第5章 章末复习课 三角函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理三角函数单元核心内容，涵盖同角三角函数基本关系式、诱导公式、图象与性质、图象变换及恒等变换，结合例题解析与反思感悟呈现知识脉络，突出重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“例题-跟踪训练”分层设计，如例1通过多选辨析基本关系式应用，跟踪训练1聚焦给值求值问题，融入“整体代换”“切化弦”等技巧，培养逻辑推理与数学运算素养。基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准复习教学。

一、同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1.(1)两个基本关系式：sin2α+cos2α=1及=tan α； (2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限. 2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号. 3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角. 4.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)(多选)下列计算或化简结果正确的是(　　) A.若sin αcos α=则tan α+=2 B.若tan α=则=2 C.若sin α=则tan α=2 D.若α为第二象限角，则=2 答案　AB 解析　对于A选项，∵sin αcos α=∴tan α+=2，故A正确； 对于B选项，∵tan α=∴=2，故B正确； 对于C选项，∵α的范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C错误； 对于D选项，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴=-=0，故D错误. (2)已知sin α是方程2x2-x-1=0的根，α是第三象限角，则·tan2(π-α)=　　　　. 答案　- 解析　∵方程2x2-x-1=0的根为-或1， 又α是第三象限角， ∴sin α=- ∴cos α=-=- ∴tan α= ∴原式=·tan2α =-tan2α=-. 反思感悟　应用任意角的三角函数的定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号. 跟踪训练1　已知sin αcos α=且<α<则cos α-sin α的值为(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　由sin αcos α=>0，且<α<可知sin α<0，cos α<0且cos α>sin α， 所以cos α-sin α=. 二、三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换. 3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养. 例2　函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=3sin B.f(x)图象的一条对称轴方程是x=- C.f(x)图象的对称中心是k∈Z D.函数f(x)的单调递减区间为k∈Z 答案　B 解析　由函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象，知T= 所以T==π，解得ω=2，即f(x)=3sin(2x+φ)， 又f =3sin=3，可得φ-+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<π，可得φ=所以f(x)=3sin故A错误； f=3sin=3sin=-3，为最小值，故B正确； 令2x+=kπ，k∈Z，解得x=kπ-k∈Z， 因此f(x)图象的对称中心是k∈Z，故C错误； 令+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z，可得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 故函数f(x)的单调递减区间为k∈Z，即D错误. 反思感悟　结合三角函数的图象分析三角函数的性质时，关键要把f(x)=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成一个整体，书写时不要漏写k∈Z，注意f(x)图象的对称中心为点的形式. 跟踪训练2　(1)函数y=cosx∈的值域是　　　. 答案　 解析　∵0≤x≤∴≤x+ ∴cos ≤cos≤cos . ∴-≤y≤即值域为. (2)若函数f(x)=tanω>0)的最小正周期为则f的值是　　　　　　　. 答案　- 解析　因为函数f(x)=tanω>0)的最小正周期为所以解得ω=2， 故f(x)=tan所以f=tan=tan =tan=-tan =-. 三、三角函数的图象变换 1.由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 2.掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　已知函数f(x)=4sincos ωx在x=处取得最值，其中ω∈(0，2). (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=求cos α的值. 解　(1)f(x)=4sincos ωx =4cos ωx =2sin ωxcos ωx-2cos2ωx =sin 2ωx-cos 2ωx- =2sin. ∵函数f(x)在x=处取得最值， ∴2ω×=kπ+k∈Z， 解得ω=2k+k∈Z. 又ω∈(0，2)，∴ω= ∴f(x)=2sin ∴最小正周期T=. (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=2sin=2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变， 得到函数y=2sin的图象， 即g(x)=2sin. ∵α为锐角，g(α)=2sin ∴sin ∴cos ∴cos α=cos = =. 反思感悟　函数y=Asin(ωx+φ)+h的解题技巧 对于y=Asin(ωx+φ)+h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性.针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 跟踪训练3　把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值. 解　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2cos再向左平移个单位长度得到函数g(x)=2cos. 因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2， 则g(x)=2cos. 又因为函数g(x)为奇函数， 所以φ+=kπ+k∈Z， 又0<φ<π，则φ=. 四、三角恒等变换与三角函数的综合问题 1.三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 2.通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养. 例4　已知函数f(x)=cos xsincos2x+x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值. 解　(1)f(x)=cos xcos2x+ =sin x·cos x-cos2x+ =sin 2x-1+cos 2x)+ =sin 2x-cos 2x=. ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)∵-≤x≤∴-≤2x- ∴-1≤sin∴-≤f(x)≤ ∴函数f(x)在闭区间上的最大值为最小值为-. 反思感悟　解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用. 跟踪训练4　已知函数f(x)=cos·cos. (1)求f的值； (2)将f(x)图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x)的图象关于点对称，求当m取最小值时，函数g(x)的单调递增区间. 解　(1)f=cos =cos. (2)f(x)=sin =. 将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度， 得到g(x)=. ∵g(x)的图象关于点对称， ∴sin=0， ∴+2m=kπ，k∈Z，∴m=k∈Z， ∵m>0，∴当k=1时，m有最小值. 此时，g(x)= 由-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤-+kπ，k∈Z. ∴函数g(x)的单调递增区间是k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $