精品解析：江苏省通州高级中学2026-2027学年高一上学期第二次阶段性测试数学试卷

2026-2027 学年（上）高一年级第二次阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义判断结果． 【详解】由，，则． 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将整体代换为后根据不等式范围求解. 【详解】设 ， 则  解得 ， 即 . 因为，所以 ； 由 ，可得. ， 即 . 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具体函数定义域及抽象函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由的定义域为， 在中，得， 则的定义域为. 5. 若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分别令和，得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】因为定义在上的偶函数和奇函数满足， 令，可得， 令，可得，即， 联立方程组，可得. 故选：C. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性定义及偶函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递减，则由偶函数性质可知函数在上单调递增， 又，所以， 根据函数的单调性可知等价为或， 即或，解得或， 即不等式的解集为. 故选：D． 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 8. 若函数 与 对于任意 ，，都有 ，则称函数 与 是区间 上的“ 阶依附函数”．已知函数 与 是区间 上的“2 阶依附函数”，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得对任意，，都有，又因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数 与 是区间 上的“2 阶依附函数”， 所以对任意，，都有， 因为在单调递增，所以对任意，， 由2阶依附函数可知在上恒成立， 即对任意，，得到任意，， 所以任意，恒成立， 因为，所以分离参数得到，恒成立，即 令，由，则， 所以，即 由基本不等式， 当且仅当，即时，有最小值， 所以，则实数 的取值范围是. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 若 ，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，结合选项，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由对数的运算公式，可得， 且， 所以，所以A正确； 对于B，由 ， 所以，所以B不正确； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由，，可得，， 则，所以D错误. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项可求的最小值，再求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量求解即可. 【详解】A选项，由已知得，因为，所以.解得或，又，所以，故A正确. B选项，由已知得.故(当且仅当，时等号成立).所以，得，故B正确. C选项，，当且仅当，时等号成立，故C不正确. D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以.又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确. 11. 已知函数，，下列表述正确的是（　　） A. 当时，函数的单调递减区间为 B. 当时，函数在区间上的最小值为 C. 当为奇数时，函数是奇函数 D. 当为偶数时，函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项通过函数零点，对称轴结合绝对值函数图象确定单调区间，B选项对函数变形换元，根据二次函数性质求最值，C、D选项根据函数奇偶性与图象平移关系判断函数奇偶性. 【详解】在A选项中，当时，， 则，函数的零点为： 和，顶点横坐标为，结合绝对值函数的图象， 可得的单调递减区间为和，A错误， 在B选项中，当时，， ，令，则， 函数的开口向上，对称轴为，在区间内， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以， 则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为，B正确， 设，定义域为，关于原点对称， 在C选项中，当为奇数时，设，则， ， 因式共项，整理为：， 即，则， 故为奇函数，即是奇函数，C正确， 在D选项中，当为偶数时，设，则， ， 因式两两配对得：，则， 故为偶函数，即是偶函数，D正确， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得，解得； 故不等式的解集为． 13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】因为在单调递增， 所以函数在上是单调递增函数， 可得：， 解得， 故答案为： 14. 若函数 （），，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由化简得到，则由基本不等式即可求解. 【详解】由（）得到，，， 因为，所以， 即， 因为函数，在上单调递增， 由，得到，， 由基本不等式得到， 当且仅当，即时等号成立，此时满足条件. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，再根据集合的补集和并集运算求解； （2）根据题意可得是的真子集，化简集合列式求解. 【小问1详解】 依题意， 又，故. 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 由（1）知，，又， 所以， 故实数的取值范围是. 16. 求下列各式的值： （1）； （2）已知 ，求 的值． 【答案】（1）-7 （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 ； ； ； 【小问2详解】 把 两边平方得 ，所以 ； 又 ，且 ，所以 ； 所以 ； 所以原式 ． 17. 已知是奇函数． （1）求，的值； （2）证明：是增函数； （3）若不等式 在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）任取，则 ， 因为，，所以，故是增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义计算； （2）根据单调性的定义证明； （3）结合奇偶性和单调性求出对任意恒成立，再分类讨论即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 即； 所以对任意成立，故，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原不等式化为， 由单调递增得， 即对任意恒成立， 当时，只需，显然成立； 当时，需，即，解得 ， 所以； 综上，． 18. 三叉戟是古希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的一些图象恰如其形（若，时如图），因而得名三叉戟函数．已知函数，其中是常数，且． （1）讨论函数的奇偶性，并给出证明； （2）已知．若，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）的定义域为，关于原点对称； ； 当时，，为奇函数； 当时，且，既不是奇函数也不是偶函数； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）分和讨论即可； （2）分离参数后，再利用换元法并结合二次函数性质即可； （3）根据图中结论得到该函数的单调性，再将其转化为方程根的问题即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，所以； 原不等式即，所以； 令，则， 则，， 设，则其在上递增； 所以右边的最小值为，故，即； 【小问3详解】 当时，，根据题干中的图像可知, 故函数在上递减，在上递增，； 若存在，则需且，即，是方程的两根； 由得，即； 解得或，其中满足且均在上的是，； 此时在上递增，值域为，符合要求．故存在，． 19. 已知函数，（）． （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）设，求关于的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式 成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）先因式分解，再结合开口方向以及根的大小分5种情况讨论； （3）先求出在上的最大值，再求在上的最小值即可. 【小问1详解】 由得 对任意恒成立， 所以，即，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 ， 由得； 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为 ； 当时，，解集为； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为； 【小问3详解】 当时，，所以； 当时，， 则在上的最大值为； 由题意，对任意都有， 因而当时取到最小值， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年（上）高一年级第二次阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 8. 若函数 与 对于任意 ，，都有 ，则称函数 与 是区间 上的“ 阶依附函数”．已知函数 与 是区间 上的“2 阶依附函数”，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 若 ，，则 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为2 11. 已知函数，，下列表述正确的是（　　） A. 当时，函数的单调递减区间为 B. 当时，函数在区间上的最小值为 C. 当为奇数时，函数是奇函数 D. 当为偶数时，函数为偶函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 不等式的解集是______． 13. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围为_____. 14. 若函数 （），，则 的最小值为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 求下列各式的值： （1）； （2）已知 ，求 的值． 17. 已知是奇函数． （1）求，的值； （2）证明：是增函数； （3）若不等式 在时恒成立，求实数的取值范围． 18. 三叉戟是古希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的一些图象恰如其形（若，时如图），因而得名三叉戟函数．已知函数，其中是常数，且． （1）讨论函数的奇偶性，并给出证明； （2）已知．若，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，（）． （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）设，求关于的不等式的解集； （3）若，对任意，总存在，使得不等式 成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $