17.1 用提公因式法分解因式 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“用提公因式法分解因式”核心知识点，先通过实例引入因式分解概念，明确其与整式乘法的互逆关系，再分课时学习公因式确定（定系数、定字母、定指数）和提公因式步骤（含整体提公因式及恒等变形），构建从基础到应用的学习支架。 资料以“预习-探究-训练-小结”闭环设计，分层训练（A基础模仿、B提高应用、C中考衔接）适配不同学生。通过因式分解计算（如3.14×12+3.14×88）培养应用意识，强调易错点（余项为1、首项负号）提升推理严谨性，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

人教版数学八年级上册 · 第十七章 因式分解 · 17.1 用提公因式法分解因式(教师讲义) 17.1 用提公因式法分解因式 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十七章 因式分解 · 2课时 一、教学导航 【教材分析】 17.1 用提公因式法分解因式是第十七章"因式分解"的起始课,承接第十六章整式的乘法与乘法公式。本章与上一章是"方向相反"的变形: 整式乘法把几个整式的积化为多项式,因式分解则把多项式化为几个整式的积。教材以"跳水比赛得分"的两种算法 (pa+pb+pc 与 p(a+b+c)) 引出这种互逆关系,再从整数分解类比出因式分解,最后集中讲授最基本的方法——提公因式法。 教材采用"情境感受 — 类比探究 — 归纳定义 — 例题示范 — 巩固应用"的展开顺序: 课本 P123 章引言以跳水得分引出 pa+pb+pc=p(a+b+c), 并从"整数分解因数"(33=3×11、42=2×3×7)类比出因式分解; P124 用探究 (+x、-1、+2x+1) 抽象出因式分解定义, 再由 pa+pb+pc 引出公因式与提公因式法; P125 例1 示范简单提公因式, 例2 用 +c 示范"定系数、定字母、定指数", P126 例3 示范公因式是多项式的情形。提公因式法是因式分解的"第一道工序": 后续用公式法分解因式时, 遇到各项含公因式的式子仍要先提出公因式, 再套用公式, 因此本节是后续因式分解问题的基础。 【学情分析】 学生已熟练掌握整式乘法与乘法公式,具备"逆向观察"的基础。但易错点集中: ① 分不清因式分解与整式乘法的方向 (把 4a(a+2b)=+8ab 误判为因式分解); ② 提取后某项恰为公因式时,括号内漏写 1 (如 -+x 写成 x(3x-)); ③ 首项系数为负时,提出负号后括号内各项忘变号; ④ 公因式是多项式时认不出 (如 与 、(b-a) 与 -(a-b)); ⑤ 提出后不再检查因式能否继续分解。 【教学目标】 ① 理解因式分解的意义,能准确判断一个变形是不是因式分解,知道因式分解与整式乘法是方向相反的变形; ② 理解公因式的概念,会确定公因式,能用提公因式法把多项式分解因式; ③ 会利用提公因式法进行简便计算与整体代入求值; ④ 经历"类比整数分解—归纳定义—提取公因式"的过程,体会类比思想与化归思想,发展运算能力与推理能力。 【重难点】 教学重点: 因式分解的概念; 公因式的确定; 用提公因式法分解因式。教学难点: 公因式是多项式 (含互为相反数的因式变形) 时的处理,以及提公因式后的"漏 1""变号""分解不彻底"三类错误的纠正。 【教学策略】 采用"情境类比 — 探究定义 — 例题示范 — 变式训练 — 纠错反思"五环节教学法。用"整数分解"类比"多项式分解"降低抽象门槛; 用"方向箭头图"辨析因式分解与整式乘法; 用找错活动集中暴露"漏 1""变号""不彻底"三类典型错误。 【课时建议】 本节建议安排 2 课时,具体安排见下表。每课时 40 分钟,新授约 25 分钟,巩固与作业约 15 分钟。 课时 内容 课本页码 核心要点 第 1 课时 因式分解的概念与提公因式法(简单) P124-P125 章引言情境 → 探究 → 定义 → 公因式 → 例1 第 2 课时 公因式的确定与整体提公因式 P125-P126 定系数/定字母/定指数 → 例2 → 例3 → 反向因式变形 【教学准备】 多媒体课件; 复习"整式乘法分配律"与"乘法公式"内容; 准备整数分解 (33=3×11, 42=2×3×7) 的卡片用于类比引入。 二、教学过程 第1课时 · 因式分解的概念与提公因式法 一、情境引入(5分钟) 【情境】课本 P123 章引言: 某单人跳水选手完成一个难度系数为 p 的动作, 7 名裁判评分, 按规则去掉两个最高分、两个最低分, 剩下 3 个分数 a, b, c, 选手得分有两种算法: ① pa+pb+pc; ② p(a+b+c)。 