5．7 三角函数的应用讲义（5大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5．7 三角函数的应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数中，，，的物理意义 3 知识点二、三角函数模型的应用 3 知识点三、三角函数模型应用的步骤 3 知识点四、三角函数应用题的三种模式 3 03 题型精讲 4 题型一：三角函数模型在物理场景中的应用 4 题型二：三角函数模型的现实生活应用 7 题型三：基于三角函数的数据拟合问题 11 题型四：三角函数在圆周问题中的应用 16 题型五：几何领域的三角函数模型 22 04 课后精练 29 05 培优拓展 40 知识点一、函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 知识点二、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 知识点三、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 知识点四、三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 题型一：三角函数模型在物理场景中的应用 【典例1-1】（2026·高三·甘肃·阶段检测）如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比，所以设比例系数为， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 因为，由正弦函数的单调性可得， 又，即，即， 所以. 【典例1-2】一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以单摆摆动的频率为． 【变式1-1】（2026·高一·四川南充·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【答案】D 【解析】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，有，则，故A错误； 因为， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B错误； 因为小球运动的周期，所以小球在秒的运动状态等价于小球在秒的运动状态 当秒时，，当时，，故小球正在向下运动，故C错误； 若，则，又当时，小球有且仅有四次到达最高点， 所以，解得，即，故D正确； 【变式1-2】（2026·高一·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【答案】 【解析】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 【变式1-3】（2026·高一·北京·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有_____ ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【解析】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 【方法技巧与总结】 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的 三角函数知识结合解题． 题型二：三角函数模型的现实生活应用 【典例2-1】（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【答案】40 【解析】设两点间的距离为厘米，， 则，所以． 因为，所以． 由，得，解得， 则两点间的距离大于6厘米的时长是秒． 【典例2-2】（2026·高一·云南·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 【答案】 【解析】由已知：，，则，，， 则， 所以矩形ABCD的面积为： ， 当，即，矩形面积取得最大值为． 故答案为： 【变式2-1】（2026·高一·上海·期末）某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，其中是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为___________．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】， 其中，. 因为，所以，所以的最小值为，最大值为. 所以的最小值为，最大值为. 所以该房间的最大温差为，所以. 所以，当且仅当时等号成立， 因为是正实数，所以，即最大值为. 故答案为：. 【变式2-2】（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    【答案】 【解析】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为： 【变式2-3】（2026·高一·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解三角函数应用问题的基本步骤 题型三：基于三角函数的数据拟合问题 【典例3-1】（2026·高一·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【解析】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （2）由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 【典例3-2】（2026·高一·四川内江·阶段检测）长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象． (1)根据图像，试求（，，）的表达式； (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！） 【解析】（1）根据以上数据知，， 解得，； 由，解得， 所以； 由时，，即， 解得，即，； 所以，； 由，解得； 所以，； （2）令， 得， 即，； 解得，； 当时，， 所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售， 且单日室外销售时间最长不能超过（小时）． 【变式3-1】（2026·高一·福建漳州·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0：00 4.25 9：00 1.75 18：00 4.25 3：00 6.75 12：00 4.25 21：00 1.75 6：00 4.25 15：00 6.75 24：00 4.25 （1）设港口在时刻的水深为米，现给出两个函数模型：和.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出时，港口的水深. （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？ 【解析】（1）选择函数模型更适合 因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 因为，所以， 所以， 因为时，，代入上式得，因为，所以， 所以. 当时，， 所以在时，港口的水深为3米 （2）因为货船需要的安全水深是米，    所以时，船可以进港， 令，则，   因为，解得或， 所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.   因为，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【变式3-2】（2026·高一·广东茂名·期末）如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：    0 4 6 9 3 -3 0 6 9 (1)现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题： （i）每分钟小球能往复振动多少次？ （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？ 【解析】（1）选择模型①，．由于，则， 又根据数据可知，且，故， 所以， 由，，得， 所以． （2）（i）因为，所以每分钟小球能往复振动次． （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm， 即时，， 所以， 故，， 故，， 又，故，1，则， 所以持续时间为． 【变式3-3】（2026·高一·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 【解析】（1）（i）当时，，由，得， 因为，所以此次的发射仰角为，； （ii）当时，， 由，得，所以， 因为，所以，所以时，取得最大值. （2）证明：当时，， 由，得， 因为，所以， 代入式整理得， 得， 所以，其中， 所以，解得. 【方法技巧与总结】 数据拟合的通法 （1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用． （2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题． 题型四：三角函数在圆周问题中的应用 【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在 农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 ，筒车转轮的中心 到水面 的距离为 ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定: 盛水筒 对应的点 从水中浮 现 (即 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线 为 轴建立平面直角坐标系 . 设盛水筒 从点 运动到点 时所经过的时间为 (单位: )，且此时点 距离水面的高度为 (单位: ) (在水面下则 为负数) (1)求 与时间 之间的关系. (2)求点 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 在水中的时间是 多少? 【解析】（1）依题意，设与时间t之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点P距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. （2）依题意，与x轴正方向的夹角为，因此点P第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. 【典例4-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） (1)求与时间之间的关系． (2)求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，设与时间之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. （2）依题意，与轴正方向的夹角为，因此点第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. （3）由在上的值域为， 得在上的值域为， 由，得，则，解得， 所以的取值范围是. 【变式4-1】（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； (2)求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； (3)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 【解析】（1）依题意1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为 依题意可得，，则．又，∴， 当时，，又，所以， 所以． （2） 所以旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离米； （3）令，即，∴， ∵，∴， ∴或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 【变式4-2】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 【变式4-3】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 【解析】（1）由题意得，解得，故． （2）由（1），要使单调递增，只需单调递减， 令，，得，， 又，所以的单调递增区间为，． （3）由题意，的最小正周期，又，，，， 所以 . 题型五：几何领域的三角函数模型 【典例5-1】（2026·高一·上海长宁·期末）已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； (1)若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； (2)若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 【解析】（1）因为扇形半径，圆心角， ，所以，， ， 所以， 设矩形的面积为S， 因为，所以，所以， 当，即时，面积有最大值； （2）由对称性可知，矩形面积最大时关于角平分线对称， 设，所以， 设，所以， 因为，所以，即， 所以矩形面积 所以，当， 即时，面积有最大值，， 此时 米. 【典例5-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【解析】（1）由图知，在中，，， 在中，易得，则，则， 所以； （2）； （3）若，由题意可得， 则 ， 由于，故， 则，所以， 所以平行四边形面积的取值范围为． 【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 【解析】（1）由题意，，则：，， 因为，，，为等腰直角三角形， 故，因此矩形的长， 矩形面积， 代入，，：. （2）由题可得的取值范围为， 矩形面积： ， 即与的函数关系式为：， 因为，所以， 的最大值为，当且仅当，即时取最大值， 此时的最大值为：. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【解析】（1）如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. （2）因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 【变式5-3】（2026·高一·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【解析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 1．（2026·高一·湖北恩施·期末）21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】设，. 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即. 所以 . 当时，， 所以当时，取最大值；当时，取最小值. 所以，即的值域为. 所以的最大值为. 2．电流随时间变化的关系式是，，则时，（    ） A．5 B．－5 C． D．－ 【答案】A 【解析】将代入， 得到， 故选项A正确. 3．（2026·高一·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 【答案】A 【解析】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为. 4．（2026·高一·上海静安·期末）某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 从上午10点到晚上8点期间，，. 余弦函数在上的取值范围是， 因此的取值范围. 因此温度变化范围为. 5．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，过作于点，在中，km， 作. 在中，，所以. 因为小时，所以受台风影响的时间为4小时. 6．（2026·高一·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 7．（2026·高一·河北·期中）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的频率为，相位为． 8．（2026·高一·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，所以， 若，则， 若，则，所以. 由，得，则， 因为，所以，则，解得. 9．（多选题）（2026·高一·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 【答案】BCD 【解析】由表格数据可知，，故，解得，故A错误； 因为，故，解得，故B正确； ，故，， ，故C正确； ，即， ，又，， 故该船当天在港口停留的时间最多为4小时，D正确. 10．（多选题）（2026·高一·四川绵阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】BCD 【解析】因为， 对于选项A：当时，则，故A错误； 对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确； 对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率， 所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确. 11．（多选题）（2026·高一·江西九江·阶段检测）某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（    ）． A． B． C．在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数 D．在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为，即， 且，则，即，故A正确； 对于选项B：因为，即， 且，则， 当为奇数时，则，故B错误； 对于选项C：若，则，且， 因为在内有且仅有一个零点，在有2个零点， 则在内有奇数个零点， 所以在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C正确； 对于选项D：因为为偶函数，且在时，质点位于最高点， 根据对称性可知在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D正确. 12．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【答案】2 【解析】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 13．（2026·高一·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 【答案】 【解析】由图象可知，函数最大值为，所以， 因为，所以，而，，所以， 当时，，所以，， 因为，所以，故. 14．（2026·高一·山东德州·期中）如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 【答案】 【解析】设（），则，，，所以， 所以，矩形的面积 当，即时，矩形的面积取得最大值． 15．交流电的电压（单位：V）随时间（单位：s）变化的关系式是． (1)求开始时（）的电压； (2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔. 【解析】（1）当时，（伏）， 即开始时的电压为伏； （2）电压的最大值为伏， 令，得， 故当秒时第一次获得这个最大值. （3）因为，所以电压值重复出现一次的时间间隔为； 16．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 【解析】（1）描出所给点如图所示. （2）由（1）知选择较合适. 令. 由图知，所以， 把代入，得. 故所求拟合模型的解析式为. （3）由，得， 则， 即， 注意到，所以或或， 再结合题意可知，安排在11时到19时训练较恰当. 17．某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 【解析】（1）观察表格可知，函数在和时，的值相等，故函数的周期为，， 由数据可知，函数的最大值约为，最小值约为，根据振幅的计算公式可得，即， 故函数的近似表达式为； （2）由题意，该船进出港时，水深应不小于米， ，， 根据正弦函数的性质可解得， 即． 在同一天内，取时，；取时，， 该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时． 18．下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 【解析】（1） （2）最低气温为1月份，最高气温为7月份， 故，所以. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即，所以. （3）因为月份，所以不妨取. 代入①，得，故①不适合， 代入②，得，故②不适合， 代入③，得，所以③适合. 所以③最适合这些数据. 1．（2026·安徽滁州·二模）2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”． 如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在0～12时，“借道通行”的总时长约为（   ） 时间（h） 0 3 6 9 12 平均车速（km/h） 100 60 20 60 100 A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】B 【解析】由题意可得南下车辆的平均速度是正弦型函数模型， 设其解析式为， 根据图象可得, 又因为此函数图象为的图象，且函数在处最得最大值100， 由正弦函数的对称性和图象可得函数在处取得最小值20， 所以， 所以，解得， 所以， 又因为图象过点， 所以，， 取， 则， 验证：当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，，与题干中的图象完全吻合； 所以南下的函数的解析式为； 从表格中可得北上的车速函数关于对称， 且周期为12，振幅为，其图象为余弦函数的图象， 设其， 则， 所以， 经检验与表中数据完全吻合， 所以北上时，车速函数为， 令， 即， ， 整理得：， 又因为， 所以， 所以， 解得， 所以“借道通行”的总时长约为小时. 2．（2026·高一·福建厦门·期末）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【解析】对于选项A：因为为定义在上的奇函数， 所以为定义在上的奇函数，故A正确； 对于选项B：因为，则，，， 且正弦函数在内单调递增，则在内单调递增， 所以在内单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，可得的最大值，即 且的最大值为，则， 所以声音甲的响度一定比纯音的响度大，故C错误； 对于选项D：因为的最小正周期为，频率为， 又因为的最小正周期为，频率为， 且，所以声音乙一定比纯音更低沉，故D正确； 故选：C. 3．（2026·高一·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 4．（2026·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为，游客上坡时，每行走1米的“体力消耗”为.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小李四位同学分别通过计算对角度提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（    ） A．小赵：； B．小王：； C．小李：； D．小张：； 【答案】B 【解析】由题意知，坡道长度为米，设游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗为，则， 又 利用计算器计算得， ， ， ， ， 显然最小，所以当时，游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.. 故选：B. 5．（2026·高一·四川成都·阶段检测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【解析】 如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 6．（2026·高一·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 7．（2026·高一·浙江·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB. 设,则. 过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则. 在直角三角形中，,所以. 同理：. 所以. 因为（当且仅当且时等号成立）. 所以. 因为走廊的宽度与高度都是3米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为, 所以. 故选：A 8．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，设，则，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即， 所以， 故矩形的面积为： 显然当时，取得最大值， 故选:B 9．（多选题）（2026·高一·江西九江·期末）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 【答案】ABD 【解析】对于A，角速度，初始相位， 高度函数，故A正确. 对于B，令，得. 设，当时. 解，得. 对应的长度分别为和， 总长度秒，占周期秒的，故B正确. 对于C，由得， 即，其中. 利用和差化积可得，得， 所以，即. 因此，解得. 在内，解为和，和为，不是，故C错误. 对于D，由恒成立，得. 设，，则 对任意恒成立.根据正弦函数性质，需满足（另一情形不可能恒成立）， 即，解得，最小正值为，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·四川南充·阶段检测）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 【答案】AD 【解析】对于A，由题意可知，最小正周期满足，所以，故A正确； 对于B，由，又，解得：， 所以，又，即， 因为，所以，故B错误， 选项C，由A，B可得， 所以，故C错误； 对于D，由题意得：， 则有，解得：， 令时，，则一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·广东中山·阶段检测）幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场段．该摩天轮轮体直径为，最高点离地．轮体上均匀设置了依次标号为号的个座舱，开启后按照逆时针方向匀速旋转，每转一周.已知在时刻时号舱距离地面的高度（其中，，），且时，位于最低位置．且摩天轮开始启动时，号舱，号舱，号舱位置如图所示，运行过程中其离地面高度分别记为，，，则（   ） A． B．摩天轮运行一周的过程中， C．不存在使得 D．摩天轮运行一周的过程中，的情形共出现次 【答案】ABC 【解析】对于A，根据题意，得摩天轮轮体的半径为米， 因此摩天轮轮体的圆心离地米，周期，则， 当时，位于最低位置，即， 代入得， 结合，得，因此，故A正确； 对于B，个座舱均匀分布，则相邻座舱间的圆心角差为， 则座舱和座舱的圆心角差为， 则有两舱的高度差为， 其中表示在任意时刻相对于水平面的相位角（或称旋转角）， 利用和差化积公式展开得， 当，高度差取最大值， 则最大值为，故B正确； 对于C，方程等价于或， 考虑：即， 化简得， 当时，，因此当时，， 因此，与矛盾，因此不存在使得， 考虑：即， 其中和分别表示在任意时刻相对于水平面的相位角（或称旋转角）， 由于，代入得，解得或，的初始角度为， 因此当时，，则无解， 因此不存在使得， 即不存在使得，故C正确； 对于D，方程等价于或， 考虑：即， 化简得， 而在时，，则有个解， 考虑：即，由于， 代入得，解得或，的初始角度为， 因此当时，，则有个解， 因此在摩天轮运行一周的过程中，的情形共出现次，故D错误. 12．（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（   ） A．的范围是 B．新增步道CD的长度可以为 C．新增步道FG、FH长度之和不可能为 D．当点F为的中点时，草坪的面积为 【答案】BCD 【解析】设， 对于选项A，由题意可得，解得，A选项错误； 对于选项B，，则，， 所以， 令，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以新增步道CD的长度可以为，B选项正确； 对于选项C，则，， 所以， 即得， 由,得，即有， 从而. 故新增步道FG、FH长度之和不可能为. C选项正确； 对于选项D，点F为的中点时，则，则 则，从而， ，草坪的面积为. D选项正确. 13．（2026·高一·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    【答案】 【解析】由题意，筒车半径为，. 又筒车的轴心距离水面的高度为，. 筒车每分钟转2圈，每分钟转过的角度为，. . 以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，. 即，，. 又，，. 盛水筒第一次到达最高点时用时最短，此时，解得. 故最短时间为. 14．（2026·高一·江苏扬州·期中）如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 【解析】（1）如图，过点分别作垂直于为垂足， （i）因为，所以，所以， 因为， 所以，即. （ii）由得，于是， 由基本不等式，当时取等号， 所以.即的最小值为. （2）如图，延长分别交于点， 设，则， 因为在直角三角形中，，所以， 同理，在中，， 所以， 因为，得， 设，令， 因为，所以，所以， 所以，且， 令， 因为函数在上单调递增， 所以当，即时， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．7 三角函数的应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数中，，，的物理意义 3 知识点二、三角函数模型的应用 3 知识点三、三角函数模型应用的步骤 3 知识点四、三角函数应用题的三种模式 3 03 题型精讲 4 题型一：三角函数模型在物理场景中的应用 4 题型二：三角函数模型的现实生活应用 5 题型三：基于三角函数的数据拟合问题 7 题型四：三角函数在圆周问题中的应用 10 题型五：几何领域的三角函数模型 13 04 课后精练 17 05 培优拓展 22 知识点一、函数中，，，的物理意义 1、简谐运动的振幅就是． 2、简谐运动的周期． 3、简谐运动的频率． 4、称为相位． 5、时的相位称为初相． 知识点二、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 知识点三、三角函数模型应用的步骤 （1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． （2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． 知识点四、三角函数应用题的三种模式 （1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题． （2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题． （3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题． 题型一：三角函数模型在物理场景中的应用 【典例1-1】（2026·高三·甘肃·阶段检测）如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】一个单摆小球偏离铅垂线方向的角，与时间t的函数关系式是，则单摆摆动的频率是（　　） A． B． C．2 D． 【变式1-1】（2026·高一·四川南充·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当秒时，小球正在向上运动 D．当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【变式1-2】（2026·高一·福建厦门·期末）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【变式1-3】（2026·高一·北京·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有_____ ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【方法技巧与总结】 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的 三角函数知识结合解题． 题型二：三角函数模型的现实生活应用 【典例2-1】（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【典例2-2】（2026·高一·云南·期末）如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 【变式2-1】（2026·高一·上海·期末）某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，其中是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为___________．（结果保留两位小数） 【变式2-2】（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    【变式2-3】（2026·高一·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 【方法技巧与总结】 解三角函数应用问题的基本步骤 题型三：基于三角函数的数据拟合问题 【典例3-1】（2026·高一·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； (2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【典例3-2】（2026·高一·四川内江·阶段检测）长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象． (1)根据图像，试求（，，）的表达式； (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！） 【变式3-1】（2026·高一·福建漳州·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 0：00 4.25 9：00 1.75 18：00 4.25 3：00 6.75 12：00 4.25 21：00 1.75 6：00 4.25 15：00 6.75 24：00 4.25 （1）设港口在时刻的水深为米，现给出两个函数模型：和.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出时，港口的水深. （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？ 【变式3-2】（2026·高一·广东茂名·期末）如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：    0 4 6 9 3 -3 0 6 9 (1)现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题： （i）每分钟小球能往复振动多少次？ （ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？ 【变式3-3】（2026·高一·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 【方法技巧与总结】 数据拟合的通法 （1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用． （2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题． 题型四：三角函数在圆周问题中的应用 【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在 农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运 动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 ，筒车转轮的中心 到水面 的距离为 ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定: 盛水筒 对应的点 从水中浮 现 (即 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的水平直线 为 轴建立平面直角坐标系 . 设盛水筒 从点 运动到点 时所经过的时间为 (单位: )，且此时点 距离水面的高度为 (单位: ) (在水面下则 为负数) (1)求 与时间 之间的关系. (2)求点 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 在水中的时间是 多少? 【典例4-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数） (1)求与时间之间的关系． (2)求点第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少? (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【变式4-1】（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1至12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系符合正弦函数模型即（其中，，），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)求1号座舱（A点）与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； (2)求旋转2分钟后1号座舱（A点）离地面的距离； (3)在前24分钟内，求1号座舱（A点）与地面的距离为17米时t的值． 【变式4-2】（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【变式4-3】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）如图，一个大风车的半径为，每旋转一周需要，它的最低点离地面，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转．若点离地面距离与时间之间的函数关系式可以表示为． (1)求的函数解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求的值． 题型五：几何领域的三角函数模型 【典例5-1】（2026·高一·上海长宁·期末）已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； (1)若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； (2)若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 【典例5-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，过点作的垂线，垂足为． (1)请用，表示平行四边形中线段，的长度； (2)请用，表示平行四边形的面积； (3)若，求平行四边形面积的取值范围． 【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 【变式5-2】（2026·高一·上海·期中）如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. (1)当时，求矩形的面积； (2)写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【变式5-3】（2026·高一·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 1．（2026·高一·湖北恩施·期末）21世纪以来，我国在载人航天、无人机、智能机器人等高科技领域取得了举世瞩目的成就．任何精密的机械装置都离不开最基础的零部件，例如齿轮．在工程分析中，常将齿轮简化为圆盘．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒．在时刻，质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，则的最大值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 2．电流随时间变化的关系式是，，则时，（    ） A．5 B．－5 C． D．－ 3．（2026·高一·四川凉山·期末）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（    ） A．， B．2， C．， D．2， 4．（2026·高一·上海静安·期末）某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·高一·四川南充·期中）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·河北·期中）某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 10．（多选题）（2026·高一·四川绵阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 11．（多选题）（2026·高一·江西九江·阶段检测）某简谐运动模型为，其中，，，．已知在时，质点位于最高点；在时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（    ）． A． B． C．在区间内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数 D．在区间内，质点达到最低点的次数一定是偶数 12．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 13．（2026·高一·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 14．（2026·高一·山东德州·期中）如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________. 15．交流电的电压（单位：V）随时间（单位：s）变化的关系式是． (1)求开始时（）的电压； (2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔. 16．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（单位：米）随着时间（，单位：时）成周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表： /时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 /米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点； (2)观察（1）中所绘图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间. 17．某港口水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作，下面是某日水深的数据. t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像． (1)试根据以上数据，求出函数的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）． 18．下表是某地某年月平均气温（华氏）： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴（x＝月份－1），以平均气温为y轴． (1)用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？ ①；②；③. 1．（2026·安徽滁州·二模）2026年清远全市春运返程车流量已破历史高峰，特别是南下车流占比较大，为缓解南行车流压力，清远市交警在许广高速清远段实施区间“借道通行”交通管制措施，被网友俗称“潮汐车道”． 如图为某地0～12时南下车辆的平均速度随时间变化的曲线，表格是北上车辆在部分时刻监测到的车辆平均速度．根据高速流量监控系统设置，当北上车辆平均速度减去南下车辆平均速度的差超过60km/h时，系统将自动开启向北上车道“借道通行”，请选择适当的三角函数模型，并据此判断在0～12时，“借道通行”的总时长约为（   ） 时间（h） 0 3 6 9 12 平均车速（km/h） 100 60 20 60 100 A．1h B．2h C．3h D．4h 2．（2026·高一·福建厦门·期末）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（ ）. A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 3．（2026·高一·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2026·高一·上海·期中）某公园拟修建一条坡道，坡道的底端在水平面上，顶端距离水平面4米，假设坡道（不计宽度）是直线段，其所在直线与水平面所成角为，游客上坡时，每行走1米的“体力消耗”为.若要使游客从坡道底端行走到顶端的体力消耗最小.高一的小张、小王、小赵、小李四位同学分别通过计算对角度提出近似值，则四人提出的近似值中体力消耗最少的是（    ） A．小赵：； B．小王：； C．小李：； D．小张：； 5．（2026·高一·四川成都·阶段检测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 6．（2026·高一·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A． B．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 7．（2026·高一·浙江·期中）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为      A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江西九江·期末）某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（ ） A． B．在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C．方程在区间上所有解的和为4.5 D．若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 10．（多选题）（2026·高一·四川南充·阶段检测）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地面的高度，轨道最高点距离地面，最低点距离地面．入口处距离地面．当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点．设，下列结论正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B． C．时，过山车距离地面 D．一个周期内过山车距离地平面不低于的时间是 11．（多选题）（2026·高一·广东中山·阶段检测）幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场段．该摩天轮轮体直径为，最高点离地．轮体上均匀设置了依次标号为号的个座舱，开启后按照逆时针方向匀速旋转，每转一周.已知在时刻时号舱距离地面的高度（其中，，），且时，位于最低位置．且摩天轮开始启动时，号舱，号舱，号舱位置如图所示，运行过程中其离地面高度分别记为，，，则（   ） A． B．摩天轮运行一周的过程中， C．不存在使得 D．摩天轮运行一周的过程中，的情形共出现次 12．（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与相切于点F，且与、分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的、（垂足均不与O重合），在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（   ） A．的范围是 B．新增步道CD的长度可以为 C．新增步道FG、FH长度之和不可能为 D．当点F为的中点时，草坪的面积为 13．（2026·高一·北京海淀·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    14．（2026·高一·江苏扬州·期中）如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和. (1)若一根铁棒水平通过直角走廊上点与两墙分别交于点（图2），其中点分别为直角走廊内侧､外侧直角拐点，且. （i）设，求之间满足的等量关系； （ii）求的最小值； (2)若直角走廊的宽度均设计为（图3），现有一车宽为，长为（车高忽略），转动灵活的矩形平板车，求该平板车能通过此直角走廊时的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $