江苏省通州高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学模拟练习卷

江苏省通州高级中学2025-2026年期中考试模拟卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．设，则“且”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 6．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 8．已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．的定义域为 C．若，则 D．的最小值为2 10．已知x，y均为正实数，则（    ） A．若，则的最大值为8 B．的最大值为1 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 11．已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（   ） A． B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递减区间为 . 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .（用区间或集合表示） 14．已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求值： (1)； (2). 16．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数a的取值范围. 17．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式： (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： (3)求不等式的解集. 18．已知关于的函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求在上的最小值； (3)如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 19．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； (2)若函数是“型函数”，求的值； (3)已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2025-2026年期中考试模拟卷 高一数学答案解析 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：. 2．下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】通过不等式性质和举反例的方法，逐个分析选项的正确性. 【详解】选项A，由，因，两边同乘得，A正确； 选项B，取，，，则，，，B错误； 选项C，取，，，，则，，，C错误； 选项D，当时，，D错误. 故选：A 3．设，则“且”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4．已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可； 【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】通过变形已知条件得到两个正数的和为定值，构造所求式子与该和的乘积形式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】由，，，可得，且，. 则 , 由基本不等式，, 故, 当且仅当且，即，时，等号成立. 故选：C 6．已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围. 【详解】的图像的对称轴为， 因为函数在区间上时单调函数， 所以或， 得或， 即的取值范围是， 故选：D 7．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 8．已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用函数单调性的定义结合分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】不妨设，由任意实数，都有，可知， 即在上单调递减， 根据一次函数与二次函数的性质，要满足题意需， 所以. 故选：B 二、多选题 9．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．与是同一个函数 B．的定义域为 C．若，则 D．的最小值为2 【答案】BC 【知识点】具体函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、判断两个函数是否相等、利用函数单调性求最值或值域 【分析】逐个分析每个选项，通过定义域判断、换元法、函数单调性等方法分别验证对错. 【详解】选项A，定义域为，定义域为， 定义域不同，不是同一函数，A错误. 选项B，由，解得，B正确. 选项C，令，则，， 即，C正确. 选项D，令，则，在单调递增， 所以，D错误. 故选：BC 10．已知x，y均为正实数，则（    ） A．若，则的最大值为8 B．的最大值为1 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式判断选项A；由重要不等式判断选项B；C选项，由已知得，与相乘， 展开后利用基本不等式求最小值；D选项，由已知得到，化简得出， 结合二次函数的性质可求最小值. 【详解】已知x，y均为正实数， A中，由，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以A不正确; B中，因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最大值为，所以B正确； C中，若，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； D中，由，可得， 则， 令，则， 又由，所以当，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 11．已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（   ） A． B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，中，令得， 解得， 令得，解得，A正确； B选项，中，令得， ，故的图象关于轴对称，B正确； C选项，中，令，其中， 则， 因为当时，，且，所以， 所以，， 所以在上单调递增，C错误； D选项，因为，所以， 故， 即， 由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数， ，且， 两边平方得， 解得，且， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ABD 【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 三、填空题 12．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得：， 因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为. 故答案为： 13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .（用区间或集合表示） 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由函数是偶函数，求出时解析式，不等式等价于或，代入解析式即可求. 【详解】当时，， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以不等式等价于或， 即或， 解得或, 所以，不等式的解集为：. 故答案为： 14．已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ①判别式或； ②对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1） ； （2） . 16．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交并补混合运算、充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求集合和的补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. 【详解】（1）解不等式，即，得， 当时，，则或， 因此. （2）因为是的充分条件，所以. 当时，，解得，满足. 当时，，且需满足，解得. 综上，实数的取值范围是. 17．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求函数的解析式： (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数的定义求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再解不等式组即得答案. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， 所以函数的解析式，. （2）函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，，， ，，则，即， 因此，所以在上单调递增. （3）依题意，，原不等式化为， 由（2）知在上单调递增，则，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 18．已知关于的函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求在上的最小值； (3)如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是闭函数, 是 “闭函数”，当时， . 【知识点】求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数、函数新定义 【分析】（1）根据不等式的解集为，可知是方程的两个根，然后根据韦达定理即可求出； （2）先求出的对称轴，然后根据对称轴和给定区间的位置关系，分情况讨论函数在该区间上的单调性，进而求出最小值； （3）先判断的单调性，再根据“闭函数”的定义，分情况讨论是否存在区间使得函数在该区间上的值域为. 【详解】（1）的解集为，是方程的两个根， 根据韦达定理可得，解得， 故实数的值分别为. （2）函数的图像开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 综上，. （3）①当时，， 在上单调递减， 若是 “闭函数”，则，即， 两式相减，得，化简，得， ，，则，即 ，，化简得，解得或， 当时，，满足，但此时不在定义域上，故舍去； 当时，，不满足，舍去， ②当时，，函数在上单调递减， 若是 “闭函数”，则，即， 两式相加得，即，又，且函数在上单调递减，， 综上所述，是 “闭函数”，当时， . 19．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； (2)若函数是“型函数”，求的值； (3)已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数不是“型函数”，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据函数的最值求参数、指数幂的运算、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数新定义 【分析】（1）由函数，根据题意，得到，根据不存在使得都成立，即可得到结论； （2）由函数是“型函数”，根据题意，化简得到求得，即可求解； （3）由函数是“型函数”，可得，令，求得，满足题意；把对任意，都有，转化为任意，都有，令，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：函数不是“型函数”. 理由：由函数，可得， 即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立， 所以函数不是“型函数”. （2）解：因为函数是“型函数”，可得， 即对于定义域上的任意都成立， 所以，则. （3）解：由函数是“型函数”，可得， 令，可得，解得，满足， 又由当时，， 则时，可得，则， 要使得对任意，都有，只需对任意，都有， 令，因为，可得，且， 因为的图象开口向上，且对称轴为， 当时，即时，函数在单调递增， 则满足，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减，在递增， 则满足，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减， 则满足，解得，所以， 综上可得，满足，即实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $