5.7 三角函数的应用 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 5.7　三角函数的应用

 必修第一册　第五章　三角函数

[学习目标]

1．通过水深、气温、转动高度、交变电流等实例，认识周期现象与三角函数模型 的对应关系，会把周期现象转化为三角函数问题。

2．能由图象或实际数据确定模型中的 、、、φ，写出刻画周期现象的解析式，并说明各系数的实际意义。

3．会用所建模型求指定时刻的量值、满足给定条件的时间段与持续时长，并对结果的实际意义进行检验和解释。

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 1．周期现象与三角函数模型

观察图 1：某港口在 0 时至 24 时的水深 （单位：米）随时间 （单位：时）变化的曲线近似满足 。自变量 每增加 12， 相应增加 ，水深 的值重复一次： 时 ， 时仍有 ； 时 ， 时仍有 。气温、水位、转盘上某点的高度、交变电流的强弱，都具有这种经过固定时间间隔重复出现的规律。

图 1: 某港口 0 时至 24 时的水深曲线与直线

(1) 如果量 随时间 的变化满足：存在非零常数 ，当 增加 时， 的值，那么称这类现象为 现象。

(2) 形如 （其中 ，）的函数叫做 模型，它的最小正周期 ，值域是。

(3) 在模型中， 叫做，反映量 偏离常数 的最大幅度； 反映量 变化的平均位置； 由实际周期决定，即 ；φ 由 决定。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 某地昨天 8 时与今天 8 时的气温相同，所以气温是以 24 小时为周期的周期现象。（　　）

(2) 量 随时间 的变化满足 ，则 是以 1 为周期的周期现象。（　　）

 2．由图象（数据）确定模型中的系数

图 2 是某个周期现象的图象。从图上可以读出三个数据：最高点的纵坐标为 5，最低点的纵坐标为 1，相邻一个最高点与一个最低点的横坐标相差 4。这三个数据分别定出 与 、，再取一个特殊点定出 φ，按此三步可得 。

图 2: 周期现象图象中的最大值、最小值与重复间隔

(1) 设量 的最大值为 、最小值为 ，则 ，。

(2) 由实际周期定 ：。相邻两个最高点的横坐标之差等于，相邻一个最高点与一个最低点的横坐标之差等于。

(3) 由初始状态定 φ：把图象上 的坐标代入解析式，再由该点处图象的上升或下降确定所取的值；若从 且随后上升的时刻开始计时，可取 φ=。

判断

(1) 某周期现象中 的最大值为 9、最小值为 3，则模型中的 、。（　　）

(2) 一个单摆完成一次完整摆动需要 12 s，则相应模型中的 。（　　）

(3) 只要 时 ，就有 φ=0。（　　）

 3．用模型求时刻、时间段与持续时长

在图 1 中已画出水平线 。它与水深曲线在第一个周期内有 (1,11)、(5,11) 两个交点，在第二个周期内有 (13,11)、(17,11) 两个交点；曲线位于这条直线上方的部分，对应的就是 1 时至 5 时和 13 时至 17 时。求水深不小于 11 米的时间段，就是求这条水平线上方图象所对应的 的取值范围。

(1) 求时刻：令 等于给定值，把 看成一个整体 ，先求出 在一个周期内使 （）成立的 个值，再加 （）写出全部解。

(2) 求时间段：由正弦曲线或单位圆写出使 的 的取值范围，把 换回 解出范围，最后与实际问题允许的 取交集。

(3) 求持续时长：同一周期内满足条件的时间区间的 就是该段的持续时长，共有几段时把各段时长相加。

 提醒： 所得结果必须回到实际背景检验：时刻要落在允许的时间范围内，答案要按题意写成“从几时到几时”“共几小时”。

判断

(1) 由 解得 ，所以在 0 时至 12 时内只有 1 时水深等于 11 米。（　　）

(2) 只要解出的 使方程或不等式成立，就可以作为实际问题的答案。（　　）

[常用结论]

1. 三角函数模型 （，）中四个系数的确定方法

2. 由图象读周期 的三个间距：相邻两个最高点（或相邻两个最低点）的横坐标之差为 ；相邻最高点与最低点的横坐标之差为 ；最高点（或最低点）到相邻的与直线 交点的横坐标之差为 。

3. 一个周期内的两解关系：当 时，方程 在 内的两个解 、（）满足 ，不等式 的解为 ；当 时，。相应时间段长度为 。

4. 匀速转动（摩天轮、筒车、指针端点）距参考面的高度：半径 、周期 、圆心（转轴）到参考面的距离为 ，则 、、；从最低点开始计时得 ，从最高点开始计时得 ，从与圆心等高处开始且高度随之增大得 。

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 题型一　由图象或数据建立三角函数模型

[典例 1-1] 图 3 是某弹簧振子做简谐运动的图象，其中 表示振动时间（单位：s）， 表示振子离开平衡位置的位移（单位：cm），则 关于 的解析式是（　　）

图 3: 弹簧振子的位移—时间图象