【教师活动】 提问: 这两个式子为什么相等? 从①到②、从②到①分别是什么运算? 【学生活动】 独立思考后交流: 两式相等是因为乘法分配律; 从②到①是整式乘法,从①到②相当于把一个多项式写成两个整式的乘积。 【预设与对策】 学生可能只答"结果一样"。追问"① 是一个多项式,② 是一个积,把多项式写成积的形式,这种变形叫什么?"由此点出本章主题——因式分解。 图 17.1-1 课本 P123 章引言: 跳水得分的两种算法 二、类比探究(8分钟) 【情境】课本 P124: 整数可以分解因数, 如 33=3×11, 42=2×3×7。类似地, 有些多项式也能写成几个整式的积。 【教师活动】 出示探究题: 把下列多项式写成几个整式的乘积的形式: (1) +x; (2) -1; (3) +2x+1。请三名学生上板。 【学生活动】 板演: +x=x(x+1); -1=(x+1)(x-1); +2x+1=。交流: 左边是多项式(和的形式),右边是整式的积。 【板演】 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。 【关键提示】 因式分解与整式乘法是方向相反的变形: 整式乘法 (a+b)(a-b)=- 是积化和; 因式分解 -=(a+b)(a-b) 是和化积。 图 17.1-2 课本 P124 探究: 把多项式写成整式的积 图 17.1-3 因式分解与整式乘法是方向相反的变形 三、概念辨析与公因式(8分钟) 【教师活动】 出示辨析题 (课本 P125 练习第1题): 下列由左边到右边的式子变形,哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么? (1) 4a(a+2b)=+8ab; (2) -4=(a+2)(a-2); (3) -3x+2=x(x-3)+2。 【学生活动】 判断并说明理由: (1) 是整式乘法,方向反了; (2) 符合定义,是因式分解; (3) 右边 x(x-3)+2 不是积的形式,不是因式分解。 【预设与对策】 部分学生只看"是否相等"。强调因式分解的判断要点: 左边必须是多项式,右边必须是几个整式的积,且变形前后相等。 【板演】 观察多项式 pa+pb+pc, 它的各项都有一个公共的因式 p, 我们把它叫作这个多项式各项的公因式。 【板演】 一般地, 如果多项式的各项有公因式, 可以把这个公因式提取出来, 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式, 这种分解因式的方法叫作提公因式法。即 pa+pb+pc=p(a+b+c)。 图 17.1-4 公因式与提公因式法(课本 P124) 四、典型例题(12分钟) 【课本 P125 例1】 分解因式: (1) +; (2) -+x。 图 17.1-5 课本 P125 例1 完整解答 【板演示范】 第(1)题公因式为 m: +=m(+)。第(2)题公因式为 x: -+x=x·3x-x·+x·1=x(3x-+1)。 【重点提醒】 第(2)题中最后一项 x 除以公因式 x 得 1, 所以括号内第三项是 1, 绝不能漏写成 x(3x-)。 【学生活动】 独立完成: (1) ab-ac=a(b-c); (2) -2a=a(a-2); (3) +6xy=3x(x+2y)。 五、巩固与找错(7分钟) 【课本 P125 练习】 第2题分解因式; 第3题利用因式分解计算。 图 17.1-6 课本 P125 练习第2题解答 【找错活动】 教师在黑板上写出三个错例, 请学生先独立判断, 再上板纠错: 错例 1: -+x=x(3x-)。(漏写 1; 正解: x(3x-+1)) 错例 2: 4a(a+2b)=+8ab 是因式分解。(方向反了, 这是整式乘法, 不是因式分解) 错例 3: -4=(a+2)(a-2)+0。(因式分解的结果必须是积的形式, 不能带加减项) 【学生活动】 完成课本 P125 练习第3题: (1) +1.99×0.01; (2) 49×20.22+52×20.22-20.22; (3) 5×+4×+9×。同桌互改。 【作业布置】 课本 P125 练习第2、3题; 预习 P125 例2, 思考"系数不同、字母相同"时公因式怎么定。 第2课时 · 公因式的确定与整体提公因式 一、复习引入(4分钟) 【复习】什么叫因式分解? 什么叫公因式? 请两位学生回答并板演分解因式 ax+ay 与 b-6ab。 【提问】 当多项式各项的系数不同、字母的指数也不同时, 公因式该如何确定? 由此引入新课。 二、探究新知(8分钟) 【教师活动】 以 +c 为例, 引导学生从"系数、字母、指数"三方面寻找公因式。 【学生活动】 小组讨论后归纳: ① 定系数: 取各项系数的最大公因数 (8 与 12 的最大公因数是 4); ② 定字母: 取各项都含有的字母 (a 与 b); ③ 定指数: 取相同字母的最低次数 (a 最低 1 次, b 最低 2 次)。所以公因式为 。 【板演】 确定公因式三步: 定系数 → 定字母 → 定指数; 相同因式的乘积写成幂的形式。 图 17.1-7 确定公因式三步走 三、典型例题(15分钟) 【课本 P125 例2】 把 +c 分解因式。 图 17.1-8 课本 P125 例2 完整解答 【板演示范】 +c=·+·3bc=(+3bc)。检验: 提出公因式 后, 另一个因式 +3bc 的两项不再有公因式。 【追问】 如果只提出 4ab, 会怎样? 答: 剩下的 b+c 仍含公因式 b, 说明公因式提得不彻底。 【课本 P126 例3】 分解因式: (1) 2a(b+c)-3(b+c); (2) 4+8。 图 17.1-9 课本 P126 例3 完整解答 【板演示范】 第(1)题: 公因式是多项式 (b+c), 原式=(b+c)(2a-3)。第(2)题: 因为 =, 所以公因式为 4, 原式=4·(a-b)+4·2=4(a-b+2)。 【方法总结】 常用的三个恒等变形: (1) b-a=-(a-b); (2) =; (3) =-。公因式既可以是单项式, 也可以是多项式。 【预设与对策】 学生易在 处卡壳。用"正方形面积与边长的先后无关"类比 =, 并强调二次方"负负得正"。 四、巩固与找错(8分钟) 【课本 P126 练习】 第1题分解因式; 第2题先分解因式再求值。 图 17.1-10 课本 P126 练习第1题解答 【找错活动】 给出三个典型错误, 请学生指出错因并改正: 错例 1: -+-b=-(a+-b)。(首项为负先提负号, 括号内各项都要变号; 正解: -(a-+b)) 错例 2: 2a-4b=2(a-2b)。(这里 =-, 注意符号; 正解: 2(a+2b)) 错例 3: +c=4ab(b+c)。(4ab 不是最大公因式, 括号内还含公因式 b, 提得不彻底; 正解: (+3bc)) 【学生活动】 完成课本 P126 练习第2题: 先分解因式, 再求值 (x+7)-3(x+7), 其中 a=-5, x=3。 【作业布置】 课本 P127 习题17.1 第 1-8 题(详见第六部分作业布置)。 三、分层巩固训练(A/B/C, 与《学生用书》同步) 第1课时 · A 组(基础过关) 1. 判断下列由左边到右边的变形, 哪些是因式分解? (1) 3a(a+2b)=+6ab; (2) -4=(a+2)(a-2); (3) -3m+2=m(m-3)+2。 2. 分解因式: (1) 3x+6y; (2) ab-2ac; (3) -; (4) -。 3. 写出下列多项式的公因式: (1) 3x+6y; (2) ab-2ac; (3) -; (4) -6mb。 第1课时 · B 组(提高拓展) 1. 分解因式: (1) n+2mn; (2) b+10ab-。 2. 利用因式分解计算: (1) -101; (2) 3.14×12+3.14×88。 3. 已知 a+b=7, ab=4, 求 b+ 的值。 第1课时 · C 组(挑战题) 1. 分解因式: b-+。 2. 已知 x-y=3, xy=-2, 求 y- 的值。 第2课时 · A 组(基础过关) 1. 确定下列多项式的公因式: (1) +; (2) +n-。 2. 分解因式: (1) 4xy-; (2) b-; (3) a(x-y)+b(y-x); (4) p(+)-q(+)。 第2课时 · B 组(提高拓展) 1. 分解因式: (1) -+; (2) 3m-6n; (3) (2y-8)+x(8-2y)。 2. 先分解因式, 再求值: -4(3-x), 其中 x=-2。 3. 先分解因式, 再求值: a(b-3)-2(3-b), 其中 a=2, b=5。 第2课时 · C 组(挑战题) 1. 分解因式: 5+10。 2. 已知 x-2y=4, xy=3, 求 y-+xy 的值。 图 17.1-11 提公因式 三个易错点 四、方法归纳 【提公因式法的一般步骤】 ① 定公因式: 定系数 (各项系数的最大公因数)、定字母 (各项都含有的字母)、定指数 (相同字母的最低次数); ② 用多项式除以公因式, 所得的商就是另一个因式; ③ 写成"公因式 × 另一个因式"的形式, 并把相同因式的乘积写成幂的形式。 【三个必须检查的点】 ① 某项恰为公因式时, 余项为 1, 不能漏; ② 首项系数为负时, 一般先提出负号, 括号内各项都变号; ③ 分解要彻底, 若因式中还含公因式, 应继续分解, 直到每个因式都不能再分解为止。 图 17.1-12 用提公因式法分解因式 小结 五、课堂小结 【学生说】(小组代表发言, 教师适当补充) ① 因式分解: 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式, 与整式乘法是方向相反的变形。 ② 公因式: 多项式各项都含有的公共因式; 公因式可以是单项式, 也可以是多项式。 ③ 提公因式法: pa+pb+pc=p(a+b+c); 关键是定准公因式, 余项为 1 不能漏。 ④ 常用变形: b-a=-(a-b); =; =-。 【教师补】 本节的核心方法是"提公因式", 它的依据是乘法分配律的逆用。因式分解与整式乘法是一对"互逆变形", 要多用对比的方法观察和思考。下一节 17.2 将学习用平方差公式、完全平方公式分解因式。 六、板书设计 【主板书(随课时推进书写顺序)】 课时 1: 17.1 用提公因式法分解因式 (1) 情境: pa+pb+pc = p(a+b+c) (2) 定义: 多项式 → 几个整式的积 (3) 互逆: 因式分解 ←→ 整式乘法 (4) 公因式: 各项都含有的公共因式 (5) 例1: +=m(+); -+x=x(3x-+1) 课时 2: 公因式的确定与整体提公因式 (1) 三步: 定系数 / 定字母 / 定指数 (2) 例2: +c=(+3bc) (3) 例3: 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3); 4+8=4(a-b+2) 【副板书(学生板演 / 错例纠正 / 变形对照)】 错例栏: 错例 1: -+x=x(3x-) → 漏 1, 应为 x(3x-+1) 错例 2: -+-b=-(a+-b) → 变号, 应为 -(a-+b) 错例 3: 4a(a+2b)=+8ab 是因式分解 → 方向反了, 是整式乘法 变形与对照栏: b-a=-(a-b); =; =- 因式分解: 和 → 积; 整式乘法: 积 → 和 七、作业布置(真实还原《习题17.1》P126-P127, 2024版) 【基础层(必做, 所有学生)】 1. 课本 P125 练习第 2、3 题(对应第 1 课时); 2. 课本 P126 练习第 1、2 题(对应第 2 课时)。 【巩固层(必做, 中等及以上学生) — 课本 P126-P127 习题17.1 复习巩固 第 1、2 题】 第 1 题: 下列由左边到右边的式子变形, 哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么? (1) 6ax-=3ax(2-x); (2) -+1=(a+b)(a-b)+1; (3) x(x-y)-y(x-y)=; (4) b-+ab=ab(a-3b+1)。 第 2 题(分解因式): (1) x+xy; (2) -2x+; (3) b+5ab-b; (4) 2mn-+8n。 【综合层(选做, 学有余力学生) — 课本 P127 习题17.1 综合运用 第 3-5 题】 第 3 题(利用因式分解计算): (1) +999; (2) 17×0.11+37×0.11-46×0.11。 图 17.1-13 习题17.1 第3题 利用因式分解计算 第 4 题(分解因式): (1) +mn; (2) -; (3) b+-15ab; (4) n-3mn+6n; (5) ++y; (6) 2m(x-y)-3n(x-y); (7) 2a-; (8) (3y-6)+x(6-3y)。 第 5 题(先分解因式, 再求值): (1) -6(2-a), 其中 a=-2; (2) 4x(y+4)-x, 其中 x=2, y=5。 图 17.1-14 习题17.1 第5题 先分解因式再求值 【拓广层(挑战, 尖子生) — 课本 P127 习题17.1 拓广探索 第 6-8 题】 第 6 题: 已知 ab=2, a-4b=-5, 求 b-+ab 的值。 第 7 题: 设 n 为奇数, 求证: 除以 8 的余数为 1。 第 8 题: 已知一个三角形的三边长分别为 a, b, c, 且 ab-ac=-bc, 证明这个三角形是等腰三角形。 图 17.1-15 习题17.1 第8题 判断三角形形状 八、教学反思 本节教学的亮点是用"整数分解"与"跳水得分"两个熟悉的背景做类比, 把"因式分解"这个抽象概念变得可感; 用"方向箭头图"把"因式分解 ↔ 整式乘法"的互逆关系显性化, 学生一眼能看出两者的区别。 预设改进点: ① 课时1 的概念辨析要让学生自己说"为什么不是", 而不是教师直接给答案, 否则容易停留在"看是否相等"的表层判断; ② 课时2 的"漏 1"最易反复出错, 建议每次提完公因式后要求学生用"括号内项数 = 原多项式项数"自查; ③ 对 与 、(b-a) 与 -(a-b) 的变形, 建议编成"奇次负、偶次正"的口诀并配两道变式巩固; ④ 首项为负的多项式 (如 -14abc-7ab+c) 建议单独示范一题, 强调提出负号后各项变号。 后续 17.2 用公式法分解因式会承接本节思路: 因式分解的依据仍是"整式乘法的逆用", 只是把分配律换成平方差公式与完全平方公式。本节务必把"定公因式"与"分解彻底"两个习惯打牢。 九、参考答案 课时 1 课本 P125 例题与练习 例 1: (1) m(+); (2) x(3x-+1)。 练习第 1 题: (1) 不是, 这是整式乘法; (2) 是, 右边是两个整式的积; (3) 不是, 右边 x(x-3)+2 不是积的形式。 练习第 2 题: (1) a(x-y); (2) a(a-2); (3) a(a+b); (4) y(x-y+z)。 练习第 3 题: (1) 1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98; (2) 20.22×(49+52-1)=20.22×100=2022; (3) 5×+4×+=×(5+4+1)=81×10=810。 课时 2 课本 P125-P126 例题与练习 例 2: +c=(+3bc)。 例 3: (1) (b+c)(2a-3); (2) 4(a-b+2)。 练习第 1 题: (1) 2mn(4m+1); (2) ab(4a+10-b); (3) (+)(p-q); (4) 2(a+2b)。 练习第 2 题: (x+7)-3(x+7)=(x+7)(-3), 当 a=-5, x=3 时 =(3+7)×(4×25-3)=10×97=970。 《习题17.1》(课本 P126-P127) 参考答案 第 1 题: (1) 是; (2) 不是, 右边 (a+b)(a-b)+1 不是积的形式; (3) 是; (4) 是。 第 2 题: (1) x(1+y); (2) x(3x-2); (3) b(+5a-1); (4) n(2m-n+8)。 第 3 题: (1) 999×(999+1)=999×1000=999000; (2) 0.11×(17+37-46)=0.11×8=0.88。 第 4 题: (1) mn(2n+1); (2) (3-4xy); (3) 3ab(2a+3b-5); (4) 3n(-m+2); (5) y(+2xy+); (6) (x-y)(2m-3n); (7) (a+b); (8) 3x(y-2)(x-1)。 第 5 题: (1) 原式=+6(a-2)=(a-2)(a+4), 当 a=-2 时 =(-4)×2=-8; (2) 原式=x(y+4)[4-(y+4)]=-xy(y+4), 当 x=2, y=5 时 =-2×5×9=-90。 第 6 题: b-+ab=ab(a-4b+1), 当 ab=2, a-4b=-5 时 =2×(-5+1)=2×(-4)=-8。 第 7 题: 因为 n 为奇数, 设 n=2k+1 (k 为整数), 则 ==+4k+1=4k(k+1)+1。因为 k(k+1) 是两个连续整数的积, 必为偶数, 所以 4k(k+1) 是 8 的倍数, 故 =8m+1 (m 为整数), 即 除以 8 的余数为 1。 第 8 题: 由 ab-ac=-bc 得 a(b-c)=b(b-c), 移项得 (b-c)(a-b)=0, 所以 b=c 或 a=b, 即这个三角形是等腰三角形。 A 组基础(与讲义、学生用书同步) 课时1: 1. (2) 是因式分解; (1) 是整式乘法; (3) 右边不是积的形式。 2. (1) 3(x+2y); (2) a(b-2c); (3) (1-a); (4) (3x-4)。 3. (1) 3; (2) a; (3) ; (4) m。 课时2: 1. (1) ; (2) n。 2. (1) 2x(2y-3x); (2) 6ab(2a-3b); (3) (x-y)(a-b); (4) (+)(p-q)。 B 组提高 课时1: 1. (1) 2mn(4m+1); (2) ab(4a+10-b)。 2. (1) 101×100=10100; (2) 3.14×100=314。 3. ab(a+b)=4×7=28。 课时2: 1. (1) (2x-3y+1); (2) 3(m-2n); (3) 2x(y-4)(x-1)。 2. (x-3)(x+1)=5。 3. (b-3)(a+2)=8。 C 组拓展 课时1: 1. 3ab(-3ab+)。 2. xy(x-y)=-2×3=-6。 课时2: 1. 5(a-b+2)。 2. xy(x-2y+1)=3×(4+1)=15。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十七章 因式分解 · 17.1 用提公因式法分解因式(学生用书) 17.1 用提公因式法分解因式 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 2课时 亲爱的同学,本节我们学习"17.1 用提公因式法分解因式"。本节共 2 课时: 第 1 课时认识因式分解、公因式与提公因式法; 第 2 课时学习确定公因式与整体提公因式。 每个课时的结构: 学习目标 → 预习导航(课前填空) → 课内探究(留白作答) → 分层训练(A 组基础 / B 组提高 / C 组挑战) → 课堂小结(填空) → 参考答案。 使用建议: 课前先读课本、完成"预习导航"; 课堂上跟随"课内探究"动笔推导; 课后独立完成"分层训练"与"课后作业", 最后对照"参考答案"订正。所有填空题的答案都收在相应的"参考答案"中。 课时 1 · 因式分解的概念与提公因式法 【一、学习目标】 1. 理解因式分解的意义, 知道因式分解与整式乘法是方向相反的变形, 能判断一个变形是不是因式分解。 2. 理解公因式的概念, 会确定简单多项式的公因式。 3. 会用提公因式法把简单的多项式分解因式, 并注意"余项为 1 不能漏"。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P123 章引言: 跳水选手得分有两种算法, 分别是 pa+pb+pc 与 p(a+b+c), 二者相等。从 pa+pb+pc 到 p(a+b+c) 是____(填"整式乘法"或"因式分解")。 2. 课本 P124 探究: 把下列多项式写成几个整式的乘积的形式: +x=____; -1=____; +2x+1=____。 3. 因式分解: 把一个多项式化成几个____的乘积的形式, 叫作这个多项式的因式分解, 也叫作把这个多项式分解因式。 4. 因式分解与整式乘法是方向____的变形。 5. 多项式 pa+pb+pc 各项都含有的公共因式 p, 叫作这个多项式各项的____; 把公因式提取出来的方法叫作____法。 【三、课内探究(课本 P124-P125 例题, 留白作答)】 【探究一】 判断下列由左边到右边的式子变形, 哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么? (1) 4a(a+2b)=+8ab; (2) -4=(a+2)(a-2); (3) -3x+2=x(x-3)+2。 答: ____ 是因式分解; ____ 不是, 因为____。 【探究二】 课本 P125 例1 第(1)题: 分解因式 +。提示: 公因式为 m。 解: 原式 = ____。 【探究三】 课本 P125 例1 第(2)题: 分解因式 -+x。提示: 公因式为 x, 最后一项除以 x 得 1。 解: 原式 = x·3x - x· + x·1 = ____。 图 17.1-1 课本 P123 章引言: 跳水得分的两种算法 图 17.1-2 课本 P124 探究: 把多项式写成整式的积 图 17.1-3 因式分解与整式乘法是方向相反的变形 图 17.1-4 公因式与提公因式法(课本 P124) 图 17.1-5 课本 P125 例1 完整解答 【四、分层训练】 【A 组(基础过关, 模仿例题)】 1. 判断下列由左边到右边的变形, 哪些是因式分解? (1) 3a(a+2b)=+6ab; (2) -4=(a+2)(a-2); (3) -3m+2=m(m-3)+2。 2. 分解因式: (1) 3x+6y = ____; (2) ab-2ac = ____; (3) - = ____; (4) - = ____。 3. 写出下列多项式的公因式: (1) 3x+6y 的公因式是____; (2) ab-2ac 的公因式是____; (3) - 的公因式是____; (4) -6mb 的公因式是____。 【B 组(提高拓展, 综合应用)】 1. 分解因式: (1) n+2mn = ____; (2) b+10ab- = ____。 2. 利用因式分解计算: (1) -101 = ____; (2) 3.14×12+3.14×88 = ____。 3. 已知 a+b=7, ab=4, 求 b+ 的值。 【C 组(挑战题, 中考衔接)】 1. 分解因式: b-+ = ____。 2. 已知 x-y=3, xy=-2, 求 y- 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 因式分解: 把一个多项式化成几个____的乘积的形式。 2. 因式分解与整式乘法是方向____的变形。 3. 分解因式: -+x = ____(注意第三项是 1)。 【六、参考答案(课时 1)】 预习: 1. 因式分解; 2. x(x+1), (x+1)(x-1), ; 3. 整式; 4. 相反; 5. 公因式、提公因式。 探究: 探究一 (2) 是因式分解; (1) 与 (3) 不是, (1) 是整式乘法, (3) 右边 x(x-3)+2 不是积的形式; 探究二 m(+); 探究三 x(3x-+1)。 A 组: 1. (2) 是因式分解; (1) 是整式乘法; (3) 右边不是积的形式。 2. (1) 3(x+2y); (2) a(b-2c); (3) (1-a); (4) (3x-4)。 3. (1) 3; (2) a; (3) ; (4) m。 B 组: 1. (1) 2mn(4m+1); (2) ab(4a+10-b)。 2. (1) 101×(101-1)=101×100=10100; (2) 3.14×(12+88)=3.14×100=314。 3. b+=ab(a+b)=4×7=28。 C 组: 1. 3ab(-3ab+)。 2. y-=xy(x-y)=-2×3=-6。 小结: 1. 整式; 2. 相反; 3. x(3x-+1)。 课时 2 · 公因式的确定与整体提公因式 【一、学习目标】 1. 掌握确定公因式的三步: 定系数、定字母、定指数。 2. 能用提公因式法分解较复杂的多项式, 并会处理公因式是多项式的情形。 3. 会利用"b-a=-(a-b)""="等变形统一因式, 分解到不能再分解为止。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 确定公因式三步: 定____(各项系数的最大公因数)、定____(各项都含有的字母)、定____(相同字母的最低次数)。 2. 多项式 +c 的公因式是____。 3. 因式分解常用的恒等变形: b-a=____(a-b); =____。 4. 分解因式: 2m(x-y)-3n(x-y)=____。 5. 若某项与公因式相同, 提出公因式后括号内该项为____。 【三、课内探究(课本 P125-P126 例题, 留白作答)】 【探究一】 课本 P125 例2: 把 +c 分解因式。提示: 先定系数 4、再定字母 a,b、最后定指数。 解: 原式 = · + ·3bc = ____。 【探究二】 课本 P126 例3 第(1)题: 分解因式 2a(b+c)-3(b+c)。提示: 公因式是多项式 (b+c)。 解: 原式 = ____。 【探究三】 课本 P126 例3 第(2)题: 分解因式 4+8。提示: 因为 =, 公因式为 4。 解: 原式 = 4·(a-b) + 4·2 = ____。 图 17.1-6 确定公因式三步走 图 17.1-7 课本 P125 例2 完整解答 图 17.1-8 课本 P126 例3 完整解答 【四、分层训练】 【A 组(基础过关, 模仿例题)】 1. 确定下列多项式的公因式: (1) + 的公因式是____; (2) +n- 的公因式是____。 2. 分解因式: (1) 4xy- = ____; (2) b- = ____; (3) a(x-y)+b(y-x) = ____; (4) p(+)-q(+) = ____。 【B 组(提高拓展, 综合应用)】 1. 分解因式: (1) -+ = ____; (2) 3m-6n = ____; (3) (2y-8)+x(8-2y) = ____。 2. 先分解因式, 再求值: -4(3-x), 其中 x=-2。 3. 先分解因式, 再求值: a(b-3)-2(3-b), 其中 a=2, b=5。 【C 组(挑战题, 中考衔接)】 1. 分解因式: 5+10 = ____。 2. 已知 x-2y=4, xy=3, 求 y-+xy 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 确定公因式三步: 定____、定____、定____。 2. 常用变形: b-a=____(a-b); =____。 3. 首项系数为负时, 一般先提出____, 括号内各项都要____。 【六、参考答案(课时 2)】 预习: 1. 系数、字母、指数; 2. ; 3. -; -; 4. (x-y)(2m-3n); 5. 1。 探究: 探究一 (+3bc); 探究二 (b+c)(2a-3); 探究三 4(a-b+2)。 A 组: 1. (1) ; (2) n。 2. (1) 2x(2y-3x); (2) 6ab(2a-3b); (3) (x-y)(a-b); (4) (+)(p-q)。 B 组: 1. (1) (2x-3y+1); (2) 3(m-2n); (3) 2x(y-4)(x-1)。 2. 原式=+4(x-3)=(x-3)(x+1), 当 x=-2 时 =(-5)×(-1)=5。 3. 原式=(b-3)(a+2), 当 a=2, b=5 时 =2×4=8。 C 组: 1. 5(a-b+2)。 2. y-+xy=xy(x-2y+1)=3×(4+1)=15。 小结: 1. 系数、字母、指数; 2. -; -; 3. 负号、变号。 方法归纳 【提公因式法一般步骤】 ① 定公因式(定系数 → 定字母 → 定指数); ② 用多项式除以公因式, 得另一个因式; ③ 写成"公因式 × 另一个因式"的形式。 【三个必查点】 ① 某项恰为公因式时, 余项为 1, 不能漏; ② 首项系数为负时先提负号, 括号内各项都变号; ③ 分解要彻底, 每个因式都不能再分解为止。 图 17.1-9 提公因式 三个易错点 图 17.1-10 用提公因式法分解因式 小结 课后作业 · 课本 P126-P127 习题17.1 【一、复习巩固(第 1-2 题, 必做)】 第 1 题: 下列由左边到右边的式子变形, 哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么? (1) 6ax-=3ax(2-x); (2) -+1=(a+b)(a-b)+1; (3) x(x-y)-y(x-y)=; (4) b-+ab=ab(a-3b+1)。 第 2 题(分解因式): (1) x+xy; (2) -2x+; (3) b+5ab-b; (4) 2mn-+8n。 【二、综合运用(第 3-5 题, 选做)】 第 3 题(利用因式分解计算): (1) +999; (2) 17×0.11+37×0.11-46×0.11。 图 17.1-11 习题17.1 第3题 利用因式分解计算 第 4 题(分解因式): (1) +mn; (2) -; (3) b+-15ab; (4) n-3mn+6n; (5) ++y; (6) 2m(x-y)-3n(x-y); (7) 2a-; (8) (3y-6)+x(6-3y)。 第 5 题(先分解因式, 再求值): (1) -6(2-a), 其中 a=-2; (2) 4x(y+4)-x, 其中 x=2, y=5。 图 17.1-12 习题17.1 第5题 先分解因式再求值 【三、拓广探索(第 6-8 题, 挑战)】 第 6 题: 已知 ab=2, a-4b=-5, 求 b-+ab 的值。 第 7 题: 设 n 为奇数, 求证: 除以 8 的余数为 1。 第 8 题: 已知一个三角形的三边长分别为 a, b, c, 且 ab-ac=-bc, 证明这个三角形是等腰三角形。 图 17.1-13 习题17.1 第8题 判断三角形形状 【四、课后作业参考答案】 第 1 题: (1) 是; (2) 不是, 右边 (a+b)(a-b)+1 不是积的形式; (3) 是; (4) 是。 第 2 题: (1) x(1+y); (2) x(3x-2); (3) b(+5a-1); (4) n(2m-n+8)。 第 3 题: (1) 999×(999+1)=999000; (2) 0.11×(17+37-46)=0.11×8=0.88。 第 4 题: (1) mn(2n+1); (2) (3-4xy); (3) 3ab(2a+3b-5); (4) 3n(-m+2); (5) y(+2xy+); (6) (x-y)(2m-3n); (7) (a+b); (8) 3x(y-2)(x-1)。 第 5 题: (1) 原式=(a-2)(a+4)=-8; (2) 原式=-xy(y+4)=-90。 第 6 题: 原式=ab(a-4b+1)=2×(-4)=-8。 第 7 题: 设 n=2k+1(k 为整数), 则 =+4k+1=4k(k+1)+1; 因为 k(k+1) 为偶数, 所以 4k(k+1) 是 8 的倍数, 故 除以 8 的余数为 1。 第 8 题: 由 ab-ac=-bc 得 a(b-c)=b(b-c), 移项得 (b-c)(a-b)=0, 所以 b=c 或 a=b, 即这个三角形是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $