17.1 用提公因式法分解因式（讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十七章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 课标要点 1．理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，能区分二者。 2．理解公因式概念，能用提公因式法进行因式分解；公因式可以是单项式，也可以是多项式整体。 3．会运用提公因式法进行简便运算、代数式求值，能解决简单实际问题。 4．发展运算能力，体会逆向思维、整体思想、类比思想，为后续分式、一元二次方程学习铺垫。 学习重难点 重点： 1．理解公因式的含义，会从系数、字母、指数三个方面确定公因式。 2．掌握提公因式法分解因式的步骤，规范书写分解结果。 难点： 1．准确识别多项式型公因式，会处理互为相反数的因式变形。 2．首项为负时提负号、括号内各项变号。 3．理解整项提出后括号内保留1，避免漏项、分解不彻底。 知识点一 因式分解 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形。 特别提醒 1）左边一定是多项式，右边必须是整式的积，左右两边相等（恒等变形）. 2）分解要分到不能再分解为止. 3）因式分解是恒等变形，不是计算求值，和整式乘法是互逆过程. 4）结果里每一个因式都必须是整式，不能出现分式、分母含字母. 5）结果一般把单项式因式写在前面，相同因式写成乘方形式. 易错提醒 1）右边不是乘积形式. 2）出现分式，不是整式. 3）没有分解彻底. 4）只提取部分公因式，漏提. 5）结果带加减号、多余括号展开. 即学即练 1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据右边是否为整式乘积形式排除部分选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A．左边为整式乘积，右边为多项式，属于整式乘法，不符合题意； B．右边为和的形式，不是整式乘积，不符合题意； C．左边为多项式，右边为整式乘积形式，且等式成立，符合题意； D．右边展开为，与左边不相等，变形错误，不符合题意． 2．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，结果不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，符合因式分解的定义，是因式分解； C、右边展开为，与左边不相等，不是因式分解； D、右边的是分式，不是整式，不符合因式分解的定义，不是因式分解． 3．（26-27八年级上·北京东城·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住因式分解结果为几个整式乘积的特征进行判断． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解； B、，等式右侧为和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，等式右侧为差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、是几个整式的乘积形式，是因式分解． 知识点二 提公因式法 多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫作这个多项式各项的公因式。 由可知，可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是除以所得的商。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 特别提醒 1）公因式包含三部分：系数最大公约数、相同字母、相同字母最低次幂. 2）首项为负时，连同负号一起提出，括号内各项全部变号. 3）某项和公因式完全一样，提完之后括号里剩1，不是0. 4）提完公因式后，括号内不能再有公因式，要一次提干净. 5）公因式可以是单项式，也可以是多项式（整体公因式）. 6）最后结果必须是整式乘积形式，括号里能化简的先化简. 易错提醒 1）漏写单独的1. 2）首项为负，只提数字，不变号. 3）公因式找不全，只提字母不提系数 / 只提系数不提字母. 4）括号里面又出现公因式，分解不彻底. 5）最后又把括号展开，变回多项式. 即学即练 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，则_______． 【答案】 【分析】将提公因式变形后得，再把，代入计算即可得答案． 【详解】解： ， 当，时，原式. 2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）把下列多项式分解因式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型01 判断是否为因式分解 解题贴士 1.核心判定标准 （1）左边：多项式； （2）右边：几个整式相乘（只有乘积，不能有加、减）； （3） 左右两边恒等（相等）； （4）是变形，不是求值、不是化简计算。 2.解题步骤 第1步：看左边 → 是不是多项式； 第2步：看右边 → 是不是纯整式的积（有没有加号、减号隔开）； 第3步：看式子 → 是不是恒等变形（两边相等）； 第4步：反向区分 → 是不是整式乘法（积→和差，不是分解）。 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据因式分解“把一个多项式转化为几个整式的积的形式”的核心定义，逐一比对四个选项左右两边的代数式形式，排除不符合要求的选项后锁定正确答案． 【详解】解：A. 从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解； B. 等式右边是整式的和的形式，不是乘积形式，不属于因式分解； C. 等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解； D. 等式左边是多项式，右边是整式相加的形式，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，不属于因式分解． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先排除右边不是整式积的形式、属于整式乘法的选项，再验证剩余选项分解是否彻底． 【详解】解：A．右边中可继续分解为，分解不彻底，不是因式分解，故A不符合题意； B．右边为，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意； C．左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故C不符合题意； D．左边是多项式，右边是两个整式的积，且因式无法继续分解，是因式分解，故D符合题意． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义即可求解． 【详解】A.是整式乘法，故不符合题意； B.右边不是积的形式，故不符合题意； C.右边是几个整式的积，是因式分解，故符合题意； D.中的分母含字母，不是整式，也不是因式分解，故不符合题意． 3．（26-27八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形恒等，逐一判断选项． 【详解】解：A、左边为整式的积的形式，变形仅调整符号，未将多项式化为整式积的形式，不符合； B、左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，且变形恒等，符合； C、右边展开为，与左边不相等，变形不恒等，不符合； D、右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不符合． 题型02 公因式 解题贴士 ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母：取各项都含有的相同字母； ③ 指数：相同字母取最低次幂。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）单项式和的公因式是______． 【答案】 【详解】解：首先确定系数的最大公约数，和的最大公约数是； 再确定两个单项式都含有的相同字母，可得都含有和； 接着取相同字母的最低次幂，的次数分别为和，取次数，的次数分别为和，取次数； 将三部分结果相乘，得到公因式为． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵多项式的各项系数为和， ∴系数的最大公约数是， ∵各项都含有的相同字母是、，且的最低指数是，的最低指数是， ∴该多项式的公因式是． 2．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A．x B．y C．xy D． 【答案】A 【详解】解：，该多项式的公因式为． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 题型03 已知因式分解的结果求参数 解题贴士 1. 展开等号右边的乘积式； 2. 右边合并同类项，整理成标准降幂多项式； 3. 左右两边同次项系数一一对应相等，列出方程（组）； 4. 解方程，求出参数，最后检验。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）若，则的值为（     ） A． B． C．7 D．13 【答案】C 【分析】展开左侧多项式乘积，根据等式两边多项式对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）多项式有一个因式是，则的值为__________． 【答案】 【分析】已知首项系数为1的二次多项式的一个因式为，可设出另一个一次因式，利用多项式相等时对应项系数相等的关系求解． 【详解】解：∵多项式有一个因式是，且该多项式二次项系数为 ∴设另一个因式为，可得． 将等式右边展开，得． ∵两个多项式相等时，对应项的系数完全相等 ∴常数项满足．一次项系数满足． 将代入一次项系数的等式，得． ∴． 2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若二次三项式可分解为，则的值为________． 【答案】 【分析】将分解后的整式展开，根据两个多项式相等则对应项系数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开，得： ， 二次三项式可分解为， 对应项系数相等，可得，， 解得， 将代入，得， 解得， ． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）如果因式分解得，则__________． 【答案】 【分析】将因式分解结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：将展开，得： ， ∵， ∴对比对应项系数可得． 题型04 提公因式法进行因式分解（提单项式） 解题贴士 步骤1：找公因式 步骤2：确定符号 如果多项式首项是负号，把负号一并作为公因式提出，提完后括号内每一项都变号。 步骤3：各项除以公因式，写进括号 用原式每一项 ÷ 公因式，得到括号里面的式子；某一项和公因式完全相同，相除后剩下1，不是0。 步骤4：检验 ① 括号内不再有公因式； ② 括号里能化简的化简； ③ 反向乘开，和原式对比，保证相等。 典｜例｜精｜析 1．（2026九年级·新疆·专题练习）分解因式：＝__________. 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，确定公因式是，然后提取公因式即可． 【详解】解：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：∵ 多项式的两项分别为、， ∴ 两项的公共因式为， ∵ 用公因式分别除两项，可得剩余部分为、， ∴ 提取公因式后，原式可分解为． 2．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 题型05提公因式法进行因式分解（提多项式） 解题贴士 步骤1：找公因式 步骤2：确定符号 如果多项式首项是负号，把负号一并作为公因式提出，提完后括号内每一项都变号。 步骤3：各项除以公因式，写进括号 用原式每一项 ÷ 公因式，得到括号里面的式子；某一项和公因式完全相同，相除后剩下1，不是0。 步骤4：检验 ① 括号内不再有公因式； ② 括号里能化简的化简； ③ 反向乘开，和原式对比，保证相等。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提公因式即可分解； （2）先将原式变形为，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】观察多项式的两项结构，确定公共因式，通过提公因式法完成因式分解． 【详解】多项式的两项分别为、， 两项系数的最大公约数为1，共含有的字母为和，的最低次幂为，的最低次幂为， 两项的公因式为， 提取公因式后，剩余的因式部分为， 原式因式分解结果为． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解：. 【答案】 【详解】解： 3．（26-27七年级上·上海·单元测试）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先将变为，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06 利用提公因式法求代数式的值 1. 观察所求代数式，找出各项公因式； 2. 提取公因式，写成因式乘积形式； 3. 对照已知条件，找到可以整体代入的部分； 4. 代入数值计算，注意符号。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 【答案】C 【分析】先将变形，再代入求解即可． 【详解】解：，， ， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，则的值为_____________． 【答案】78 【分析】利用完全平方公式的变形求出的值，再把所求式子分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先将所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ． 3．（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，，求下列各式的值． (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴． 题型07 利用提公因式法进行简便运算 解题贴士 1. 观察算式，找出每一项共同的因数（公因式，可以是整数、小数、分数）； 2. 把公因式提出来，剩下部分放进括号内相加/减； 3. 先算括号里面，优先凑整（整十、整百）； 4. 最后相乘，算出结果。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·湖南株洲·期中）利用因式分解计算：________． 【答案】 1.2 【分析】观察式子可知两项都含有公因式，提取公因式后即可简化计算得到结果． 【详解】解： ． 变｜式｜巩｜固 1．用简便方法计算：． 【答案】628 【分析】首先提取公因式，再进行计算即可求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)4047 (2)2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据平方差公式分解因式，进行简便计算即可； （2）提公因式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 提公因式法实际应用 解题贴士 1. 核心思路：读懂题意，列出代数式，优先提公因式化简，再代入求值，减少计算量. 2. 本质：实际问题里的数量关系，用提公因式简化式子，再计算。 3. 解题步骤 （1）审题：找出已知量、未知量，理清等量关系； （2）列代数式：根据题意写出原始式子； （3）因式分解：提取公因式，化简代数式； （4）代入数据计算； （5）作答（应用题必须写答句）。 4. 注意事项 （1）不要先分开相乘再相加，失去简便运算的意义； （2）单位统一！长度、价格单位不一致要先换算； （3） 列式时看清“一共、相差、剩余”，分清加号、减号； （4） 提公因式的时候，单独一项不要漏乘1； （5）结果带上单位，应用题最后一定要写答； （6） 遇到负号实际意义（减少、亏损），提负号时括号内全部变号。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·广西柳州·期中）如图，边长为的长方形周长为14，面积为10，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵边长为的长方形周长为14，面积为10， ∴， ∴. 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（     ） A．等边三角形 B．三边都不相等的三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴，即， ∴该三角形为等腰三角形. 2．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 3．（26-27七年级上·上海普陀·期中）四张长为，宽为（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，点分别是线段的中点，图中阴影部分的面积是每一张长方形纸片面积的4倍，则满足的关系式是______. 【答案】 【分析】根据图形可知，计算出阴影部分的面积，再由阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的4倍，建立等式求解即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为，则小正方形的面积为，阴影部分一个三角形的底为，高为， 则阴影部分的三角形的面积为， 阴影部分总面积为， 阴影部分的面积是一张长方形纸片面积的4倍， ， ， ∵， ∴， ． 题型09 先因式分解再求值 解题贴士 1. 观察：看所求代数式，判断适合哪种因式分解； 2. 分解：对代数式因式分解，化成乘积形式； 3. 对照：对照已知条件，锁定可以整体代入的部分； 4. 代入：把整体的值代进去，负数、分数一定要加括号； 5. 计算+检验。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【分析】先根据提公因式法分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）先因式分解，再计算求值：．其中，． 【答案】， 【分析】提出公因式，化简代数式，再把代入因式分解后的式子计算结果． 【详解】解： 把，代入得：原式． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)因式分解结果为，值为 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 当，时，原式． 基础通关 1．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为，相同字母的最低次幂为， ∴ 公因式为． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，各项共有的字母、的最低次数均为1， 故公因式为． 3．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【答案】D 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 4．（2026七年级上·上海·专题练习）分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 5．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 7．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：_____________． 【答案】 【详解】解： ． 8．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）因式分解： = __________． 【答案】 【详解】解： ． 9．（26-27七年级上·上海·单元测试）多项式中各项的公因式是___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴多项式中各项的公因式是． 10．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 【答案】 【分析】分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数为， 公因式为 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【分析】提取公因式分解因式，先确定原式两项的公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：观察原式，可得两项的公因式为，提取公因式得． 12．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知，，则_________． 【答案】6 【分析】对所求代数式提公因式因式分解后，将已知和的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 13．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】先利用，把变形为，再提取公因式，合并剩下的系数得到分解结果． 【详解】解：原式， ． 14．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)① (2)二 (3)解： ． 【分析】（1）观察原式两项都含有公因式，第一步是将公因式提取出来，据此对应判断所用的因式分解方法； （2）检查去括号的运算规则，逐一核对第二步去括号后的各项符号，判断出错步骤即可； （3）先正确提取公因式，再对括号内的项正确去括号、合并同类项，最后检查分解结果是否彻底，符合因式分解的要求． 【详解】（1）解：小明第一步将原式两项共有的公因式提取出来，使用的是提取公因式法， 因此填①； （2）解：根据去括号法则：，小明第二步去括号时错误变号，写成了， 因此从第二步开始出错； （3）略． 15．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【答案】 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 【详解】解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 素养提升 16．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则式子的值为（     ） A．0 B．4044 C．4054 D．4064 【答案】C 【详解】解： ． 17．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】将所求多项式按每3项分组，利用已知推导出，再化简计算即可得到结果． 【详解】解：设所求式子为 ∵ ，等式两边同乘得，即 ∴ 将从首项开始每3项分为一组，可得 ∵ 每组提取公因式后满足，前组共项，和为 ∴ ∵ ， ∴ ∵ ，移项得 ∴ 18．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，求下面各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用提公因式法对代数式因式分解，再代入已知条件计算即可； （）把原式转化为，再代入（）的结果计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 19．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1) (2) 另一个因式为，的值为 【分析】（1）展开等式右侧的因式乘积，对比多项式对应系数求出，，再计算的值； （2）设另一个因式为，利用多项式相等时对应系数相等列方程求解． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式为，的值为． 20．（26-27七年级上·上海松江·期中）某小区一块正方形绿化地块，边长为x米．物业规划改造：在大正方形内部，划出一块小正方形休闲区，剩余区域铺设草坪．设计师给出两种方案： 方案一：如图1，小正方形的边长比大正方形边长少米（）． 方案二：如图2，保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，但把内部小正方形调整为一个长方形，其中一边长为米． (1)用含x、y的整式，求出方案一中草坪的面积（化成最简形式）； (2)请求出方案二里面长方形休闲区域的另一边长（用含x、y的式子表示）； (3)已知x、y均为正整数，且方案一中草坪面积为124，求x，y的值． 【答案】(1)（平方米） (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积和完全平方公式解题； （2）根据铺设草坪区域的面积与方案一完全相等列式计算即可； （3）根据推出，结合x、y均为正整数分析即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中草坪的面积为： （平方米）； （2）解：∵要保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，设方案二里面长方形休闲区域的另一边长为， 则有， ∴， ∴ ； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， ∵x、y均为正整数，而， ∵， ∴， ∴， 解得． 迁移创新 21．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）阅读下面解题过程，完成后面问题 例：计算 解： (1)若，求的值（用含的式子表示） (2)若，求的值（用含的式子表示） (3)计算…… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆分为，提取公因式后代入已知条件计算； （2）将各项转化为含的形式，提取公因式后把转化为含的式子代入计算； （3）逐步提取公因式化简，通过递推规律得到最终结果． 【详解】（1）解： ， ， 原式的值为n； （2）解： ， ， ， 原式； （3）解： ． 22．（25-26七年级下·浙江温州·期末）小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 【答案】(1) (2)继续推导： ； (3)18 【分析】（1）在中，令即可求解； （2）继续因式分解即可完成推导； （3）先根据和已知求得，再整体代入中进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵正数，满足，， ∴，， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 24．（25-26七年级下·浙江金华·期中）因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 课标要点 1．理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，能区分二者。 2．理解公因式概念，能用提公因式法进行因式分解；公因式可以是单项式，也可以是多项式整体。 3．会运用提公因式法进行简便运算、代数式求值，能解决简单实际问题。 4．发展运算能力，体会逆向思维、整体思想、类比思想，为后续分式、一元二次方程学习铺垫。 学习重难点 重点： 1．理解公因式的含义，会从系数、字母、指数三个方面确定公因式。 2．掌握提公因式法分解因式的步骤，规范书写分解结果。 难点： 1．准确识别多项式型公因式，会处理互为相反数的因式变形。 2．首项为负时提负号、括号内各项变号。 3．理解整项提出后括号内保留1，避免漏项、分解不彻底。 知识点一 因式分解 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形。 特别提醒 1）左边一定是多项式，右边必须是整式的积，左右两边相等（恒等变形）. 2）分解要分到不能再分解为止. 3）因式分解是恒等变形，不是计算求值，和整式乘法是互逆过程. 4）结果里每一个因式都必须是整式，不能出现分式、分母含字母. 5）结果一般把单项式因式写在前面，相同因式写成乘方形式. 易错提醒 1）右边不是乘积形式. 2）出现分式，不是整式. 3）没有分解彻底. 4）只提取部分公因式，漏提. 5）结果带加减号、多余括号展开. 即学即练 1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·北京东城·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 提公因式法 多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫作这个多项式各项的公因式。 由可知，可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是除以所得的商。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 特别提醒 1）公因式包含三部分：系数最大公约数、相同字母、相同字母最低次幂. 2）首项为负时，连同负号一起提出，括号内各项全部变号. 3）某项和公因式完全一样，提完之后括号里剩1，不是0. 4）提完公因式后，括号内不能再有公因式，要一次提干净. 5）公因式可以是单项式，也可以是多项式（整体公因式）. 6）最后结果必须是整式乘积形式，括号里能化简的先化简. 易错提醒 1）漏写单独的1. 2）首项为负，只提数字，不变号. 3）公因式找不全，只提字母不提系数 / 只提系数不提字母. 4）括号里面又出现公因式，分解不彻底. 5）最后又把括号展开，变回多项式. 即学即练 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，则_______． 2．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）把下列多项式分解因式． (1)； (2) 3．（21-22八年级下·宁夏银川·期中）因式分解： (1) (2) 题型01 判断是否为因式分解 解题贴士 1.核心判定标准 （1）左边：多项式； （2）右边：几个整式相乘（只有乘积，不能有加、减）； （3） 左右两边恒等（相等）； （4）是变形，不是求值、不是化简计算。 2.解题步骤 第1步：看左边 → 是不是多项式； 第2步：看右边 → 是不是纯整式的积（有没有加号、减号隔开）； 第3步：看式子 → 是不是恒等变形（两边相等）； 第4步：反向区分 → 是不是整式乘法（积→和差，不是分解）。 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·山东烟台·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型02 公因式 解题贴士 ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母：取各项都含有的相同字母； ③ 指数：相同字母取最低次幂。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）单项式和的公因式是______． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A．x B．y C．xy D． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 题型03 已知因式分解的结果求参数 解题贴士 1. 展开等号右边的乘积式； 2. 右边合并同类项，整理成标准降幂多项式； 3. 左右两边同次项系数一一对应相等，列出方程（组）； 4. 解方程，求出参数，最后检验。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）若，则的值为（     ） A． B． C．7 D．13 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）多项式有一个因式是，则的值为__________． 2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若二次三项式可分解为，则的值为________． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）如果因式分解得，则__________． 题型04 提公因式法进行因式分解（提单项式） 解题贴士 步骤1：找公因式 步骤2：确定符号 如果多项式首项是负号，把负号一并作为公因式提出，提完后括号内每一项都变号。 步骤3：各项除以公因式，写进括号 用原式每一项 ÷ 公因式，得到括号里面的式子；某一项和公因式完全相同，相除后剩下1，不是0。 步骤4：检验 ① 括号内不再有公因式； ② 括号里能化简的化简； ③ 反向乘开，和原式对比，保证相等。 典｜例｜精｜析 1．（2026九年级·新疆·专题练习）分解因式：＝__________. 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）分解因式：__________． 2．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）分解因式：__________． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）分解因式：_____． 题型05提公因式法进行因式分解（提多项式） 解题贴士 步骤1：找公因式 步骤2：确定符号 如果多项式首项是负号，把负号一并作为公因式提出，提完后括号内每一项都变号。 步骤3：各项除以公因式，写进括号 用原式每一项 ÷ 公因式，得到括号里面的式子；某一项和公因式完全相同，相除后剩下1，不是0。 步骤4：检验 ① 括号内不再有公因式； ② 括号里能化简的化简； ③ 反向乘开，和原式对比，保证相等。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：__________． 2．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解：. 3．（26-27七年级上·上海·单元测试）分解因式： (1)； (2)． 题型06 利用提公因式法求代数式的值 1. 观察所求代数式，找出各项公因式； 2. 提取公因式，写成因式乘积形式； 3. 对照已知条件，找到可以整体代入的部分； 4. 代入数值计算，注意符号。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则为（     ） A．15 B．75 C．57 D．95 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知，，则的值为_____________． 2．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）若，，则代数式的值是______． 3．（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，，求下列各式的值． (1)： (2) ． 题型07 利用提公因式法进行简便运算 解题贴士 1. 观察算式，找出每一项共同的因数（公因式，可以是整数、小数、分数）； 2. 把公因式提出来，剩下部分放进括号内相加/减； 3. 先算括号里面，优先凑整（整十、整百）； 4. 最后相乘，算出结果。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·湖南株洲·期中）利用因式分解计算：________． 变｜式｜巩｜固 1．用简便方法计算：． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解简便计算． (1)； (2)． 题型08 提公因式法实际应用 解题贴士 1. 核心思路：读懂题意，列出代数式，优先提公因式化简，再代入求值，减少计算量. 2. 本质：实际问题里的数量关系，用提公因式简化式子，再计算。 3. 解题步骤 （1）审题：找出已知量、未知量，理清等量关系； （2）列代数式：根据题意写出原始式子； （3）因式分解：提取公因式，化简代数式； （4）代入数据计算； （5）作答（应用题必须写答句）。 4. 注意事项 （1）不要先分开相乘再相加，失去简便运算的意义； （2）单位统一！长度、价格单位不一致要先换算； （3） 列式时看清“一共、相差、剩余”，分清加号、减号； （4） 提公因式的时候，单独一项不要漏乘1； （5）结果带上单位，应用题最后一定要写答； （6） 遇到负号实际意义（减少、亏损），提负号时括号内全部变号。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·广西柳州·期中）如图，边长为的长方形周长为14，面积为10，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（     ） A．等边三角形 B．三边都不相等的三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 2．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·上海普陀·期中）四张长为，宽为（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，点分别是线段的中点，图中阴影部分的面积是每一张长方形纸片面积的4倍，则满足的关系式是______. 题型09 先因式分解再求值 解题贴士 1. 观察：看所求代数式，判断适合哪种因式分解； 2. 分解：对代数式因式分解，化成乘积形式； 3. 对照：对照已知条件，锁定可以整体代入的部分； 4. 代入：把整体的值代进去，负数、分数一定要加括号； 5. 计算+检验。 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）先因式分解，再求值：，其中，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）先因式分解，再计算求值：．其中，． 3．（25-26八年级下·河北保定·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 基础通关 1．（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 4．（2026七年级上·上海·专题练习）分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 7．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：_____________． 8．（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）因式分解： = __________． 9．（26-27七年级上·上海·单元测试）多项式中各项的公因式是___________． 10．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）分解因式：______． 12．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）已知，，则_________． 13．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：． 14．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 15．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 素养提升 16．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）若，则式子的值为（     ） A．0 B．4044 C．4054 D．4064 17．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）已知，则_________． 18．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，，求下面各式的值： (1)； (2)． 19．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式：有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴， 解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 20．（26-27七年级上·上海松江·期中）某小区一块正方形绿化地块，边长为x米．物业规划改造：在大正方形内部，划出一块小正方形休闲区，剩余区域铺设草坪．设计师给出两种方案： 方案一：如图1，小正方形的边长比大正方形边长少米（）． 方案二：如图2，保持铺设草坪区域的面积与方案一完全相等，但把内部小正方形调整为一个长方形，其中一边长为米． (1)用含x、y的整式，求出方案一中草坪的面积（化成最简形式）； (2)请求出方案二里面长方形休闲区域的另一边长（用含x、y的式子表示）； (3)已知x、y均为正整数，且方案一中草坪面积为124，求x，y的值． 迁移创新 21．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）阅读下面解题过程，完成后面问题 例：计算 解： (1)若，求的值（用含的式子表示） (2)若，求的值（用含的式子表示） (3)计算…… 22．（25-26七年级下·浙江温州·期末）小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 24．（25-26七年级下·浙江金华·期中）因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $