精品解析：黑龙江牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2026－2027学年度第一学期九年级期中考试数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2026－2027学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的辨认，掌握好中心对称图形的定义是关键． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，是中心对称图形，符合题意； 对于B，不是中心对称图形，不符合题意； 对于C，不是中心对称图形，不符合题意； 对于D，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 若点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】点关于原点对称后的点坐标为． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选C． 3. 若关于的方程有两个不相等实数根，则实数的最小整数值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由方程有两个不相等实根，需同时满足二次项系数非零、判别式大于0，据此求解k的最小整数值． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵， ∴， 解得， 又， ∴的最小整数值为2． 4. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设路宽为xm， 由题意得，（40-2x）（70-3x）=40×70×（1-）． 即（40-2x）（70-3x）=2450． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 5. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x==-1， ∵B（-3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴y1＞y2． 故选A 6. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 7. 如图，反比例函数的图象上有两点和，横坐标分别是和，且，过点作轴平行线，过点作轴平行线，交于点，连接，，，若，则值等于（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：延长交轴于点， 点和点，横坐标分别是和，且， ， 轴，面积为1， ∴， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数在第二象限， ． 8. 关于x的二次函数和一次函数（a，c都是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数与系数的关系，分别判断出每个选项中二次函数和一次函数中的符号，若的符号一致，且与y轴交点坐标相同即为所求． 【详解】解：A、抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，则；一次函数经过第一、二、三象限，则，二者的符号不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，则；一次函数经过第一、二、三象限，则，二者的符号不一致，不符合题意； C、抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，则；一次函数经过第二、三，四象限，则，但是二者与y轴的交点不一致，不符合题意； D、抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，则；一次函数经过第一、三、四象限，则，二者与y轴的交点一致，符合题意； 故选D． 9. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，求出，作于，则，由勾股定理可得，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称轴和交点坐标确定，，之间的数量关系，并结合的取值范围判断代数式的符号或取值范围． 【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 由函数图象可得，当时，，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，抛物线有最大值，为， ∵， ∴，故③正确； ∵关于的一元二次方程为， ∴， 由可得， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 将变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 若是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义对所求代数式的二次项降次，结合根与系数的关系整体代入求值，无需单独计算的具体值． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程可得，即， ∵是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，得，， 将代入所求代数式： ， 将，代入上式： 原式． 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴，再根据的正负分开口向上、向下两种情况，结合给定的取值范围，分别定位对应最小值的位置，列方程求解的值． 【详解】解：该二次函数为顶点式， ∴ 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 分两种情况讨论： 1. 当时，抛物线开口向上，顶点为区间内的最低点， ∵ 对称轴在区间内 ∴ 当时，取得最小值 由题意得，解得，符合的条件； 2. 当时，抛物线开口向下，顶点为区间内的最高点，最小值出现在离对称轴最远的端点处 计算区间端点到对称轴的距离： 到的距离为； 到的距离为， ∵ ∴ 离对称轴更远，此时取得最小值， 将代入函数得： ， 由题意得，解得，符合的条件， 综上，的值为或． 13. 已知抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线平移与关于轴对称的变换规则，从最终抛物线逆向推导原抛物线解析式，再计算的值即可． 【详解】解：∵抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为， ∴先把关于轴对称，即把换为， 得， 将该抛物线右移2个单位即可得到原抛物线：， 展开并整理：， ∴，，， ∴ ． 14. 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为____________________．(结果用含根号的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】作OC⊥AB，根据折叠的性质得OD等于半径的一半，即OA＝2OD，再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠OAD＝30°，同理∠OBD＝30°，所以∠AOB＝120°，则利用弧长公式算出弧AB的长，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，得到圆锥的底面圆的半径，从而结合勾股定理求高即可． 【详解】如图，过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C， 由折叠的性质可知，， 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． ∴弧AB的长为． 设围成的圆锥的底面半径为rcm，则， ∴． ∴圆锥的高为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧长公式的计算，直角三角形的性质等，掌握弧长公式的计算以及圆锥相关基本结论是解题的关键． 15. 如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设的面积为S，利用反比例函数系数k的几何意义可知，，进一步求得，则，，结合，得到，解得，即可求解． 【详解】解：设的面积为S， 由题意得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 16. 在半径为1的中，弦，半径与弦相交所成的角为，连接，则________． 【答案】或． 【解析】 【分析】分两种情况：当时，连接，过O作于D，延长交圆O于F，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求得，则，由垂直平分得到，进而证明为等边三角形求得，然后利用三角形的内角和定理求得的度数，再利用圆周角定理求解即可；当时，根据三角形的外角求解的度数，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当时，如图，连接，过O作于D，延长交圆O于F， 则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴，则垂直平分， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； ②当时，如图， 同理，由①证得为等边三角形，， 则， ∵， ∴， 综上：或． 17. 如图，已知正方形的边长是，是边上的一动点，线段绕点顺时针旋转到，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点M，使，连接，，证明，可得，在的延长线上，取一点，使，则，证明，可得点A，点F，点三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，在上取点M，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 线段绕点顺时针旋转到， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 在的延长线上，取一点，使，则， ，， ， ， ， ∴点A，点F，点三点共线时，有最小值为的长， 根据勾股定理可得， 的最小值为． 18. 如图，正方形在直角坐标系的第一象限，点的坐标为，是等边三角形，将依次绕点，，，旋转，第一次将绕点顺时针旋转，得到，第二次将绕点顺时针旋转，得到…当旋转2026次时，顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出到的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：根据题意可得，， 第三次将绕点顺时针旋转30°，得到，如图，过点作交于点， 为等边三角形， ，， ， 第四次将绕点顺时针旋转30°，得到，如图， 此时， 第五次旋转点不动，此时， 第六次将绕点顺时针旋转30°，得到，如图， 同理计算可得， 以此类推，可得，，，，，，， 发现12次一个循环， ， 当旋转2026次时，顶点的坐标与相同，为． 三、解答题（满分66分） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 20. 先化简，再求值．其中为的解． 【答案】化简结果为，求值结果为 【解析】 【详解】解： ， 为的解， ， ， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，请画出；并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式可直接进行作图，然后根据坐标系可得点的坐标； （2）根据旋转的性质得到点，然后连线即可，最后根据坐标系可得点的坐标； （3）根据扇形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中的坐标系可知： ， ∴线段在旋转过程中扫过的面积． 22. 如图，抛物线交轴于点和点（点在点左侧），交轴于点．已知抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由对称轴与点的横坐标定出点，按与轴的两个交点设出解析式，再与题面给出的式子比较系数求、． （2）先由定出的度数，再把化成过、的两条直线，与抛物线联立成一元二次方程，舍去与点重合的解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，点与点关于直线对称． ∴． ∵抛物线与轴交于、． ∴可设，即． 又． ∴，． ∴，． ∴． 【小问2详解】 解：由、与坐标原点，得，． ∴，即． ∵． ∴． ∵在轴上，过、的直线与轴成角． 设过、的直线为，， ∴代入，可得， ∴过、的直线为或． ∵点在抛物线上． ∴或． ∴或． ∵时点与点重合，不合题意． ∴或． ∴或． 线段与过点的两条直线同抛物线画在同一坐标系中，两条直线与抛物线除点外的交点分别为、，即所求的两个点 【点睛】把化成过、的两条直线是本题的关键：落在轴上，的角条件使点只能落在过且与轴成角的两条直线上，几何条件随之变成两个一元二次方程；求出根后必须舍去与点重合的那一个． 23. 关于的方程有两个实数根和，且． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在满足？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 存在满足条件的，的值为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，利用判别式列不等式求解的取值范围； （2）利用方程根的定义对降次，结合根与系数的关系化简等式，求解后结合（1）的范围取舍． 【小问1详解】 解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：存在， ∵是方程的根， ∴， 即， 将代入，得， 整理得 ， 由根与系数的关系，得， 代入得， 即， 解得，， 由（1）知， ∵，不符合题意，舍去，，符合题意， ∴存在满足条件的，的值为． 24. 【问题背景】如图，在中，，，点，在直线上，，试探究，，之间的数量关系． （1）【初步感知】如图1，当点，在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间的数量关系为________； （2）【深入探究】如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2）解：猜想：，理由如下， ∵，，， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，连接 则，，，， ∴， ∴，得． ∵，． ∴． ∴． ∴． ∴，猜想成立． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转把换成，用与的度数凑出，再用全等把换成． （2）沿用旋转构造，先算与得到为直角，再用勾股把三条线段连起来． （3）由勾股求，按三等分点定、，把前面得到的关系化成关于的方程，再用面积法求点到直线的距离． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， 如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ②由①可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的三等分点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设点到直线的距离为． ∵． ∴， ∴． ∴． ∴． 25. “山海关不住，东北超级酷”，2026年首届东北地区城市足球联赛，为东北足球的发展注入新的活力，众多球迷跨区域观赛的同时也带动了东北三省的文旅热潮，某文创店4月份销售东北超球星卡盲盒200件，自开赛以来，5、6月份盲盒销量持续稳步增长，6月份销量达到338件． （1）求商家5、6月份销售盲盒的月平均增长率； （2）随着东北超热度不减，盲盒数量紧缺，商家决定涨价，盲盒原进价每件35元，售价每件50元时，每个月可卖出500件；若每件盲盒上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于70元），设每件盲盒的售价上涨元（为正整数），每个月销售利润为元． ①若上涨5元，每个月可卖出________件，则每个月的销售利润为________元． ②求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ③请直接写出盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）①450，9000 ②（且为正整数）； ③售价定为67元或68元时月利润最大，最大月利润为10560元． 【解析】 【分析】（1）设5、6月份的月平均增长率为，根据4月份销售东北超球星卡盲盒200件，经过连续两个月增长到6月的338件列方程求解，取合适的值作答即可； （2）①根据“每件盲盒上涨1元，则每个月少卖10件”求出件数，再乘以单件利润即可； ②先根据题意得到每件上涨元后的单件利润及月销量，进而得到与之间的函数关系式，根据售价不高于70元且是正整数求出自变量的取值范围即可； ③根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设5、6月份的月平均增长率为． ∵4月份销售东北超球星卡盲盒200件，经过连续两个月增长到6月的338件， ∴ 解得，（舍去） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：①当上涨5元时，每月少卖件，可卖出件； 此时每件利润为元，总利润为元． ②每件上涨元后，单件利润为元，月销量为件， 因此总利润：， ∵售价不高于70元且是正整数， ∴， 解得：， ∴（且为正整数）； ③对二次函数， 函数开口向下，对称轴为直线． ∵是正整数， ∴当或时，取最大值， 此时售价为元或元， 此时，即最大利润为10560元． 答：售价定为67元或68元时月利润最大，最大月利润为10560元． 26. 综合与探究 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，直线经过、两点，点是抛物线上的一个动点（不与点、重合）． （1）求直线的函数解析式； （2）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当点到达点时，点，同时停止运动．设的面积为，点运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若点是直线上的一个动点，请判断在点左侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式； （2）根据点的坐标以及勾股定理求出相关线段的长度，确定的取值范围，过点作轴于点，分两段求函数解析式； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质得出相等的边，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出相等的边，假设，则，同理，再分另一种情况进行讨论，利用一次函数和二次函数的性质进行求解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得或， ∴； 当时，， ∴； 假设直线的函数解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：由和可得，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，， ∴， 当点在线段上时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， 综上，； 【小问3详解】 解：①如图所示，当点位于轴上方时， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则； ，， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得或，都符合题意， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②如图所示，当点位于轴下方时，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，， ∴， 假设，则； ，， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第一子联盟 2026－2027学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 3. 若关于的方程有两个不相等实数根，则实数的最小整数值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 6. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象上有两点和，横坐标分别是和，且，过点作轴平行线，过点作轴平行线，交于点，连接，，，若，则值等于（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 关于x的二次函数和一次函数（a，c都是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且．有下列结论： ①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根；⑤若且，则；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 若是方程的两个实数根，则的值为________． 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为________． 13. 已知抛物线先左移2个单位长度，再关于轴对称后，得到的新抛物线为，则________． 14. 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为____________________．(结果用含根号的式子表示) 15. 如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 16. 在半径为1的中，弦，半径与弦相交所成的角为，连接，则________． 17. 如图，已知正方形的边长是，是边上的一动点，线段绕点顺时针旋转到，连接，，则的最小值为________． 18. 如图，正方形在直角坐标系的第一象限，点的坐标为，是等边三角形，将依次绕点，，，旋转，第一次将绕点顺时针旋转，得到，第二次将绕点顺时针旋转，得到…当旋转2026次时，顶点的坐标为________． 三、解答题（满分66分） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值．其中为的解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，请画出；并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 22. 如图，抛物线交轴于点和点（点在点左侧），交轴于点．已知抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 23. 关于的方程有两个实数根和，且． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在满足？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 【问题背景】如图，在中，，，点，在直线上，，试探究，，之间的数量关系． （1）【初步感知】如图1，当点，在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间的数量关系为________； （2）【深入探究】如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，请直接写出的值． 25. “山海关不住，东北超级酷”，2026年首届东北地区城市足球联赛，为东北足球的发展注入新的活力，众多球迷跨区域观赛的同时也带动了东北三省的文旅热潮，某文创店4月份销售东北超球星卡盲盒200件，自开赛以来，5、6月份盲盒销量持续稳步增长，6月份销量达到338件． （1）求商家5、6月份销售盲盒的月平均增长率； （2）随着东北超热度不减，盲盒数量紧缺，商家决定涨价，盲盒原进价每件35元，售价每件50元时，每个月可卖出500件；若每件盲盒上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于70元），设每件盲盒的售价上涨元（为正整数），每个月销售利润为元． ①若上涨5元，每个月可卖出________件，则每个月的销售利润为________元． ②求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ③请直接写出盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 26. 综合与探究 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，直线经过、两点，点是抛物线上的一个动点（不与点、重合）． （1）求直线的函数解析式； （2）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当点到达点时，点，同时停止运动．设的面积为，点运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）若点是直线上的一个动点，请判断在点左侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $