精品解析：黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第三子联盟2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2025-2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 本考场试卷序号（由监考填写） 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 3. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知是非零实数，在同一直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为方程的根，那么的值为（　　） A. -2022 B. 2022 C. 0 D. 4044 9. 如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A. 15 B. C. 35 D. 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，底面积是______． 13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 14. 若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 15. 如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是_________． 16. 抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是_______． 17. 如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则______． 18. 如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为__． 19. 如图1，在中，，，，点D是的中点，点E是的中点，连接．如图2，将绕A点顺时针旋转到点C，D，E首次在同一条直线上，连接．则的长为________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为________． 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为． （1）先将向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （3）在上述（2）的旋转过程中，直接写出所扫过的面积． 23. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 24. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 25. 若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当时，则相应的“勾系一元二次方程”为________； （2）当时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 26. 已知正方形，点在直线上，点在射线上，． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，直接写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，则的长为___________． 27. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数解析式； （2）若的面积为，在点运动过程中，求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第三子联盟 2025-2026学年度第一学期九年级期中考试 数学试卷 考生注意： 本考场试卷序号（由监考填写） 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 3. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数解题即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 4. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知是非零实数，在同一直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两个函数的交点即可判断． 【详解】解：令， ∴， 解得：， ∴两函数有且只有一个交点， 选项中只有A图符合， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，本题的关键是能够求出两个函数的交点． 7. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键． 8. 已知为方程的根，那么的值为（　　） A. -2022 B. 2022 C. 0 D. 4044 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故选：C． 9. 如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A. 15 B. C. 35 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接交于，连接，因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵，， ， ∵点是的中点，即， ∴是的中位线， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， ∵半径为10， ∴ 此时的最小值． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ， ，所以②正确； 抛物线经过点， 时，， ，所以③错误； 点，离对称轴要比点，离对称轴要远， ，所以④正确． 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最大值， （其中， （其中， ， ， ，所以⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ，． 故答案为：，． 12. 一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，底面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，然后计算底面积即可． 【详解】解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为. ， 解得： ； 故答案为：． 【点睛】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式，熟练掌握运用这些公式是解题关键． 13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红球 白球 蓝球 红球 （红球，红球） （白球，红球） （蓝球，红球） 白球 （红球，白球） （白球，白球） （蓝球，白球） 蓝球 （红球，蓝球） （白球，蓝球） （蓝球，蓝球） 由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果， 所以两次摸到球的颜色相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式、算术平方根的非负性等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据非负数的性质求出，，再根据且，得到k的取值范围即可． 【详解】∵， ∴，且， 解得， 又∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即，且， 解得且； 故答案为：且． 15. 如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴． ∵、都是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 16. 抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】解：抛物线， 向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为，则顶点为， 将所得抛物线绕原点旋转后，顶点变为，开口方向由向上变为向下， 故解析式为． 故答案为：． 17. 如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外心的性质结合可得出，再根据圆周角定理可得出，从而可求出，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点O为的外心， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 18. 如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为__． 【答案】2或2 【解析】 【分析】先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC是等腰直角三角形，当 ∠AOC＝90°，连接OB，根据勾股定理可得斜边AC的长，当 ∠OAC＝90°，同理可求． 【详解】解：连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵BC＝OA， ∴OB＝BC＝2， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠ACO≤45°， 当∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形时， ∴OC＝OB＝2， ∴AC＝＝＝2； 当∠OAC＝90°，四边形OACB是正方形， OC=2； 故答案为：2或2． 【点睛】本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学的知识求出OC． 19. 如图1，在中，，，，点D是的中点，点E是的中点，连接．如图2，将绕A点顺时针旋转到点C，D，E首次在同一条直线上，连接．则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，中点和三角形中位线的性质，求出的长，由旋转不变性，结合勾股定理求出的长，证明，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， 由旋转性质得，，， ∵C，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【详解】解： ∵a是方程x2－x=6的根， ∴a2－a=6． ∴原式=． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为． （1）先将向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （3）在上述（2）的旋转过程中，直接写出所扫过的面积． 【答案】（1）作图见解析；坐标为 （2）作图见解析；的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移和旋转，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （2）根据旋转的性质找出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （3）先利用勾股定理求出，再根据旋转了，利用扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意得， 则， ∴所扫过的面积：． 23. 已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)、y=-+2x+8；(2)、30. 【解析】 【详解】试题分析：根据交点和最值得出顶点坐标，然后将解析式设成顶点式，然后将交点代入求出a的值；将四边形的面积转化成△AOD的面积+四边形DOEC的面积+△BCE的面积进行求解． 试题解析：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1． 又∵函数的最大值为9， ∴抛物线的顶点为C（1，9）． 设抛物线的解析式为y=a+9，代入B（4，0），求得a=-1． ∴二次函数的解析式是y=-+9， 即y=-+2x+8． （2） 当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）． 过C作CE⊥x轴于E点． ∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30． 考点： 24. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 25. 若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当时，则相应的“勾系一元二次方程”为________； （2）当时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1） （2），，， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可求解； （2）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义写出该“勾系一元二次方程”，最后利用公式法解方程即可； （3）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 当， ， ， ∴，； 当， ， ， ∴，； ∴“勾系一元二次方程”的根为，，，； 【小问3详解】 证明：对方程，判别式 ∵ ， ∴ 又 ∵， ∴ 故方程必有实数根． 26. 已知正方形，点在直线上，点在射线上，． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，直接写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，则的长为___________． 【答案】（1）见解析 （2）点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时， （3）或 【解析】 【分析】（1）延长到点M，使，连接，然后证明，则，那么； （2）点在线段延长线上时，以及点在线段延长线上时，同（1）构造辅助线证明即可； （3）当点在线段上时，则，然后由勾股定理可得，则；点在线段延长线上时，则，然后由勾股定理得，则． 【小问1详解】 证明：延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图②，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 如图③，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 综上：点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在线段延长线上时， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数解析式； （2）若的面积为，在点运动过程中，求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）过点作于，解方程可得，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出、和的长，得到点、的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接交于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再求出，可得为的中点，利用勾股定理可得，再证得是等边三角形，可得，然后分情况讨论，当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意；当时，同理即可解答； （3）分情况讨论，①当是矩形的边时，则，过点作于，首先求出，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出和，再利用平移的性质得出点的坐标；②当是矩形的对角线时，则，过点作于，证明，可得然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再利用平移的性质得出点的坐标． 【小问1详解】 解：方程， 解得，（舍去）， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ∴，即， ∴， （负值舍去）， ， 过点作于，如图1， ，， ∴， ∴， ， ， 设直线的解析式为，代入得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则，令时，解得， ， ， ∵， ∴为的中点， 在中，， ， 是等边三角形， ， 当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，如图2， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意； 当时，即点在线段上运动时，如图3， 则， ∴， 同理得， ∴的面积； 综上所述，与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或， ①如图4，当是矩形的边时，则，过点作于， ，， ，即点为与的交点， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ， ； ②如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ∴， ， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ， ； 存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用相关知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $