精品解析：江苏盐城市初级中学等校2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题

初三数学试卷 试卷满分：150分时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离为d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 3. 如图，、、均为的半径，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得． 【详解】解：在中，， ． 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：四边形内接于，， ∴， 故选：B． 5. 如图，是的直径，于，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 7. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆与正多边形，掌握正六边形边长与其外接圆半径的关系是解题关键． 正六边形每条边长都相等，它的外接圆半径等于其边长． 【详解】解：根据题意，正六边形的边长为，则其周长为． 故选：D． 8. 物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 10. 如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质以及勾股定理．解题的关键是掌握辅助线的作法． 首先连接由切线的性质，可得，由勾股定理可得的长． 【详解】 解：连接 ∵弦与小圆相切于点， ∴， ∴在中，, ∴． 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为． 13. 如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理得出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出半径长度． 【详解】解：连接，，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，即的半径为4． 14. 如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点为半圆的三等分点， ∴，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， ∵， ∴与等底等高， ∴阴影部分的面积为扇形的面积， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 16. 已知正方形的边长为，点在边上，点在边上，且．连接，过点作，垂足为，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到；则可证明；证明A、B、G、E四点共圆，可推出，得到；则当A、G、C三点共线时，有最小值，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴A、B、G、E四点共圆， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当A、G、C三点共线时，有最小值， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共11小题，102分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握各种解一元二次方程的计算方法． （1）利用因式分解法，即可解答； （2）利用因式分解法，即可解答； 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得． 18. 如图，、是的两条弦，且，求证：． 【答案】 解：， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可． 【详解】略 19. 如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆周角定理的推论，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：是直径， ， 又， ， ， ， 20. 已知：菱形内接于． （1）证明：四边形是正方形； （2）若的半径为，求四边形的边长． 【答案】（1）证明：∵菱形， ∴， ∵菱形内接于， ∴， ∴， ∴菱形是正方形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形对角相等，内接四边形对角互补，即可证明； （2）：连接，在中利用勾股定理即可作答； 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：连接，如图， 根据（1）中可知， 则为的直径，即， ∵在中，，， ∴． ∴（负值舍去）． 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根、，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程为， ∴ ， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 23. 课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． （1）通过观察，拱桥跨度的长为            ；A到的距离为            ； （2）利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合花岗岩条石的数量计算即可； （2）设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 可知拱桥跨度的长为， A到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则， 设圆的半径为，由（1）可知，， ∵，即， ∴，， ∴， 解得：， 即圆的半径为． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【答案】（1） 该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 （2） 衬衫的单价应该降15元 【解析】 【分析】（1）利用月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】  解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件， 根据题意可知，， 解得，（不符合实际意义，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降元， ∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件， ∴降价后每件利润为元，每天销售量为件， ∵每天赢利1250元， ∴， 解得， 答：衬衫的单价应该降15元． 25. 如图1，在菱形中，是边上的动点，是的外接圆与对角线的交点，连接、． （1）当点是菱形对角线的交点时，说明； （2）如图2，当时，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究点在边上运动时，的比值是否变化，若不变请求出比值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵点E在的外接圆上， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴，对角线平分和， ∴． 过点E作于点G，如图： ∵，，且点E在的平分线上， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴． 由图可得，四边形内接于圆， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 过点E作于点H，如图： ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形对角线互相垂直，得；点E在的外接圆上，根据同弧所对的圆周角相等，可得，由此证得； （2）有一个内角为的菱形是正方形，作，由角平分线性质得，可证四边形为正方形；由圆内接四边形的外角性质证得，再结合等腰推得； （3）根据（2）可得，，则；又为等腰直角三角形，满足，代入化简得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）的结论可知：，． ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 由（2）同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的比值不变，为． 26. 【阅读材料】我们在《圆》这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如：“作一个圆的内接正三角形”“作圆的切线”等．在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”．其中，圆规用来画圆（圆弧）、截取和转移线段长度．它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等距的工具．无刻度直尺只能用来过两点画直线（射线、线段），不能量长度．它的作用是连接交点、确定直线，实现两点定线．尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑． 【例题感悟】 （1）如图1，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ． （2）根据以下作图过程，回答下列问题： 作法：如图2，①作直径；②作半径的垂直平分线与交于点C、D；③连接、．问：是正三角形吗？请说明理由． 【实践操作】 （3）在矩形中，，，为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．如图3，当点落在边上时，利用尺规作图，在图4中作出满足条件的图形（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出此时长为 ． （4）将中劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过点，如图．请在图中使用无刻度直尺和圆规在上用两种方法求作一点，使得． 【答案】（1） （2）是正三角形，理由如下：连接、，如图， ∵垂直平分， ∴，， ∵圆的半径相等，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴根据垂径定理的推论有垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形 （3），5 （4）方法一：，方法二： 【解析】 【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，问题得解； （2）连接、，先证明是等边三角形，即可得，再根据垂径定理有垂直平分，可得，即可证明； （3）作图方法：以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，再作的垂直平分线交于点P，连接，，即可作图；在中，利用勾股定理求出，进而得出，再在中，利用勾股定理求解； （4）方法一，连接，作的角平分线交于点Q，即可；方法二：过圆心O作弦的垂线，即可得到垂直于弦的直径，再作直径的垂线，交圆O于点N，连接交于点Q，即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， 根据作图可知，， 在中，， 则：； 【小问2详解】 见答案 【小问3详解】 作图见答案， 根据作图可知：， ∴在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 【小问4详解】 作图见答案， 方法一：证明：作垂直平分，连接， ∵劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过圆心， ∴的长度等于半径一半， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 方法二：连接， 根据劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过圆心，可得垂直平分，即有， 即可证明是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道综合压轴题，考查了圆周角定理，尺规作图，垂径定理，勾股定理，矩形的性质以及轴对称的性质等知识，灵活掌握尺规作图中角平分线的作法、垂直平分线的作法是解答本题的关键． 27. 对于图形和图形，给出如下定义：若图形上存在点关于直线的对称点在图形上，则称直线为图形与图形的“关联线”． （1）轴是点与下列哪个点的“关联线”？ ．（填序号） ①；②；③；④ （2）已知，如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，的半径为，直线是过点且平行于轴的一条直线． ①若直线是点与的“关联线”，则 ； ②当满足什么条件时，能使得直线成为与一次函数图像的“关联线”？ ③已知，如图，与轴正半轴的交点为点，点在第四象限且在上，．当满足什么条件时，直线成为一次函数的图像与的“关联线”？ 【答案】（1）① （2）①或；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据“关联线”定义，和关于y轴对称的性质进行求解即可； （2）①直线l为，点关于的对称点为；由“关联线”定义知在上，则可得点到原点距离等于半径，最后通过勾股定理列方程求解即可；②先求出直线关于的对称直线解析式；“关联线”等价于对称直线与有公共点，由圆心到直线距离列不等式，进而求解即可；③先由求得，；对称直线过点D时m取最小值，结合②中相切临界值，求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点关于y轴的对称点为， ∴y轴是点A与①的“关联线”； 【小问2详解】 解：①由题意得，直线l是过且平行于y轴的直线，即直线． 设点关于直线的对称点为， ∵两点横坐标的中点为m， ∴， ∴， ∴． 由题意得，在以原点为圆心、半径为的上， ∴点到原点的距离等于半径， ∴ 解得或； ②在上，令，得，即点； 令，得，即点． ∴点关于直线的对称点为； 点关于直线的对称点为． 设对称后的直线解析式为， ， 解得， ∴对称后的直线解析式为， 设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，如图： 令，得，即； 令，得，即． ∴，，即． 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴ ， ， 设原点O到直线的距离为d（即斜边上的高）， ∵， ∴ 解得， ∵“直线l是与一次函数的关联线”， ∴对称后的直线与有公共点， ∴圆心到直线的距离半径． ∵半径， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ③∵点C是与y轴正半轴的交点，， ∴． 过点D作轴于点E，如图： ∵，， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D在第四象限， ∴， 当对称直线刚好经过点时，此时m的值最小，如图， 将代入对称直线中得， 解得， 在对称直线上，当时，， 此时m越小，则越小，直线整体越往左边靠； m越大，则越大，直线整体越往右边靠， 当时，， 此时对于任意横坐标，直线上对应点的纵坐标都小于时的纵坐标， 而上所有点的纵坐标都不小于端点D的纵坐标， ∴此时直线完全位于点D下方，与弧没有公共点． ∴当时，直线不是一次函数与弧的关联线； 设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，过点P作轴于点H，当对称直线刚好和相切时，此时设切点为P，此时m的值最大，则圆心到直线的距离为半径即，如图： 由切线可得，， 由②可得，， ∴同时平分， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点P的横、纵坐标相等， ∵点P在上， ∴． 在中， 解得， ∴， ∴切点坐标为， 将代入对称直线解析式得， 解得， 综上所述，m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 试卷满分：150分时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，、、均为的半径，连接、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，于，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. “正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（ ）． A. B. C. D. 8. 物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 10. 如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则＝________cm． 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 13. 如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 14. 如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________． 15. 如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为______． 16. 已知正方形的边长为，点在边上，点在边上，且．连接，过点作，垂足为，则线段的最小值为________． 三、解答题（本大题共11小题，102分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； 18. 如图，、是的两条弦，且，求证：． 19. 如图，是的直径，点，，，在上，，求的度数． 20. 已知：菱形内接于． （1）证明：四边形是正方形； （2）若的半径为，求四边形的边长． 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根、，且，求k的值． 23. 课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． （1）通过观察，拱桥跨度的长为            ；A到的距离为            ； （2）利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 25. 如图1，在菱形中，是边上的动点，是的外接圆与对角线的交点，连接、． （1）当点是菱形对角线的交点时，说明； （2）如图2，当时，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究点在边上运动时，的比值是否变化，若不变请求出比值；若变化，请说明理由． 26. 【阅读材料】我们在《圆》这章学习中，遇到了许多尺规作图问题，如：“作一个圆的内接正三角形”“作圆的切线”等．在古希腊人看来，所有的几何图形都是“想象之物”，通过尺规作图把它们变成了“可作之事”，然后再通过逻辑推理研究图形之间的“可明之理”．其中，圆规用来画圆（圆弧）、截取和转移线段长度．它可以把一段线段的长度“搬”到别的位置，也能利用到定点距离相等画出轨迹，是实现等长、等距的工具．无刻度直尺只能用来过两点画直线（射线、线段），不能量长度．它的作用是连接交点、确定直线，实现两点定线．尺规作图，以最简单工具，仅仅依靠画直线、画圆弧，演绎严谨的几何逻辑． 【例题感悟】 （1）如图1，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ． （2）根据以下作图过程，回答下列问题： 作法：如图2，①作直径；②作半径的垂直平分线与交于点C、D；③连接、．问：是正三角形吗？请说明理由． 【实践操作】 （3）在矩形中，，，为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．如图3，当点落在边上时，利用尺规作图，在图4中作出满足条件的图形（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出此时长为 ． （4）将中劣弧沿着折叠，使得折叠后的经过点，如图．请在图中使用无刻度直尺和圆规在上用两种方法求作一点，使得． 27. 对于图形和图形，给出如下定义：若图形上存在点关于直线的对称点在图形上，则称直线为图形与图形的“关联线”． （1）轴是点与下列哪个点的“关联线”？ ．（填序号） ①；②；③；④ （2）已知，如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，的半径为，直线是过点且平行于轴的一条直线． ①若直线是点与的“关联线”，则 ； ②当满足什么条件时，能使得直线成为与一次函数图像的“关联线”？ ③已知，如图，与轴正半轴的交点为点，点在第四象限且在上，．当满足什么条件时，直线成为一次函数的图像与的“关联线”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $