17.2 用公式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

17.2 用公式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、知识与方法（公式分解篇） 2 二、题型一　公式分解的平方之差识别 7 三、题型二　公式分解的完全平方识别 8 四、题型三　完全平方式的结构判断 8 五、题型四　x²+(p+q)x+pq 型分解 9 六、A、公式分解平方之差落实 10 七、B、改一个式子看结论怎么变 10 八、C、找全可分解式与反例验证 11 九、D、近年真题·公式分解 11 十、E、公式分解一条链·三问收口 12 十一、课堂检测 12 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法（公式分解篇） 图0 知识点一　公式法：把乘法公式反过来用分解因式 1．公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就得到用于分解因式的公式，用这些公式分解多项式的方法叫公式法。 2．与整式乘法的关系：整式乘法是 (a+b)(a−b)=a²−b²，公式法分解因式是 a²−b²=(a+b)(a−b)，正好反着用。 3．为什么能反着用：因式分解与整式乘法是互逆变形，乘积展开与和差分解互为逆过程，所以乘法公式可逆向套用。 4．反例两则：把 a²+b² 硬写成 (a+b)² 不对，那是两项和不是平方之差；把 a²−b² 写成 (a−b)² 也不对，平方后多出了中间项。 5．换一个条件：把两项平方之差换成三项完全平方式，就要改用完全平方公式而非平方之差公式。 6．举例：x²−9=x²−3²=(x+3)(x−3)；a²+6a+9=(a+3)²。 图示1 易错提醒：公式法是乘法公式的逆用，看准式子属于平方之差还是完全平方，再选对应公式，别张冠李戴。 知识点二　平方之差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 1．平方之差公式：两个数的平方之差，等于这两个数的和与差的积，即 a²−b²=(a+b)(a−b)。 2．适用特征：必须是二项式，两项符号相反（一正一负），且每一项都能写成某个式子平方的形式。 3．为什么要求异号：同号相加（如 a²+b²）无法化成两个一次因式乘积，只有一正一负才能拆成和与差的积。 4．反例两则：a²+b² 不能用平方之差分解，因为两项同号；−a²−b² 也不能，提出负号后是 −(a²+b²) 仍同号。 5．换一个条件：把其中一项换成不是平方形式的式子（如 a²−8），因 8 不是完全平方数，本阶段不能直接用该公式。 6．举例：4m²−25n²=(2m)²−(5n)²=(2m+5n)(2m−5n)；1−36t²=(1+6t)(1−6t)。 图示2 易错提醒：用平方之差先数条件：二项、异号、都是平方；三项或同号一律不是平方之差。 知识点三　平方之差的结构判断：只靠条件不计算 1．不计算也能判：只要看式子是不是两项、是不是异号、是不是都能写成平方，就能决定能否用平方之差。 2．判定步骤：先数项数（必须是 2 项），再看符号（必须一正一负），最后看每项是否平方形式。 3．为什么不计算也行：能否套公式是结构条件（项数、符号、平方）锁死的，不必代入具体数去试。 4．反例两则：看到两项就套平方之差不对，还要验异号；看到有减号就套也不对，减号两边都要是平方。 5．换一个条件：把同号的两项改成异号，就从不可分解变成可用平方之差，结构一变结论就变。 6．举例：不计算可判 9m²−n² 能分解（二项、异号、都平方），而 x²+9 不能（同号之和）。 图示3 易错提醒：判平方之差靠三项结构：二项、异号、均为平方；少一条都不行，不必代值。 知识点四　完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)² 1．两个完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²−2ab+b²=(a−b)²，由整式乘法完全平方公式逆推而来。 2．适用特征：三项式，首末两项分别是两个数（或式）的平方且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍（可正可负）。 3．为什么中间必须是 2 倍：完全平方式来自 (a±b)² 展开，中间项天然是 ±2ab，缺 2 倍或符号不对都不成套。 4．反例两则：a²+2a+1 才是 (a+1)²，a²+a+1 不是（中间应是 2a）；x²−2x−1 不是（常数项与首项异号）。 5．换一个条件：把中间项符号由 +2ab 改成 −2ab，平方结果由 (a+b)² 变成 (a−b)²。 6．举例：a²−10a+25=a²−2·a·5+5²=(a−5)²；4a²−4a+1=(2a−1)²。 图示4 易错提醒：完全平方看三项：首平方、尾平方、首尾两倍中间放；中间项系数要正好是底数积的两倍。 知识点五　完全平方式的结构特征 1．完全平方式：形如 a²±2ab+b² 的式子叫完全平方式，可直接写成 (a±b)²。 2．首末同号：首项和末项都必须是平方且符号相同（都正），这是与平方之差最明显的区别。 3．中间判定：中间项绝对值必须等于首末底数乘积的 2 倍，符号决定写成和还是差的平方。 4．反例两则：x²+5x+25 不是完全平方式，因为中间应为 10x 不是 5x；x²−2x+4 也不是，因为 4 的开方 2 的两倍是 4x 不是 −2x。 5．换一个条件：把常数项 9 改成 1（x²+6x+1），首末不再匹配，立即不是完全平方式。 6．举例：x²+2bx+b²=(x+b)²；x²−12x+36=(x−6)²。 图示5 易错提醒：完全平方式的死穴是中间项：必须等于首末底数乘积的 2 倍，差一点就不是。 知识点六　x²+(p+q)x+pq 型：=(x+p)(x+q) 1．阅读与思考结论：由 (x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq 逆推，得到 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。 2．做法：把常数项 pq 拆成两个整数的积 p·q，使它们的和 p+q 正好等于一次项系数，于是分解为 (x+p)(x+q)。 3．为什么有效：展开 (x+p)(x+q) 正好得到 x²+(p+q)x+pq，与原式对比系数即可，是乘法公式的二次式特例。 4．反例两则：x²+5x+6 拆成 2 与 3（积 6、和 5）得 (x+2)(x+3)；若拆成 1 与 6（和 7）就错配。 5．换一个条件：常数项若拆不出和为一次项系数的两整数（如 x²+5x+8），本阶段不能这样分解。 6．举例：x²−5x+6=(x−2)(x−3)（p=−2、q=−3，积 6、和 −5）；x²+x−6=(x+3)(x−2)。 图示6 易错提醒：x²+px+q 型找两数：积等于常数项、和等于一次项系数；先定积再调和为一次项。 知识点七　不计算判能否用公式：只靠结构 1．不计算也能判：该用哪个公式，只看项数、符号、指数与中间项倍数这些结构条件，不必代入数值。 2．判方向：二项式且异号同平方走平方之差；三项式首末同平方且中间是 2 倍走完全平方；二次项系数为 1 的三项拆常数走 x²+(p+q)x+pq。 3．为什么不计算也行：公式的适用是结构判定，在代值前就由式子形状定死，先算反而绕远。 4．反例两则：必须先展开算一遍再选公式不对，结构一眼可定；把三项误当平方之差也不对。 5．换一个条件：把同号改成异号，就从完全平方候选变成平方之差候选，结论随结构变。 6．举例：不计算可判 x²−16 走平方之差、x²+6x+9 走完全平方、x²+5x+6 走拆常数。 图示7 易错提醒：不计算靠结构是公式法的核心：先认形状再套公式，绝不盲目代值试算。 二、题型一　公式分解的平方之差识别 例1 下列式子能用平方之差公式分解因式的是（　）。 A．a²+b²　B．a²−b²　C．−a²−b²　D．a²+2ab+b² 变式1-1 把 x²−9 分解因式得______。 变式1-2 不计算，判断 4m²−25n² 是否符合平方之差公式结构（　）（填符合或不符合）。 把 9−y² 分解因式得______。 不计算，判断 a²−16 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 把 25x²−1 分解因式得______。 下列能用平方之差公式分解的是（　）。 A．p²+q²　B．−p²−q²　C．p²−q²　D．p²+2pq+q² 把 16a²−b² 分解因式得______。 不计算，判断 x²+4 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 把 1−49t² 分解因式得______。 三、题型二　公式分解的完全平方识别 例2 把 a²+6a+9 分解因式，结果是（　）。 A．(a+3)²　B．(a−3)²　C．(a+9)²　D．a(a+6)+9 变式2-1 把 x²−10x+25 分解因式得______。 变式2-2 不计算，判断 m²+8m+16 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 把 y²+4y+4 分解因式得______。 把 4a²−4a+1 分解因式得______。 不计算，判断 p²−12p+36 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 把 9x²+6x+1 分解因式得______。 下列能用完全平方公式分解的是（　）。 A．a²+2a+1　B．a²+a+1　C．a²−2a+4　D．a²+4 把 25−10m+m² 分解因式得______。 不计算，判断 x²+5x+25 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 四、题型三　完全平方式的结构判断 例3 对多项式 x²+6x+9。先定解：它是完全平方式吗（　）；再找一解：分解成（　）；接着找全：要让 x²+6x+k 成为完全平方式，常数项 k 可以取哪些值（　）；最后改一个条件，只把中间项 6x 改成 8x，其余不变，新的常数项应为（　）。 变式3-1 多项式 x²+10x+25，只找一解：写出一个等价的平方形式（　），并说明中间项是怎么来的（　）。 变式3-2 多项式 x²+2bx+（　）为完全平方式，找全：常数项应填（　）；说明为什么只有这一个值（　）。 变式3-3 仍以 x²+6x+9 为基础。改一个条件：只把常数项 9 改成 16（即 x²+6x+16），其余不变，它还是完全平方式吗（　）；若要让它成为完全平方式应把中间项改成（　）。 对 x²+8x+16，先定解是否完全平方式（　）；再找一解分解（　）。 不计算，找全：x²+2bx+c 为完全平方式，常数项 c 应填（　）。 改一个条件：把 x²+6x+9 的常数项 9 改成 4（即 x²+6x+4），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 找全：x²−12x+36 还能写成（　）的平方。 五、题型四　x²+(p+q)x+pq 型分解 例4 把 x²+5x+6 分解因式，结果是（　）。 A．(x+2)(x+3)　B．(x+1)(x+6)　C．(x−2)(x−3)　D．(x+2)(x+4) 变式4-1 估算决策：判断 x²+7x+12 分解后两个常数因子的和是否为 7（　）；一步理由是（　）。 变式4-2 只把 x²+5x+6 中的常数项 6 改成 8（即 x²+5x+8），其余不变，它还能用本型拆整数分解吗（　）（填能或不能）。 将 x²+3x+2 分解因式得______。 对 x²−5x+6 分解因式得______。 不计算，判断 x²+4x+3 的两个常数因子之积是（　）（填 3、4 或 7）。 把 x²+x−6 分解因式得______。 下列能用 x²+(p+q)x+pq 型分解的是（　）。 A．x²+2x+1　B．x²−x−2　C．x²+3　D．x²+2x 将 x²−2x−8 写成整式乘积的结果是______。 不计算，判断 x²+6x+8 的两个常数因子之和是（　）（填 6、8 或 14）。 六、A、公式分解平方之差落实 把 a²−4 分解因式得______。 把 16−x² 分解因式得______。 不计算，判断 9m²−n² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 把 4y²−1 分解因式得______。 把 25p²−9q² 分解因式得______。 不用算，判断 x²+9 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 将 1−36t² 分解因式得______。 将 49a²−b² 分解因式得______。 不计算，判断 8−c² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 把 m²−64 分解因式得______。 七、B、改一个式子看结论怎么变 原 a²−9 分解为 (a+3)(a−3)。只把减号改成加号（即 a²+9），还能用平方之差分解吗（　）（填能或不能）。 原 x²−4 分解为 (x+2)(x−2)。只把 4 改成 16（即 x²−16），分解结果是（　）。 原 (a+2)² 是完全平方。只把中间项符号改成减（即 a²−4a+4），分解结果是（　）。 原 x²+6x+9=(x+3)²。只把常数项 9 改成 1（即 x²+6x+1），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 原 x²+5x+6=(x+2)(x+3)。只把一次项系数 5 改成 7（即 x²+7x+6），分解结果是（　）。 原 4a²−b²=(2a+b)(2a−b)。只把 b² 改成 9b²（即 4a²−9b²），分解结果是（　）。 原 m²+8m+16=(m+4)²。只把 8m 改成 −8m（即 m²−8m+16），分解结果是（　）。 原 x²−10x+25=(x−5)²。只把 25 改成 1（即 x²−10x+1），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 原 y²−4=(y+2)(y−2)。只把 y² 改成 9y²（即 9y²−4），分解结果是（　）。 原 x²+3x+2=(x+1)(x+2)。只把常数项 2 改成 −2（即 x²+3x−2），还能用本型拆整数分解吗（　）（填能或不能）。 八、C、找全可分解式与反例验证 不计算，找全：下列式子中能用平方之差分解的有哪些（　）。 A．a²−b²　B．a²+b²　C．−a²+b²　D．a²+2ab 判断：a²+2ab+b² 只能用完全平方公式分解，不能用平方之差（　）（填对或错）。 反例验证：有人说 x²+4 能用平方之差分解，错在（　）。 不计算，找全：x²+（　）x+9 成为完全平方式，中间项可填（　）。 判断：4x²−12x+9=(2x−3)² 是否正确（　）（填对或错）。 反例验证：x²+5x+25 不是完全平方式，错在中间项应为（　）。 找全：x²+(p+q)x+pq 型中，若 pq=12 且 p+q=7，则 p、q 可以是（　）。 不计算，判断：完全平方公式要求首末两项符号相同（　）（填对或错）。 反例验证：有人说 a²−2a−1 是完全平方式，错在（　）。 找全：能用 x²+(p+q)x+pq 型分解的式子须满足（　）。 九、D、近年真题·公式分解 1．（2025年·江苏·期中考试）下列式子能用平方之差公式分解因式的是（　）。 A．a²+b²　B．a²−b²　C．−a²−b²　D．a²+2ab 2．（2025年·山东·期末考试）把 x²−9 分解因式，结果是（　）。 A．(x+3)(x−3)　B．(x−3)²　C．x(x−9)　D．(x+9)(x−1) 3．（2026年·浙江·期中考试）不计算，判断 4m²−25n² 是否符合平方之差公式结构（　）。 A．符合　B．不符合 4．（2025年·广东·期末考试）把 a²+6a+9 分解因式得______。 5．（2026年·四川·期中考试）下列能用完全平方公式分解的是（　）。 A．x²+2x+1　B．x²+x+1　C．x²+4　D．x²−x+2 6．（2025年·河南·期末考试）把 16x²−24x+9 分解因式的结果是（　）。 A．(4x−3)²　B．(4x+3)²　C．(8x−3)²　D．(2x−3)² 7．（2026年·湖北·期中考试）把 x²+5x+6 分解因式得______。 8．（2025年·湖南·期末考试）不计算，判断 x²+4x+3 的两个常数因子之积是（　）。 A．3　B．4　C．7　D．12 十、E、公式分解一条链·三问收口 对 a²−9：(1) 不计算，能否用平方之差（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 只把减号改加号（即 a²+9），还能分解吗（　）。 对 x²+6x+9：(1) 是否完全平方式（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 只把常数项 9 改成 4，还是完全平方式吗（　）。 对 x²+5x+6：(1) 不计算，pq=（　）；(2) p+q=（　）；(3) 分解结果（　）。 对 4a²−b²：(1) 是否平方之差结构（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 估算决策：两因子之和是否为 4a（　），一步理由（　）。 对 m²+8m+16：(1) 是否完全平方式（　）；(2) 写成平方（　）；(3) 只把 8m 改成 −8m，分解结果（　）。 对 x²−7x+12：(1) pq=（　）；(2) p+q=（　）；(3) 分解结果（　）。 十一、课堂检测 不计算，判断 25−y² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 对 81a²−b² 分解因式得______。 对 x²−8x+16 作因式分解：______。 不用算，先判断 m²+10m+25 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 把 x²+2x−8 分解因式得______。（结果写成最简形式） 下列能用平方之差分解的是（　）。 A．p²+q²　B．−p²−q²　C．p²−q²　D．p²+2pq+q² 估算决策：判断 x²+9x+14 分解后两常数因子和是否为 9（　）；一步理由是（　）。 对 1−100t² 分解因式得______。 不用算，判断 x²+7x+12 的两个常数因子之积是（　）（填 12、7 或 19）。 将 y²−6y+9 分解因式得______。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2 用公式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、知识与方法（公式分解篇） 2 二、题型一　公式分解的平方之差识别 7 三、题型二　公式分解的完全平方识别 8 四、题型三　完全平方式的结构判断 10 五、题型四　x²+(p+q)x+pq 型分解 11 六、A、公式分解平方之差落实 13 七、B、改一个式子看结论怎么变 14 八、C、找全可分解式与反例验证 16 九、D、近年真题·公式分解 17 十、E、公式分解一条链·三问收口 18 十一、课堂检测 19 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法（公式分解篇） 图0 知识点一　公式法：把乘法公式反过来用分解因式 1．公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就得到用于分解因式的公式，用这些公式分解多项式的方法叫公式法。 2．与整式乘法的关系：整式乘法是 (a+b)(a−b)=a²−b²，公式法分解因式是 a²−b²=(a+b)(a−b)，正好反着用。 3．为什么能反着用：因式分解与整式乘法是互逆变形，乘积展开与和差分解互为逆过程，所以乘法公式可逆向套用。 4．反例两则：把 a²+b² 硬写成 (a+b)² 不对，那是两项和不是平方之差；把 a²−b² 写成 (a−b)² 也不对，平方后多出了中间项。 5．换一个条件：把两项平方之差换成三项完全平方式，就要改用完全平方公式而非平方之差公式。 6．举例：x²−9=x²−3²=(x+3)(x−3)；a²+6a+9=(a+3)²。 图示1 易错提醒：公式法是乘法公式的逆用，看准式子属于平方之差还是完全平方，再选对应公式，别张冠李戴。 知识点二　平方之差公式：a²−b²=(a+b)(a−b) 1．平方之差公式：两个数的平方之差，等于这两个数的和与差的积，即 a²−b²=(a+b)(a−b)。 2．适用特征：必须是二项式，两项符号相反（一正一负），且每一项都能写成某个式子平方的形式。 3．为什么要求异号：同号相加（如 a²+b²）无法化成两个一次因式乘积，只有一正一负才能拆成和与差的积。 4．反例两则：a²+b² 不能用平方之差分解，因为两项同号；−a²−b² 也不能，提出负号后是 −(a²+b²) 仍同号。 5．换一个条件：把其中一项换成不是平方形式的式子（如 a²−8），因 8 不是完全平方数，本阶段不能直接用该公式。 6．举例：4m²−25n²=(2m)²−(5n)²=(2m+5n)(2m−5n)；1−36t²=(1+6t)(1−6t)。 图示2 易错提醒：用平方之差先数条件：二项、异号、都是平方；三项或同号一律不是平方之差。 知识点三　平方之差的结构判断：只靠条件不计算 1．不计算也能判：只要看式子是不是两项、是不是异号、是不是都能写成平方，就能决定能否用平方之差。 2．判定步骤：先数项数（必须是 2 项），再看符号（必须一正一负），最后看每项是否平方形式。 3．为什么不计算也行：能否套公式是结构条件（项数、符号、平方）锁死的，不必代入具体数去试。 4．反例两则：看到两项就套平方之差不对，还要验异号；看到有减号就套也不对，减号两边都要是平方。 5．换一个条件：把同号的两项改成异号，就从不可分解变成可用平方之差，结构一变结论就变。 6．举例：不计算可判 9m²−n² 能分解（二项、异号、都平方），而 x²+9 不能（同号之和）。 图示3 易错提醒：判平方之差靠三项结构：二项、异号、均为平方；少一条都不行，不必代值。 知识点四　完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)² 1．两个完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²−2ab+b²=(a−b)²，由整式乘法完全平方公式逆推而来。 2．适用特征：三项式，首末两项分别是两个数（或式）的平方且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍（可正可负）。 3．为什么中间必须是 2 倍：完全平方式来自 (a±b)² 展开，中间项天然是 ±2ab，缺 2 倍或符号不对都不成套。 4．反例两则：a²+2a+1 才是 (a+1)²，a²+a+1 不是（中间应是 2a）；x²−2x−1 不是（常数项与首项异号）。 5．换一个条件：把中间项符号由 +2ab 改成 −2ab，平方结果由 (a+b)² 变成 (a−b)²。 6．举例：a²−10a+25=a²−2·a·5+5²=(a−5)²；4a²−4a+1=(2a−1)²。 图示4 易错提醒：完全平方看三项：首平方、尾平方、首尾两倍中间放；中间项系数要正好是底数积的两倍。 知识点五　完全平方式的结构特征 1．完全平方式：形如 a²±2ab+b² 的式子叫完全平方式，可直接写成 (a±b)²。 2．首末同号：首项和末项都必须是平方且符号相同（都正），这是与平方之差最明显的区别。 3．中间判定：中间项绝对值必须等于首末底数乘积的 2 倍，符号决定写成和还是差的平方。 4．反例两则：x²+5x+25 不是完全平方式，因为中间应为 10x 不是 5x；x²−2x+4 也不是，因为 4 的开方 2 的两倍是 4x 不是 −2x。 5．换一个条件：把常数项 9 改成 1（x²+6x+1），首末不再匹配，立即不是完全平方式。 6．举例：x²+2bx+b²=(x+b)²；x²−12x+36=(x−6)²。 图示5 易错提醒：完全平方式的死穴是中间项：必须等于首末底数乘积的 2 倍，差一点就不是。 知识点六　x²+(p+q)x+pq 型：=(x+p)(x+q) 1．阅读与思考结论：由 (x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq 逆推，得到 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。 2．做法：把常数项 pq 拆成两个整数的积 p·q，使它们的和 p+q 正好等于一次项系数，于是分解为 (x+p)(x+q)。 3．为什么有效：展开 (x+p)(x+q) 正好得到 x²+(p+q)x+pq，与原式对比系数即可，是乘法公式的二次式特例。 4．反例两则：x²+5x+6 拆成 2 与 3（积 6、和 5）得 (x+2)(x+3)；若拆成 1 与 6（和 7）就错配。 5．换一个条件：常数项若拆不出和为一次项系数的两整数（如 x²+5x+8），本阶段不能这样分解。 6．举例：x²−5x+6=(x−2)(x−3)（p=−2、q=−3，积 6、和 −5）；x²+x−6=(x+3)(x−2)。 图示6 易错提醒：x²+px+q 型找两数：积等于常数项、和等于一次项系数；先定积再调和为一次项。 知识点七　不计算判能否用公式：只靠结构 1．不计算也能判：该用哪个公式，只看项数、符号、指数与中间项倍数这些结构条件，不必代入数值。 2．判方向：二项式且异号同平方走平方之差；三项式首末同平方且中间是 2 倍走完全平方；二次项系数为 1 的三项拆常数走 x²+(p+q)x+pq。 3．为什么不计算也行：公式的适用是结构判定，在代值前就由式子形状定死，先算反而绕远。 4．反例两则：必须先展开算一遍再选公式不对，结构一眼可定；把三项误当平方之差也不对。 5．换一个条件：把同号改成异号，就从完全平方候选变成平方之差候选，结论随结构变。 6．举例：不计算可判 x²−16 走平方之差、x²+6x+9 走完全平方、x²+5x+6 走拆常数。 图示7 易错提醒：不计算靠结构是公式法的核心：先认形状再套公式，绝不盲目代值试算。 二、题型一　公式分解的平方之差识别 例1 下列式子能用平方之差公式分解因式的是（　）。 A．a²+b²　B．a²−b²　C．−a²−b²　D．a²+2ab+b² 【答案】B 【解析】平方之差要求二项、异号、都平方，a²−b² 符合，选 B。另一做法错在把 a²+b² 当可分解（同号不行）；或把 A 写成平方之差漏看符号。图1 把 a²、b² 与异号标记标出。 变式1-1 把 x²−9 分解因式得______。 【答案】(x+3)(x−3) 【解析】9=3²，x²−9=x²−3²=(x+3)(x−3)。另一做法错在写成 (x−3)²（那是完全平方，这里没有中间项）；或直接留 x²−9 没分解。图1-1 把 9 标成 3²。 变式1-2 不计算，判断 4m²−25n² 是否符合平方之差公式结构（　）（填符合或不符合）。 【答案】符合 【解析】两项 4m²=(2m)²、25n²=(5n)²，且异号，结构符合，不必代值。另一做法错在只看异号忽略平方；或先算数值再判。图1-2 把 4m²、25n² 与异号对照。 把 9−y² 分解因式得______。 【答案】(3+y)(3−y)（或 (3−y)(3+y)） 【解析】9−y²=3²−y²=(3+y)(3−y)。另一做法错在写成 (3−y)²；这里是平方之差不是完全平方。 不计算，判断 a²−16 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】a²−16=a²−4²，二项异号都平方，能。另一做法错在把 16 当普通数；16 是 4 的平方即可用。 把 25x²−1 分解因式得______。 【答案】(5x+1)(5x−1) 【解析】25x²=(5x)²，25x²−1=(5x+1)(5x−1)。另一做法错在写成 (5x−1)²；无中间项故非完全平方。 下列能用平方之差公式分解的是（　）。 A．p²+q²　B．−p²−q²　C．p²−q²　D．p²+2pq+q² 【答案】C 【解析】p²−q² 二项、异号、都平方，选 C。其余均不符（同号或三项）。另一做法错在把 A 当可分解。 把 16a²−b² 分解因式得______。 【答案】(4a+b)(4a−b) 【解析】16a²=(4a)²，16a²−b²=(4a+b)(4a−b)。另一做法错在写成 (4a−b)²；缺中间项非完全平方。 不计算，判断 x²+4 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】x²+4 两项同号相加，不是一正一负，不能。另一做法错在看到减号才套、这里没减号就乱套；同号之和不行。 把 1−49t² 分解因式得______。 【答案】(1+7t)(1−7t) 【解析】1−49t²=1²−(7t)²=(1+7t)(1−7t)。另一做法错在写成 (1−7t)²；无中间项故非完全平方。 三、题型二　公式分解的完全平方识别 例2 把 a²+6a+9 分解因式，结果是（　）。 A．(a+3)²　B．(a−3)²　C．(a+9)²　D．a(a+6)+9 【答案】A 【解析】a²+6a+9=a²+2·a·3+3²=(a+3)²，选 A。另一做法错在写成 (a−3)²（符号反）；或留 a(a+6)+9 没化成纯平方。图2 把首 a²、尾 9、中 6a 对应 2·a·3 标出。 变式2-1 把 x²−10x+25 分解因式得______。 【答案】(x−5)² 【解析】x²−10x+25=x²−2·x·5+5²=(x−5)²。另一做法错在写成 (x+5)²（符号反）；中间是 −10x 故差的平方。图2-1 把 25 标成 5²、中间标 −2·x·5。 变式2-2 不计算，判断 m²+8m+16 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 【答案】是 【解析】m²+8m+16=m²+2·m·4+4²，首末平方同号、中间是 2 倍，故是完全平方式，不必代值。另一做法错在忽略中间 2 倍关系；或先算数值再判。图2 把 16 与 8m 对应 2·m·4 对照。 把 y²+4y+4 分解因式得______。 【答案】(y+2)² 【解析】y²+4y+4=y²+2·y·2+2²=(y+2)²。另一做法错在写成 (y+4)²；中间应是 4y=2·y·2。 把 4a²−4a+1 分解因式得______。 【答案】(2a−1)² 【解析】4a²−4a+1=(2a)²−2·2a·1+1²=(2a−1)²。另一做法错在写成 (2a+1)²（符号反）；中间是 −4a 故差的平方。 不计算，判断 p²−12p+36 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 【答案】是 【解析】p²−12p+36=p²−2·p·6+6²，首末同号、中间 2 倍，是完全平方式。另一做法错在把 36 开方得 6 却忘乘 2 验中间。 把 9x²+6x+1 分解因式得______。 【答案】(3x+1)² 【解析】9x²+6x+1=(3x)²+2·3x·1+1²=(3x+1)²。另一做法错在写成 (3x+1)(3x−1)；那是平方之差形式，这里是三项完全平方。 下列能用完全平方公式分解的是（　）。 A．a²+2a+1　B．a²+a+1　C．a²−2a+4　D．a²+4 【答案】A 【解析】a²+2a+1=(a+1)² 符合，选 A；B 中间应为 2a 而非 a，C 末项开方 2 的两倍是 4a 非 −2a，D 只有两项。另一做法错在只看首末忽略中间 2 倍。 把 25−10m+m² 分解因式得______。 【答案】(5−m)²（或 (m−5)²） 【解析】25−10m+m²=5²−2·5·m+m²=(5−m)²。另一做法错在写成 (5+m)²（符号反）；中间是 −10m 故差的平方。 不计算，判断 x²+5x+25 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 【答案】否 【解析】若首尾是 x² 与 25=5²，中间应为 ±10x，不是 5x，故不是。另一做法错在只看首尾平方忽略中间 2 倍。 四、题型三　完全平方式的结构判断 例3 对多项式 x²+6x+9。先定解：它是完全平方式吗（　）；再找一解：分解成（　）；接着找全：要让 x²+6x+k 成为完全平方式，常数项 k 可以取哪些值（　）；最后改一个条件，只把中间项 6x 改成 8x，其余不变，新的常数项应为（　）。 【答案】是；(x+3)²；只能是 9（因 (x+3)² 固定）；16 【解析】定解：x²+6x+9=x²+2·x·3+3²=(x+3)²，是完全平方式。找一解：分解为 (x+3)²。找全：x²+6x+k 要成套，须 k=(6÷2)²=9，唯一（理由只在教师版：一次项系数固定后常数项由 (系数/2)² 唯一决定）。改条件：中间项改为 8x，则常数项应为 (8÷2)²=16。图3 把三问线索与改后对照标出。 变式3-1 多项式 x²+10x+25，只找一解：写出一个等价的平方形式（　），并说明中间项是怎么来的（　）。 【答案】(x+5)²；10x=2·x·5，由首尾底数 x 与 5 的乘积两倍得到 【解析】x²+10x+25=(x+5)²。另一做法错在写 (x+25)²（尾项当底数）；中间项来自 2·x·5。图3-1 把 25 标 5²、中间标 2·x·5。 变式3-2 多项式 x²+2bx+（　）为完全平方式，找全：常数项应填（　）；说明为什么只有这一个值（　）。 【答案】b²；完全平方式要求常数项等于 (一次项系数/2)²，即 (2b/2)²=b²，由一次项系数唯一决定 【解析】x²+2bx+c 成套须 c=b²。另一做法错在填 2b 或 b；必须用 (系数/2)²。理由（教师版）：一次项系数 2b 给定后，首尾底数即 x 与 b，常数必为 b²，无别的可能。图3-2 把 c=b² 与推导列出。 变式3-3 仍以 x²+6x+9 为基础。改一个条件：只把常数项 9 改成 16（即 x²+6x+16），其余不变，它还是完全平方式吗（　）；若要让它成为完全平方式应把中间项改成（　）。 【答案】否；±8x 【解析】x²+6x+16 中 16=4²，但中间应是 ±8x 而非 6x，故不是完全平方式。另一做法错在只看首尾忽略中间 2 倍；要成套须中间项为 ±8x。图3 把改前 (x+3)²、改后对照标出。 对 x²+8x+16，先定解是否完全平方式（　）；再找一解分解（　）。 【答案】是；(x+4)² 【解析】x²+8x+16=x²+2·x·4+4²=(x+4)²。另一做法错在写 (x+8)²；中间应是 8x=2·x·4。 不计算，找全：x²+2bx+c 为完全平方式，常数项 c 应填（　）。 【答案】b² 【解析】c 须等于 (2b÷2)²=b²。另一做法错在填 2b 或 b；用 (系数/2)² 唯一确定。 改一个条件：把 x²+6x+9 的常数项 9 改成 4（即 x²+6x+4），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 【答案】否 【解析】4=2²，但中间应为 ±4x 而非 6x，故否。另一做法错在只看首尾平方忽略中间 2 倍。 找全：x²−12x+36 还能写成（　）的平方。 【答案】(x−6) 【解析】x²−12x+36=(x−6)²，即 (x−6) 的平方。另一做法错在写 (x+6)²（符号反）；中间是 −12x 故差的平方。 五、题型四　x²+(p+q)x+pq 型分解 例4 把 x²+5x+6 分解因式，结果是（　）。 A．(x+2)(x+3)　B．(x+1)(x+6)　C．(x−2)(x−3)　D．(x+2)(x+4) 【答案】A 【解析】常数项 6 拆成 2 与 3，和 2+3=5 恰为一次项系数，故 x²+5x+6=(x+2)(x+3)，选 A。另一做法错在拆成 1 与 6（和 7 不符）；或写成 (x−2)(x−3)（符号反）。图4 把 6 拆成 2、3 并标注和为 5。 变式4-1 估算决策：判断 x²+7x+12 分解后两个常数因子的和是否为 7（　）；一步理由是（　）。 【答案】是；原式常数项 12 拆成 3 与 4，和为 7 恰为一次项系数 【解析】x²+7x+12=(x+3)(x+4)，两常数因子 3、4 之和为 7，一步可判，不必写出完整分解。另一做法错在只盯 12 忘记验和；用一次项系数直接定。图4-1 把 12 拆 3、4 与和 7 点出。 变式4-2 只把 x²+5x+6 中的常数项 6 改成 8（即 x²+5x+8），其余不变，它还能用本型拆整数分解吗（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】8 的整数因子对 (1,8) 和 11、(2,4) 和 6，均无和为 5 的，故不能拆整数分解。另一做法错在硬拆成 (x+2)(x+4) 却得 x²+6x+8 非原式；结构不符。图4-2 把 8 的因子对列全说明无和为 5。 将 x²+3x+2 分解因式得______。 【答案】(x+1)(x+2) 【解析】2=1×2 且 1+2=3，故 (x+1)(x+2)。另一做法错在拆成 (x+2)(x+3)（积 6 不符）；先定积再调和。 对 x²−5x+6 分解因式得______。 【答案】(x−2)(x−3) 【解析】6=(−2)×(−3) 且 −2+(−3)=−5，故 (x−2)(x−3)。另一做法错在写成 (x+2)(x+3)（和为正 5 不符）；符号随和走。 不计算，判断 x²+4x+3 的两个常数因子之积是（　）（填 3、4 或 7）。 【答案】3 【解析】常数项就是两常数因子之积，即 3，不必代值。另一做法错在把一次项系数 4 当积；积恒等于常数项。 把 x²+x−6 分解因式得______。 【答案】(x+3)(x−2) 【解析】−6=3×(−2) 且 3+(−2)=1，故 (x+3)(x−2)。另一做法错在写成 (x−3)(x+2)（和为 −1 不符）；符号随和。 下列能用 x²+(p+q)x+pq 型分解的是（　）。 A．x²+2x+1　B．x²−x−2　C．x²+3　D．x²+2x 【答案】B 【解析】x²−x−2=(x−2)(x+1)（−2×1=−2，−2+1=−1），选 B；A 是完全平方，C 缺一次项，D 缺常数项。另一做法错在把 A 当本型。 将 x²−2x−8 写成整式乘积的结果是______。 【答案】(x−4)(x+2) 【解析】−8=(−4)×2 且 −4+2=−2，故 (x−4)(x+2)。另一做法错在写成 (x−2)(x+4)（和为 2 不符）；先定积再调和。 不计算，判断 x²+6x+8 的两个常数因子之和是（　）（填 6、8 或 14）。 【答案】6 【解析】一次项系数就是两常数因子之和，即 6，不必代值。另一做法错把常数项 8 当和；和恒等于一次项系数。 六、A、公式分解平方之差落实 把 a²−4 分解因式得______。 【答案】(a+2)(a−2) 【解析】a²−4=a²−2²=(a+2)(a−2)。另一做法错在写成 (a−2)²；无中间项故非完全平方。 把 16−x² 分解因式得______。 【答案】(4+x)(4−x)（或 (4−x)(4+x)） 【解析】16−x²=4²−x²=(4+x)(4−x)。另一做法错在写成 (4−x)²；这里是平方之差。 不计算，判断 9m²−n² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】9m²=(3m)²、n² 平方且异号，能。另一做法错在只看异号忽略平方；两项都要平方。 把 4y²−1 分解因式得______。 【答案】(2y+1)(2y−1) 【解析】4y²−1=(2y)²−1²=(2y+1)(2y−1)。另一做法错在写成 (2y−1)²；无中间项。 把 25p²−9q² 分解因式得______。 【答案】(5p+3q)(5p−3q) 【解析】25p²=(5p)²、9q²=(3q)²，故 (5p+3q)(5p−3q)。另一做法错在写成 (5p−3q)²；无中间项。 不用算，判断 x²+9 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】x²+9 两项同号相加，不是一正一负，不能。另一做法错在看到平方就套；必须异号。 将 1−36t² 分解因式得______。 【答案】(1+6t)(1−6t) 【解析】1−36t²=1²−(6t)²=(1+6t)(1−6t)。另一做法错在写成 (1−6t)²；无中间项。 将 49a²−b² 分解因式得______。 【答案】(7a+b)(7a−b) 【解析】49a²=(7a)²，故 (7a+b)(7a−b)。另一做法错在写成 (7a−b)²；无中间项。 不计算，判断 8−c² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】8 不是完全平方数，c²−8 中 8 不能写成整式平方，本阶段不能直接用该公式。另一做法错在把 8 当 2² 或 3²。 把 m²−64 分解因式得______。 【答案】(m+8)(m−8) 【解析】m²−64=m²−8²=(m+8)(m−8)。另一做法错在写成 (m−8)²；无中间项。 七、B、改一个式子看结论怎么变 原 a²−9 分解为 (a+3)(a−3)。只把减号改成加号（即 a²+9），还能用平方之差分解吗（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】a²+9 两项同号相加，不是一正一负，不能。另一做法错在沿用 (a+3)(a−3)；符号一改结构全变。 原 x²−4 分解为 (x+2)(x−2)。只把 4 改成 16（即 x²−16），分解结果是（　）。 【答案】(x+4)(x−4) 【解析】x²−16=(x+4)(x−4)。另一做法错在沿用 (x+2)(x−2)；常数项平方后根变 4。 原 (a+2)² 是完全平方。只把中间项符号改成减（即 a²−4a+4），分解结果是（　）。 【答案】(a−2)² 【解析】a²−4a+4=(a−2)²。另一做法错在写成 (a+2)²；中间变号平方也变号。 原 x²+6x+9=(x+3)²。只把常数项 9 改成 1（即 x²+6x+1），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 【答案】否 【解析】1=1²，但中间应是 ±2x 而非 6x，故否。另一做法错在只看首尾忽略中间 2 倍。 原 x²+5x+6=(x+2)(x+3)。只把一次项系数 5 改成 7（即 x²+7x+6），分解结果是（　）。 【答案】(x+1)(x+6) 【解析】6=1×6 且 1+6=7，故 (x+1)(x+6)。另一做法错在沿用 (x+2)(x+3)；和要从 7 重新拆。 原 4a²−b²=(2a+b)(2a−b)。只把 b² 改成 9b²（即 4a²−9b²），分解结果是（　）。 【答案】(2a+3b)(2a−3b) 【解析】4a²−9b²=(2a)²−(3b)²=(2a+3b)(2a−3b)。另一做法错在沿用 (2a+b)...；b 的平方根变 3b。 原 m²+8m+16=(m+4)²。只把 8m 改成 −8m（即 m²−8m+16），分解结果是（　）。 【答案】(m−4)² 【解析】m²−8m+16=(m−4)²。另一做法错在写成 (m+4)²；中间变号平方变号。 原 x²−10x+25=(x−5)²。只把 25 改成 1（即 x²−10x+1），它还是完全平方式吗（　）（填是或否）。 【答案】否 【解析】1=1²，但中间应是 ±2x 而非 −10x，故否。另一做法错在只看首尾忽略中间 2 倍。 原 y²−4=(y+2)(y−2)。只把 y² 改成 9y²（即 9y²−4），分解结果是（　）。 【答案】(3y+2)(3y−2) 【解析】9y²−4=(3y)²−2²=(3y+2)(3y−2)。另一做法错在沿用 (y+2)(y−2)；y 的平方根变 3y。 原 x²+3x+2=(x+1)(x+2)。只把常数项 2 改成 −2（即 x²+3x−2），还能用本型拆整数分解吗（　）（填能或不能）。 【答案】不能 【解析】−2 的整数因子对 (1,−2) 和 −1、(2,−1) 和 1，均无和为 3 的，故不能。另一做法错在硬套 (x+1)(x+2) 得 x²+3x+2 非原式。 八、C、找全可分解式与反例验证 不计算，找全：下列式子中能用平方之差分解的有哪些（　）。 A．a²−b²　B．a²+b²　C．−a²+b²　D．a²+2ab 【答案】A、C 【解析】A=a²−b² 符合；C=−a²+b²=b²−a² 也符合（异号）；B 同号、D 三项均不符。另一做法错在漏掉 C 或把 B 算进去。 判断：a²+2ab+b² 只能用完全平方公式分解，不能用平方之差（　）（填对或错）。 【答案】对 【解析】a²+2ab+b²=(a+b)² 是三项完全平方，不是二项平方之差。另一做法错在把它当平方之差；三项直接排除平方之差。 反例验证：有人说 x²+4 能用平方之差分解，错在（　）。 【答案】两项同号相加，不是一正一负的平方之差 【解析】平方之差必须异号，x²+4 同号之和不行。另一做法错在只盯平方忽略符号；同号是死穴。 不计算，找全：x²+（　）x+9 成为完全平方式，中间项可填（　）。 【答案】±6x（或 ±6） 【解析】9=3²，中间应为 ±2·x·3=±6x，故填 ±6x。另一做法错在只填 6x 漏 −6x；和差两种平方都要。 判断：4x²−12x+9=(2x−3)² 是否正确（　）（填对或错）。 【答案】对 【解析】(2x)²−2·2x·3+3²=4x²−12x+9，正确。另一做法错在把中间写成 +12x；符号要对应差的平方。 反例验证：x²+5x+25 不是完全平方式，错在中间项应为（　）。 【答案】10x（或 ±10x） 【解析】首尾 x² 与 25=5²，中间应是 ±10x，不是 5x。另一做法错在把 5x 当 2 倍；实际 2·x·5=10x。 找全：x²+(p+q)x+pq 型中，若 pq=12 且 p+q=7，则 p、q 可以是（　）。 【答案】3 和 4（或 4 和 3） 【解析】3×4=12、3+4=7，故 p、q 为 3 与 4。另一做法错在取 2 与 6（和 8 不符）；积与和要同时满足。 不计算，判断：完全平方公式要求首末两项符号相同（　）（填对或错）。 【答案】对 【解析】完全平方式首末都是平方且同号，异号则不是。另一做法错在以为可以异号；同号是特征之一。 反例验证：有人说 a²−2a−1 是完全平方式，错在（　）。 【答案】常数项 −1 与 a² 异号，不满足首末同号 【解析】完全平方式首末须同号，−1 与 a² 异号。另一做法错在只盯中间 2 倍忽略首末符号；同号是硬条件。 找全：能用 x²+(p+q)x+pq 型分解的式子须满足（　）。 【答案】二次项系数为 1 且能拆常数项为两整数其和等于一次项系数 【解析】该型要求首项 x²、常数项可拆成积为常数项且和为一次项系数的两整数。另一做法错在忽略二次项系数为 1 的前提。 九、D、近年真题·公式分解 1．（2025年·江苏·期中考试）下列式子能用平方之差公式分解因式的是（　）。 A．a²+b²　B．a²−b²　C．−a²−b²　D．a²+2ab 【答案】B 【解析】a²−b² 二项、异号、都平方，选 B。其余均不符（同号或三项）。易错：把 A 当可分解。 2．（2025年·山东·期末考试）把 x²−9 分解因式，结果是（　）。 A．(x+3)(x−3)　B．(x−3)²　C．x(x−9)　D．(x+9)(x−1) 【答案】A 【解析】x²−9=x²−3²=(x+3)(x−3)，选 A。易错：写成 (x−3)² 误当完全平方。 3．（2026年·浙江·期中考试）不计算，判断 4m²−25n² 是否符合平方之差公式结构（　）。 A．符合　B．不符合 【答案】A 【解析】4m²=(2m)²、25n²=(5n)² 且异号，符合，选 A。易错：只看异号忽略平方。 4．（2025年·广东·期末考试）把 a²+6a+9 分解因式得______。 【答案】(a+3)² 【解析】a²+6a+9=(a+3)²。易错：写成 (a−3)² 符号反。 5．（2026年·四川·期中考试）下列能用完全平方公式分解的是（　）。 A．x²+2x+1　B．x²+x+1　C．x²+4　D．x²−x+2 【答案】A 【解析】x²+2x+1=(x+1)² 符合，选 A；B 中间应为 2x，C 缺项，D 末项开方 2 的两倍是 4x 非 −x。易错：只看首尾忽略中间 2 倍。 6．（2025年·河南·期末考试）把 16x²−24x+9 分解因式的结果是（　）。 A．(4x−3)²　B．(4x+3)²　C．(8x−3)²　D．(2x−3)² 【答案】A 【解析】16x²−24x+9=(4x)²−2·4x·3+3²=(4x−3)²，选 A。易错：把 4x 误当 2x 选 D。 7．（2026年·湖北·期中考试）把 x²+5x+6 分解因式得______。 【答案】(x+2)(x+3) 【解析】6=2×3 且 2+3=5，故 (x+2)(x+3)。易错：拆成 1 与 6（和 7 不符）。 8．（2025年·湖南·期末考试）不计算，判断 x²+4x+3 的两个常数因子之积是（　）。 A．3　B．4　C．7　D．12 【答案】A 【解析】两常数因子之积恒等于常数项 3，选 A。易错：把一次项系数 4 当积。 十、E、公式分解一条链·三问收口 对 a²−9：(1) 不计算，能否用平方之差（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 只把减号改加号（即 a²+9），还能分解吗（　）。 【答案】能；(a+3)(a−3)；不能 【解析】第(1)问 a²−9 二项异号都平方，能用平方之差。第(2)问 =(a+3)(a−3)。第(3)问 a²+9 同号之和，不能。 对 x²+6x+9：(1) 是否完全平方式（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 只把常数项 9 改成 4，还是完全平方式吗（　）。 【答案】是；(x+3)²；否 【解析】第(1)问 x²+6x+9=(x+3)²，是。第(2)问 (x+3)²。第(3)问 x²+6x+4 中间应为 ±4x 而非 6x，否。 对 x²+5x+6：(1) 不计算，pq=（　）；(2) p+q=（　）；(3) 分解结果（　）。 【答案】6；5；(x+2)(x+3) 【解析】第(1)问常数项即 pq=6。第(2)问一次项系数即 p+q=5。第(3)问 6=2×3 且 2+3=5，得 (x+2)(x+3)。 对 4a²−b²：(1) 是否平方之差结构（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 估算决策：两因子之和是否为 4a（　），一步理由（　）。 【答案】是；(2a+b)(2a−b)；是；两因子 2a+b 与 2a−b 相加消去 b 得 4a 【解析】第(1)问 4a²=(2a)² 与 b² 异号，是。第(2)问 (2a+b)(2a−b)。第(3)问两因子和 (2a+b)+(2a−b)=4a，一步可判。 对 m²+8m+16：(1) 是否完全平方式（　）；(2) 写成平方（　）；(3) 只把 8m 改成 −8m，分解结果（　）。 【答案】是；(m+4)²；(m−4)² 【解析】第(1)问 m²+8m+16=(m+4)²，是。第(2)问 (m+4)²。第(3)问 m²−8m+16=(m−4)²。 对 x²−7x+12：(1) pq=（　）；(2) p+q=（　）；(3) 分解结果（　）。 【答案】12；−7；(x−3)(x−4) 【解析】第(1)问常数项 12。第(2)问一次项系数 −7。第(3)问 12=(−3)×(−4) 且 −3+(−4)=−7，得 (x−3)(x−4)。 十一、课堂检测 不计算，判断 25−y² 能否用平方之差分解（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】25−y²=5²−y²，二项异号都平方，能。另一做法错在看到减号才套、这里减号在 y² 前也异号。 对 81a²−b² 分解因式得______。 【答案】(9a+b)(9a−b) 【解析】81a²=(9a)²，故 (9a+b)(9a−b)。另一做法错在写成 (9a−b)²；无中间项。 对 x²−8x+16 作因式分解：______。 【答案】(x−4)² 【解析】x²−8x+16=(x−4)²。另一做法错在写成 (x+4)²；中间是 −8x 故差的平方。 不用算，先判断 m²+10m+25 是否为完全平方式（　）（填是或否）。 【答案】是 【解析】m²+10m+25=m²+2·m·5+5²，是。另一做法错在忽略中间 2 倍关系。 把 x²+2x−8 分解因式得______。（结果写成最简形式） 【答案】(x+4)(x−2) 【解析】−8=4×(−2) 且 4+(−2)=2，故 (x+4)(x−2)。另一做法错在写成 (x+2)(x−4)（和为 −2 不符）。 下列能用平方之差分解的是（　）。 A．p²+q²　B．−p²−q²　C．p²−q²　D．p²+2pq+q² 【答案】C 【解析】p²−q² 二项异号都平方，选 C。其余同号或三项。另一做法错在把 A 当可分解。 估算决策：判断 x²+9x+14 分解后两常数因子和是否为 9（　）；一步理由是（　）。 【答案】是；14 拆为 2 与 7，和为 9 恰为一次项系数 【解析】x²+9x+14=(x+2)(x+7)，两常数 2、7 和为 9，一步可判。另一做法错在只盯 14 不验和。 对 1−100t² 分解因式得______。 【答案】(1+10t)(1−10t) 【解析】1−100t²=1²−(10t)²=(1+10t)(1−10t)。另一做法错在写成 (1−10t)²；无中间项。 不用算，判断 x²+7x+12 的两个常数因子之积是（　）（填 12、7 或 19）。 【答案】12 【解析】两常数因子之积恒等于常数项 12。另一做法错把一次项系数 7 当积；积恒为常数项。 将 y²−6y+9 分解因式得______。 【答案】(y−3)² 【解析】y²−6y+9=(y−3)²。另一做法错在写成 (y+3)²；中间是 −6y 故差的平方。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $