精品解析：江苏镇江市江南学校2026-2027学年九年级上学期 数学第一次学情自测试题（10月）

镇江市江南学校九年级10月课后作业 数学学科 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题8分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据形如（）的函数是反比例函数可知： A，B，D都不符合的形式，所以不是反比例函数．C中，符合反比例函数定义． 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入，得， 解得． 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 解，得或． ∵，即， ∴． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象分别位于第一、三象限 B. 随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 5. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设彩纸的宽度为，根据彩纸的面积恰好与原画面面积相等列方程即可． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即． 7. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 8. 如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为（ ）（只考虑小于的角） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由小量角器读数确定的度数，根据在大量角器圆周上得出，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：连接， 点在小量角器对应的刻度为， ， 在大量角器的圆周上，为两圆周交点， ， ， ， 点在大量角器上对应的刻度为． 10. 如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ， 解得． 12. 如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 若是方程的一个解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入已知方程，整理得到的值，再将所求代数式变形为可整体代入的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 整理得， ∴． 14. 在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式可判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性，结合三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，位于第二象限，， ∴； 又∵位于第四象限， ∴， ∴． 15. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________ 【答案】且 【解析】 【分析】需满足两个条件：一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是有实数根要求根的判别式大于等于0，分别求解后取交集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得，， 的取值范围为且． 16. 如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点，再求出点平移后的坐标为，点平移后的坐标为，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：将反比例函数的图象向左平移个单位长度，使平移后的函数图象和线段有交点，相当于将线段向右平移个单位长度后，与反比例函数的图象有交点， ∵， ∴点平移后的坐标为，点平移后的坐标为， 由题意，有以下两个临界位置： ①当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； ②当反比例函数的图象恰好经过点时， 则，解得； 所以要使平移后的函数图象和线段有交点，则， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴或 解得： 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，，结合的条件，得到关于的一元二次方程，解方程即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为或． 19. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】（1）双曲线的函数表达式为； （2）第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【解析】 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； 【小问2详解】 略． 20. 某奶茶店定制周边杯子，单个成本为元．当售价定为每个元时，每月可以卖出个；售价每上涨元，每月就少卖出个，店家想要每月销售利润达到元，同时尽可能让利给顾客，那么杯子的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】杯子的实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】设杯子的实际售价为每个元，单个利润为元，每月销售量为个，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设杯子的实际售价为每个元，单个利润为元，每月销售量为个， 由题意得， 化简得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让利给顾客， ∴选择较低的售价，即， 答：杯子的实际售价应定为每个元． 21. 如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． （1）作圆心和的中点． （2）连接，交于点，若，，求的半径． 【答案】（1）如图，点和点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，的垂直平分线与的交点即为点； （2）连接，由垂径定理的逆定理可得，，使用勾股定理计算出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 【点睛】则或． 23. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】（1）①③ （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【小问1详解】 解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 24. 换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②略 （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市江南学校九年级10月课后作业 数学学科 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题8分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象分别位于第一、三象限 B. 随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 当时， 5. 如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 9. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为（ ）（只考虑小于的角） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 反比例函数的图象经过点，则________． 12. 如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 13. 若是方程的一个解，则的值是__________． 14. 在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 15. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________ 16. 如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17. 解方程 （1） （2） 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19. 实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 20. 某奶茶店定制周边杯子，单个成本为元．当售价定为每个元时，每月可以卖出个；售价每上涨元，每月就少卖出个，店家想要每月销售利润达到元，同时尽可能让利给顾客，那么杯子的实际售价应定为每个多少元？ 21. 如图，是圆的一条弦（不是直径）．仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法． （1）作圆心和的中点． （2）连接，交于点，若，，求的半径． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 23. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 24. 换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $