精品解析：上海市奉贤区待问中学2026-2027学年第一学期 九年级数学期中练习卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中练习 完卷时间100分钟 满分150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段中，成比例的线段是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法正确的是（ ） A. 它们的相似比为 B. 它们的对应高的比为 C. 它们的对应中线的比为 D. 它们的面积比为 5. 已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 7. 如果，那么的值是___________． 8. 如果点、在二次函数的图像上，那么________．（填“”“”或者“”） 9. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为________． 10. 若二次函数的图像经过原点，则的值为________． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________． 12. 若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________． 13. 已知点是线段的黄金分割点（），那么的比值为________． 14. 如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______． 15. 中，E，F分别是的中点，连接，则______． 16. 设二次函数和的图象的顶点坐标分别为和，若，且这两个函数图象的开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”．已知二次函数和二次函数（），若恰好是的“和等顶二次函数”，则的值为________． 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 已知，求： （1）的值； （2）若，求、、的值． 18. 如图，，与的交点为点． （1）若，，求的长； （2）若，，求的长． 19. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将该二次函数的表达式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 20. 已知：如图，在中，点、在边上，，，，连接、，如果是等边三角形． （1）求证：； （2）求证：． 21. 【问题情境】 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 【实验数据】 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点离地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 【数学建模】 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）求该抛物线的表达式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长； （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 22. 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标． 23. 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【问题解决】如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中练习 完卷时间100分钟 满分150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，，右边为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，是二次函数； B选项，，右边为分式，不是二次函数； C选项，，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； D选项，化简得，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数． 2. 下列各组长度的线段中，成比例的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴只有B选项中的线段成比例． 3. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故A不符合题意； 由条件，结合，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明，故B不符合题意； 由条件，结合，可以由两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似证明，故C不符合题意； 由条件，结合，不可以证明，故D符合题意； 故选D． 4. 已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法正确的是（ ） A. 它们的相似比为 B. 它们的对应高的比为 C. 它们的对应中线的比为 D. 它们的面积比为 【答案】C 【解析】 【详解】解：相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比均等于相似比，故均为；故A，B错误，C正确； 面积比为相似比的平方，即，故D错误． 5. 已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，则，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，则，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，则,故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，则，故D选项错误． 6. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 7. 如果，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质及计算，掌握比例的性质是解题的关键． 根据题意可得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 8. 如果点、在二次函数的图像上，那么________．（填“”“”或者“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴． 9. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵原抛物线的解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，即． 10. 若二次函数的图像经过原点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：代入，得，所以． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与x轴有交点等价于对应一元二次方程的根的判别式大于等于0，据此计算求解． 【详解】解：∵给定函数是抛物线， ∴二次项系数， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即 综上，的取值范围是且． 12. 若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式得到对称轴为，由的图像与轴的两交点横坐标相差，从而得到，，再根据，即可求解 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵的图像与轴的两交点横坐标相差， ∴两交点的横坐标分别为、，即，， ∵， ∴． 13. 已知点是线段的黄金分割点（），那么的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，先求出，进而即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故． 14. 如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即， 解得x=， 即正方形DEFG的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质． 15. 中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 设二次函数和的图象的顶点坐标分别为和，若，且这两个函数图象的开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”．已知二次函数和二次函数（），若恰好是的“和等顶二次函数”，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先把两函数都化成顶点式，得到，，，，代入，得到，求解即可． 【详解】∵两函数二次项系数分别为、，开口均向上， ∴配方得：，， ∴，，，， ∵， ∴，即， 因式分解得， 解得（舍去），得， ∴两个顶点为和，满足． 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 已知，求： （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）设连比的公共比值为，把、、都用表示，代入所求分式约去即可求值； （2）把三个用表示的式子代入已知和，解关于的一元一次方程，再回代求、、． 【小问1详解】 解：设． 则． ∵所求分式有意义， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由及、、，得． ∴． ∴． ∴． 18. 如图，，与的交点为点． （1）若，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可； （2）证明，得出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将该二次函数的表达式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】（1） （2），开口向上，对称轴，顶点，有最低点 【解析】 【分析】（1）设二次函数的一般式，把三个已知点的坐标分别代入得到方程组，解出待定系数即得表达式； （2）对二次项与一次项配方，把表达式化为顶点式，再由二次项系数的符号与顶点式读出开口方向、对称轴、顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【小问1详解】 解：设这个二次函数的表达式为． 把、、的坐标分别代入，得 由得． ∴． 把与相加，得． ∴． 把代入，得． ∴． 【小问2详解】 解：． ∴． ∴． ∵， ∴图象开口向上． 由知对称轴为直线，顶点坐标为． ∴图象有最低点． 20. 已知：如图，在中，点、在边上，，，，连接、，如果是等边三角形． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，证明，得到，则可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则可证明，进而可得，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【问题情境】 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 【实验数据】 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点离地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 【数学建模】 用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 【问题解决】 （1）求该抛物线的表达式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长； （3）如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）不在安全范围内，理由如下： 由题意可知，新抛物线可由抛物线向上平移5个单位得到， ∴新抛物线对应的函数解析式为，即， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新的落地点距离表演台中心约， 观众席与落地点的距离为：， ∵， ∴该位置不在安全范围内； 【解析】 【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，设顶点式，代入已知点求出，得到解析式； （2）将代入解析式，求出两个的值，差值即为水平距离； （3）抛物线形状、对称轴不变，图像向上平移得到新抛物线，求出落地横坐标，计算观众位置与落地点距离，对比判断安全性． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的最高点距地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，该抛物线对应的函数解析式为：， ∴当时，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， ∵， ∴铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有； 【小问3详解】 略． 22. 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2）（）， （3）、 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴于点，可得为等腰直角三角形，设，即可建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， （舍去），或； ∴线段的长为，当时，四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：由、可知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∴ 解得或或（舍去） ∴或． 23. 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． （1）【问题探究】如图1，求证：； （2）【问题解决】如图2，当为的中点，，时，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， 由折叠知， ， ， 又， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明； （2）设，则，用勾股定理解求出，再根据求出，进而即可求出的长； （3）延长，交于一点M，连接，先证，设，则，，再证，推出，，利用勾股定理解和，再证，根据对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ，， 为的中点， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 由（1）知， ，即 ， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图，延长，交于一点M，连接， 由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 为的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， ，即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $