2m的A处有一盏灯，圆桌 的影子最外侧两点分别为D、E,依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2,0)， 则点E的坐标是() A学0 B.(3,0) C.(3.6,0) D.(4,0) 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=3AD,过A点作AE∥DC交BC于点E,将△ABE 沿AE翻折，得到△ABE.BA,B'E分别与直线DC交于M,N两点，则△MB'N与△ABE的面积之 比为() 1 A. 1 2 B. C. D. 3 4 9 D 2以A B G 2 (第8题图) (第9题图) (第10题图) 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分) 1,已知兰=名，郑么+y的值为 y 3 x-y 12.一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两根，则该等腰三角形的周长是 13.如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 14.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所.如图所示，要 求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的 九年级数学·第2页（共7页） 面积为192平方米.设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 15.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边AD、CD上，AF、BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF, 则 G示的值是 E 309 Rem 4 中 3欢 Sx 4cm 3cm 主视图 左视图 俯视图 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 三、解答题（本题共5小题，共50分） 16.(本题共6分)用适当的方法解方程： (1)x2-6x-27=0; (2)2x2-4x-1=0. 上此处不答题 17.(本题共8分) 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为0(0,0)、A(2,1)、B(1,-2). (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个 位似△OA2B1,使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点 A、B的对应点A、B:的坐标 (2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位 后的△O2A2B2,并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标. 2 (3)判断△OA2B1与△O2AB2,能否是关于某一点M为位似 中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M,并写出点 M的坐标. (第17题图) 此处不答题 九年级曾学 第3页（共7页） 18.(本题共8分)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E. (1)求证：四边形BDEC是菱形； D (2)连接BE,若AB=6,AD=12,求BE的长， C （第18题图) 此处不答题 19.(本题共9分)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为x1,2（x<x2),分 别以x,x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1,2),则称M为该一元二次方程的街生点. (1)直接写出方程x2+2x=0的衔生点P的坐标为 (2)若关于x的一元二次方程gx2-x+1=0有衔生点： ①求实数g的取值范围. ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求g的值. 此处不答题 20.(本题共9分)在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森 林测高仪。它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分.如图 所示，聪明的小明制作了一个正方形ABCD森林测高仪，用它来测量树EF的高度，BG平行于地面， 树梢点F在测高仪AB的延长线上，已知EG=1.2米，BG=30米，测高仪的重垂线BW与CD交于点N, 点N在线段CD的十等分点上， CN 3 cD=3求树高EF的长度？ B E (第20题图) 此处不答题 九年级数学 第4页（共7页） 21.(本题共10分)绿豆饼是中国经典传统酥皮糕点、皮得起翻、清甜清凉。是老少皆宜的茶点伴手礼 让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 为了能吸引不同口味需求的人流进店消费， 某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品 素材1 橣莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720 份：而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份. 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每 份“抹茶绿豆饼”的成本为10元.经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价 1元，月销售量就会增加110份. 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶缀豆 饼应该降价多少元？ 此处不答题 九年级数学 第5页（共7页） 四、解答题（本题共2小题，共25分） 22.(本题共12分) 如图，已知：在矩形ABCD中，E是边CD的中点，AF1BE,垂足为F,AF的延长线交BC于点G, 连接DF. D (1)求证：△ABG∽△BCE, (2)如果BF=2,EF=15,求AF的长. E (3)求证：BGDF=2CE2, B (第22题图) 此处不答题 九年级数学 第6页（共7页） 23.(本题共13分)、《综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景观三角形的旋转放缩问题展 开探究。 【特例研究】在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O。 (1)如图2，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 一，的 值为； (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,), 使得点E落在OD上，点P落在BC上，求器的值： 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,M是AB的垂直平分线与BD的交点， 将△AMB绕点A逆时针旋转并放缩得到△AEF(点M,B的对应点分别为点E,P),使得点E落在线段OD上， 点F落在射线BC上，若AB=12,E为OD的中点，求CP的长. C D E 0 0 F M B B N 刚 图2 图3 (第23题图) 此处不答题 九年级数学 第7页（共7页》 2026-2027学年度第一学期期中考试 数学试卷答案 、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A D B D B B A C 二、填空题 11、 5 12、 17 13、 48cm3 14、 4×3x(20-4x)=192 15、 5 三、解答题 16.【解答】解：（1)原方程移项可得： x2-6x=27, x2-6x+9=27+9, (x-3)2=36, x-3=土6， 解得x1=9,x2=-3: (2).a=2,b=-4,c=-1, .△=b2-4ac=(-4)2-4X2×(-1)=24>0, x=4牡2W6-2±6 4 2 2为-26 解得x1=2+ 2 17.【解答】解：(1)以原点0为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1, 使它与△OAB的相似比为2：1，如图所示： A(4,2),B1(2,-4). (2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的△O2A2B2,如图所示： A2(0,2),B2(-1,-1). (3)△OA1B1与△OA2B2是关于点M(-4,2)为位似中心的位似图形. y =P==- B B 18.【解答】（1)证明：，四边形ABCD是平行四边形。 ∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD, .AD=BD, ∴BD=BC, CE∥BD,AD∥BC, ∴.四边形BDEC是平行四边形， 又，BD=BC, .四边形BDEC是菱形： (2)解：如图，BE交CD于O, D 四边形BDEC是菱形， E ∴D0=C0=2CD=3,B0=2BE,CD⊥BE, 在Rt△BDO中，AD=BD=I2,DO=3, ∴.B0=VBD2-D0z=V122-32=3V15 .BE=2B0=6V15 19.【解答】解：(1)方程左边分解因式，得x（x+2)=0. x+2=0或x=0, 解得：x1=-2,2=0, .方程x2+2x=0的衍生点P的坐标为(-2,0)， 故答案为：（-2,0)： (2)①根据题意可得： △=(-1)2-4·9·1>0 (q≠0 解得g<且g≠0： ②设关于x的一元二次方程gx2-x+1=0的两个实数根分别为m,m+2, 则m+(m+2)=寻m(m+2)=音 .2m+2=m2+2m, 解得m=土V2, 1 1=2W2-2=2-1 当m=V2时，9=m+(m+2=2√2+2 4 2 1 当m=-V2时，9=m+m+2=-22+2 22+2=-2+1 4 2 综合，？苦做为发-型 2 20.【解答】解：四边形ABCD为正方形， ∴.BC=CD=20cm=0.2m, 点N在线段CD的十等分点上， CN 3 CD 5 C ∴CN=x0.2=0.12(m), ∠GBC+∠CBN=90°，∠FBG+∠GBC=90°， ∴.∠FBG=∠CBN, ∴.Rt△FBG∽Rt△NBC, fa_Ba NC-BC 即FG-30 0.120.21 解得FG=18, ∴.EF=FG+GE=18+1.2=19.2(m). 答：树高EF的长度为19.2m. 21.【解答】解：（任务1）设该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增 长率是x, 根据题意得：500(1+x)2=720, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2（不符合题意，舍去). 答：该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是20%： (任务2)设该抹茶绿豆饼应该降价y元，则每份“抹茶绿豆饼”的销售利润为(19-y -10)元，月销售量为(660+110y)份， 根据题意得：(19-y-10)(660+110y)=6160, 整理得：2-3y+2=0, 解得：y1=2,y2=1, 又要尽快减少库存， y=2. 答：该抹茶绿豆饼应该降价2元、 22.【解答】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABG=∠C=90°， ∴.∠ABF+∠CBE=90°， ,AF⊥BE, ∠AFB=90°， ∴.∠ABF+∠BAG=90°， ∴.∠BAG=∠CBE, ,∠ABG=∠C=90°， ,.△ABG∽△BCE: (2)解：∠AFB=∠C=90°，∠FAB=∠CBE, ∴，△AFB∽△BCE, .BF AB EC BE ,四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD, ,E是边CD的中点， ∴EC=ED=3CD=AB, ,BF=2,EF=15, ∴.BE=BF+EF=2+15=17, 2 AB 317 ∴AB=2V17, ,∠AFB=90°， ..AF-VAB2-BF2 =V68-4=8: (3)证明：如图，延长BE,AD交于点H, △ABG∽△BCE, D A H CE BC EC=TAB, B .AB=2CE, G ∴.BG+BC=2CE, 四边形ABCD是矩形， ∴，AD∥BC,AD=BC, ∴∠HDE=∠C, ∠HDE=∠C 在△EDH与△ECB中， ED=EC ∠DEH=∠CEB .∴.△EDH≌△ECB(ASA), ∴HD=BC, .AD=BC, ∴HD=AD=BC=AH, .∠AFH=90°， ∴DF=2AH, .DF=BC, BG+BC=2CE2, ∴BGDF=2CE2 23.【解析】(1)根据正方形的性质，△ADC、△AOB是等腰直角三角形. 旋转角∠D04=45°，放大倍数k=42 A0V2, 故答案为：45°：V2, R (2)根据旋转的性质旋转角∠BAF=∠OAE, C 又：·∠ABF=∠AOE=90°， E .:△ABF△AOE. 0 G M. 器-2 N (3)如图，延长AM交BC于点G, :四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， .:△ABC和△ACD为等边三角形，DB L AC, .:∠ABM=30°， :·MN为AB的垂直平分线， .·∠MAB=∠ABM=30°， .:AM=4V3. :D0=6N3,0=9-3V3,40=9=6. .AE =E02 +A02=3V7. :4E=2I 'AM 4 根据题意△EAF△MAB可得始铝A=3V五， :'AG=D0=6V3,CG=6. .FG=AF2-AG2=9. .CF=FG-CG=3.