17.2 用公式法分解因式（讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 课标要点 1．理解平方差公式、完全平方公式的结构，能逆用乘法公式进行因式分解。 2．会综合提公因式、公式法分解因式，分解到不能再分解为止。 3．能识别多项式是否符合公式形式，做到正确选用公式、准确分解 4．体会逆向思维、整体思想，发展符号意识。 学习重难点 重点： 1．理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，能逆用乘法公式进行因式分解。 2．会先提公因式，再运用公式分解因式，并且分解到不能再分解为止。 难点： 1．准确识别公式模型，对式子变形、添括号后构造公式形式。 2．先提公因式，再用公式的综合题型。 3．判断分解是否彻底，区分两个公式，规避符号错误。 知识点一 用平方差公式进行因式分解 公式：，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 适用特征： （1）多项式为两项式； （2）两项都是完全平方形式； （3）两项符号相反（一正一负）。 特别提醒 1）式子结构：只有两项，两项都能写成平方形式，符号一正一负。三个条件同时满足才能用平方差. 2）、可以是单项式，也可以是多项式. 3）分解顺序：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分彻底），有公因式一定要先提取. 4）负号处理：先交换位置变成再分解；不要直接给两个式子都加负号. 5）分解结果保持整式乘积形式，不要展开；相同因式写成乘方形式. 6）底数是多项式时，后面括号要去括号化简、合并同类项. 易错提醒 1）两项都是平方，但符号相同（平方和）强行分解. 2）没有准确写成平方形式，底数判断错误. 3）有公因式不先提，分解不彻底. 4）底数为多项式，去括号时符号出错. 5）分数、小数的平方看错底数. 6）分解完成后又展开括号，变回多项式，失去因式分解意义. 即学即练 1．（26-27七年级上·上海闵行·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：为平方和，不符合要求； 选项B：为平方和的相反数，不符合要求； 选项C：符合平方差形式，可使用平方差公式分解因式； 选项D：为平方和，不符合要求． 2．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 3．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． 知识点二 用完全平方公式公式进行因式分解 1. 完全平方式： 我们把和这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。 2.公式 ，，即两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 适用特征： 多项式为三项式 首末两项是完全平方形式，且符号为正 中间项是首末两项底数乘积的2倍，符号可正可负 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中央" 特别提醒 1）结构特征：三项式，首尾两项是平方项，中间一项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负. 2）、可以是单项式，也可以是多项式. 3）分解顺序：一提、二套、三检查，有公因式必须先提取公因式，再套用公式. 4）中间项符号决定括号里面的加减：中间正，和的平方；中间负，差的平方. 5）结果写成一个整式的平方，不要写成两个相同因式相乘的形式. 6）首项一般化为正；如果平方项带负号，优先先提取负号，再判断. 易错提醒 1）漏掉中间的2倍. 2）中间项符号判断错误. 3）有公因式不先提，分解不彻底. 4）底数是多项式，整体套用公式时括号处理出错. 5）混淆平方差和完全平方. 6）系数、分数平方判断失误. 7）首项为负直接套公式. 8）分解结束又展开平方，变回多项式. 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，不符合要求； 对选项B：，，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：无法利用完全平方公式分解因式，符合要求． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：完全平方公式的结构为， ∵ 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，∴ 选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. 题型01 判断能否用公式法分解因式 解题贴士 第1步：先看项数，快速分流 - 两项式 → 优先排查平方差 - 三项式 → 优先排查完全平方 第2步：看每一项能不能写成平方形式（系数、字母都要能写成平方） 第3步：核对符号、核对中间项 - 两项：两个平方项，一正一负，才符合平方差；同正不行 - 三项：首尾是平方项，中间是±2倍首尾底数相乘 第4步：前置检查：有公因式先提公因式，再判断剩下部分能不能套公式 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【详解】解：完全平方公式 A、常数项不是平方数，无法配成平方，不符合题意； B、，若，则；若，则，，不符合题意； C、，符合题意； D、，括号内不符合完全平方式的结构特征，无法用完全平方公式因式分解，不符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，，可用平方差公式分解，不符合题意； B选项，，可用完全平方公式分解，不符合题意； C选项，，可用完全平方公式分解，不符合题意； D选项，，无法用公式法分解因式． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用完全平方公式分解因式，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征，根据公式结构逐一判断选项即可． 【详解】解：∵完全平方公式的结构为， 对于选项A：，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式，符合题意； 对于选项B：的常数项为负数，无法写成正平方项，不符合完全平方公式结构，不能分解，不符合题意； 对于选项C：只符合平方差公式结构，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解，不符合题意； 对于选项D：中，若符合完全平方公式，常数项应为，不是1，因此不符合结构，不能分解，不符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）下列多项式中不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，可提公因式进行因式分解，不符合题意； 对于选项B：，可利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 对于选项C：，不能因式分解，符合题意； 对于选项D：，可利用完全平方公式进行因式分解，不符合题意． 题型02 平方差公式分解因式 解题贴士 1.一提：先观察，有公因式优先提取公因式 2.变平方：把两项改写成的标准形式，找准、（、可以是数、单项式、多项式） 3.套公式：写成“和×差”： 4.化简括号：如果a或b是多项式，去括号、合并同类项 5.复查：检查每个因式还能不能继续分解，分解彻底 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 2．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算：_________． 【答案】 【分析】每个括号内的式子可通过平方差公式拆分为两个分数的乘积，利用相邻项的交叉约分简化连乘计算． 【详解】解：∵ 对任意整数，由平方差公式可得， ∴ 原式可展开为 ． 3．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____________． 【答案】 【分析】利用平方差公式把原式变形为，即可求解． 【详解】解： 题型03 完全平方公式分解因式 解题贴士 1.一提：有公因式，优先先提取公因式 2.找首尾：把首尾两项写成平方形式，确定、；首项为负先提出负号 3.验中间：验算中间项是否等于，判断是和的平方还是差的平方 4.套公式：写成或者 5.复查：括号内能不能继续化简、还有没有因式可以再分解 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 【详解】解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列四个多项式中，能因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、原式不能因式分解，不符合题意； B、，符合题意； C、原式不能因式分解，不符合题意； D、原式不能因式分解，不符合题意． 2．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若能运用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为_______． 【答案】 6或 【分析】利用完全平方公式的结构特征，由已知的二次项、常数项确定一次项的两种可能取值，进而求解的值． 【详解】解：∵能运用完全平方公式进行因式分解， ∴该式可写成 的形式，展开得， ∴对应一次项系数相等，即， ∴当时，解得； 当时，解得； ∴常数的值为6或． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：． 题型04 综合运用公式法分解因式 解题贴士 先提公因式，再判断用平方差还是完全平方；部分题目会连续两次套用公式（平方差套平方差、平方差+完全平方） 1.一提：优先提取公因式（含负号） 2.定型：看括号内剩下式子的项数 - 两项 → 尝试平方差 - 三项 → 尝试完全平方 3.套公式：按照对应公式分解 4.化简：括号里面去括号、合并同类项 5.再查：看新得到的每一个因式还能不能继续分解 6.收尾：所有因式都不能再分解，书写规范，不展开 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】先用完全平方公式，再用平方差公式 ． 【详解】解：原式 2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05综合提公因式法和公式法分解因式 解题贴士 1.看：观察多项式，先找公因式（系数、字母、整体多项式公因式，首项为负优先提出负号） 2.提：把公因式全部提取出来 3.判：看括号内剩余多项式 - 两项：判断是否为平方差形式 - 三项：判断是否为完全平方式 4.套：选用对应公式分解（平方差 / 完全平方） 5.化：因式里有多项式的，去括号、合并同类项化简 6.查：对每一个新因式重复上面流程，只要还能分解，继续分解；全部不能分解为止 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式x，再用平方差公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，再对分解后的因式用完全平方公式分解即可； （3）设，则，然后展开后运用因式分解法分解，然后将代入再运用因式分解法分解； （4）先统一公因式的形式，再提取公因式，然后用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：设， 则原式 ． （4）解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 【答案】 【分析】先套用公式分解，再化简合并，提取公因式得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 2．（26-27八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察多项式为两项平方差结构，直接套用平方差公式完成分解； （2）先提取多项式的公因式，再对剩余部分套用完全平方公式完成分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06 因式分解在有理数简便运算中的应用 解题贴士 1.观察算式：看式子结构，判断适合提公因式还是平方差 2.变形改写：把数写成平方形式，或者找出相同公因数；相同因数统一 3.因式分解变形 - 有加有减、多个项含相同数字 → 提公因式 - 两个平方数相减 → 平方差公式 4.凑整计算：优先算出和/差，凑出整十、整百、整千 5.算出最终结果 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)13600 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）计算（     ） A．10000 B．1800 C．180000 D．225000 【答案】C 【分析】观察式子特征，提取后利用完全平方公式简化计算． 【详解】解： ． 2．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个因数凑成整百数与2的和差，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：． 3．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行简便计算． 【详解】解： 题型07 十字相乘法 解题贴士 逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数 典｜例｜精｜析 1.（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； （2）解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 2．（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 3．（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型08 换元法（整体思想） 解题贴士 把式子中重复出现的相同整体，用一个新字母替换，简化式子；分解完成后，再回代换回原来的整体 适用特征：多项式里面反复出现同一个复杂代数式，直接展开会变繁琐、项数多。 1.找整体：找出重复出现的相同代数式，设为新元（如设 t= 这个整体） 2.代换：原式改写为只含新字母的简单多项式 3.分解：对换元后的式子因式分解（提公因式、公式法、十字相乘） 4.回代：把 t 换回原来的代数式 5.复查：检查每个因式还能不能继续分解，化简括号、合并同类项 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）阅读材料：在整式运算中，我们常常利用整体换元简化复杂整式的因式分解与求值． 例如：因式分解，可以令， 则原式，将代入， 得：． 利用整体换元的方法因式分解：． 【答案】解：令， 原式 ， 将代入，得： ． 【分析】阅读理解型换元分解题，核心是识别重复出现的相同整式，把它看成一个整体，把复杂的四次多项式降为二次多项式，先用十字相乘法分解，回代后还要继续分解到不能再分解为止． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式； （2）令，分解因式，最后将还原，继续分解因式即可； （3）将拆成，进而分组因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式， 令， 则原式 ； （3）解： ． 2．（26-27八年级上·山西临汾·期中）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可； ②令，然后利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①把“”看成一个整体，令 ∴ ； ②把看成一个整体，令 ∴ ． 3．（25-26八年级上·山东烟台·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）仿照材料1例题求解即可； （2）①令，即可求解；②令，仿照材料1、材料2例题分解，将“”还原后再根据完全平方公式及材料1继续分解； （3）前三项先用完全平方公式分解，再整体用平方差公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：①将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式； ②原式， 将“”看成一个整体， 令， 则原式， 再将“”还原得， 原式 ； （3）解：原式 ． 题型09 配方法 解题贴士 1.提：有公因式，先提取公因式 2.定：锁定二次项、一次项，准备凑完全平方 3.配：加上一次项系数一半的平方，同时再减去这个数（加多少减多少，式子值不变） 4.整理：写成「完全平方 − 平方数」的形式（必须是减号，才能平方差） 5.套：用平方差分解 6.复查：化简括号，检查因式是否还能继续分解 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27七年级上·上海松江·期中）阅读材料： 选取二次三项式中的两项，配出完全平方式的过程叫做配方． 例如：给定二次三项式． ①选取二次项和一次项配方，可以得到：； ②选取二次项和常数项配方，可以得到：或； ③选取一次项和常数项配方，可以得到：． 根据上述材料提供的方法解决以下问题： 【直接应用】 (1)对于二次三项式，选取二次项和一次项进行配方得 ． 【类比应用】 (2)对于二次三项式，通过选取二次项和一次项进行配方的方法对该二次三项式进行因式分解． 【知识迁移】 (3)若二次三项式（m为常数）的最小值为5，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接模仿示例，二次项 + 一次项配方，基础识别完全平方式； （2）用配方后形成平方差，完成因式分解，把配方和平方差公式结合； （3）问利用平方的非负性求代数式最值，先配方，找到常数部分就是最小值，再列方程求解参数． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 该式子最小值为： ， 解得：． 3．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时 【分析】（1）根据完全平方式的定义进行配方即可； （2）先根据进行配方，配成完全平方后，再利用平方差公式分解因式； （3）先对进行配方，再利用完全平方式的非负性进行分析即可解答． 【详解】（1）解： 添加常数为4． （2）解： （3）解： ， ， ． 的最大值是3，此时, 相应的a的值是． 题型10 利用因式分解解高次不等式 解题贴士 先因式分解，把多项式化成若干一次因式乘积的形式；利用因式符号变化判断整个式子正负，用来求解不等式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 【答案】 【分析】先对不等式左边因式分解，再根据“异号两数相乘，积为负”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解不等式组后即可得到原不等式的解集． 【详解】解：， ， ∴（1）或（2）， 解得（1）；（2）无解； ∴不等式的解集为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先对方程左边因式分解，再将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先对不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解后得到原不等式的解集． 【详解】（1）解：因式分解得， ∵如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0， ∴或， 解得或． （2）解：， 因式分解得， 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 因此不等式的解集为或． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解题： 原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或；若，则和异号，即：或． (1)分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集； (2)应用：解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组， （1）由得出①或②，分别求解即可； （2）由得，继而得出③或④，分别求解即可； 解题的关键是根据有理数乘法的符号法则列出关于的一元一次不等式组．也考查了平方差公式的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴①或②， 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：， 综上，原不等式得解集为或； （2）∵， ∴， ∴， ∴③或④， 解不等式组③，得：或，无解， 解不等式组④，得：， 综上，原不等式得解集为． 题型11 分组分解法 解题贴士 我们发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法。对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． (2)，判断是正数还是负数，说明理由． 【答案】(1) (2)是正数，理由如下： ， ， ， ，， ， 故是正数． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将含的项分别配方，利用平方的非负性判断c的正负． 【详解】（1）解： （2）略 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（26-27七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（26-27八年级上·山东烟台·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能大于． 证明： ∵是的三边长 ∴， ∴， ∴ 即原式的值不能大于． (3) 是等边三角形. 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 【分析】把多项式恰当分组，凑出完全平方式，再用平方差公式或者利用平方的非负性解题； 小问结合三角形三边关系、平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）略 （3）略 题型12 因式分解的应用 解题贴士 1.审题，确定目标（求值/计算/证明整除/判断正负） 2.对式子因式分解，遵循顺序：一提、二套、三十字、换元/配方 3.结合已知条件，整体代入或者分析因式特征 4.整理结果，作答检验 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，面积的不同表示方法，建立等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得原图形的面积为：，新图形的面积为， 故． 变｜式｜巩｜固 1．（北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷）若为完全平方式，则k的值为（     ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵为完全平方式，． ∴． ∴． 2．（26-27八年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． 有趣的数学应用2026年我国新能源绿色储能工程全面推进，储能设备与数据节点之间的信息传输依赖高强度密码体系保障安全．因式分解是生成这类密码的一种数学基础． 　　我了解到因式分解密码生成的原理是：将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，各因式计算结果若不足两位的前面补0，将各因式的计算结果按从小到大的顺序排列，即可得到密码． 例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．我是不是也可以用这个方法来设置密码呢？ (1)若某储能数据节点的密码生成用到多项式，则该多项式可分解为；其中代表2026年我国新能源绿色储能工程相关参数，代表储能安全系数，则该数据节点的密码是_______． (2)若另一数据节点的密码生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为8189，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）代入x，y的值计算各因式结果，补0后从小到大排列得到密码； （2）根据密码确定两个一次因式的值，利用对应系数相等求解m，n． 【详解】（1）解：当，时， ， 将其按从小到大的顺序排列就形成密码041016； （2）解：∵当时，密码为8189， ∴多项式分解后的两个因式分别为， ∴， ∴， ∴，． 3．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． (1)当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． (2)在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 【答案】(1)12 (2)①； ②存在， 由①得：， 当时，， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∵、，且x，y均为整数， ∴y取1，或2， ∴不符合题意，舍去，， 即存在正整数x和，使得，此时，或，． (3)4 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）①根据题意可得 ，再因式分解，即可求解； ②根据当时，，可得或，再结合、，且x，y均为整数，即可求解； （3）设，则，根据题意可得 ，同理，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：①∵，，长、宽， ∴， ∴ ； ②略 （3）解：设，则， 根据题意得： 同理， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ． 基础通关 1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，判断等式从左到右的变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式. 【详解】解：A、B选项等式右边均不是几个整式的积的形式，不符合题意； C选项从左到右是整式的乘法运算，不符合题意； D选项，符合因式分解的定义. 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 【答案】B 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系. 【详解】解：四个小纸片的面积之和为， 拼成的大长方形长为，宽为， 面积为； 由面积相等可得． 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想． 4．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项、D选项均为整式乘法变形，不是因式分解． B选项，的右边不是整式积的形式，不是因式分解． C选项，符合因式分解的变形要求，且因式分解正确． 5．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 6．（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，则整式的值为________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴原式， ， ， ， ． 7．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：原式 8．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 【答案】 【分析】对除式进行因式分解，结合多项式整除的性质，代入对应根建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】解：∵． ∵多项式能被整除． ∴当、时，． 将代入多项式得． 整理得①． 将代入多项式得． 整理得②． 联立①②，两式相加得． 解得． 将代入②式得． 解得． ∴． 9．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则的值为______． 【答案】12 【分析】利用平方差公式把分解为 ，代入计算即可． 【详解】解：，， ． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 11．（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． （2）把式子看成平方差的形式，利用平方差公式分解，之后继续整理． （3）提取公因式，再合并括号内同类项化简． （4）先展开多项式，再合并同类项，最后用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，仿照题干，设，即可求解； （2）已知两个一次因式，同理设出剩余的二次因式，求出参数后对二次因式继续分解即可得到最终结果． 【详解】（1）解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：多项式含有因式和， 设， 又 ， ，， ， ． 素养提升 14．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 【答案】D 【分析】根据和谐数定义，结合完全平方公式，通过配方、因式分解逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴17是和谐数，不符合题意； B、∵，且，是整数， ∴，均为整数， ∴一定是和谐数，不符合题意； C、∵， 又∵，都是和谐数，设，（，，，为整数）， ∴ ， ∴是和谐数，即原式是和谐数，不符合题意； D、∵ ， 若该式是和谐数，则需，即， ∴当该式是和谐数时，的说法错误，符合题意． 15．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式进行因式分解，将其转化为已知等式左侧的两个式子的乘积，再整体代入已知值计算即可． 【详解】解： ， 已知，， ∴代入上式计算得． 16．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，分别是的三边长，若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】将已知等式变形后因式分解，结合的条件计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（26-27八年级上·北京海淀·期中）对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． (1)已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； (2)若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ①    ②    ③    ④ (3)若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，则n的值为________． 【答案】(1) (2) ②③④ (3) 【详解】（1）解：∵，，B为实数，A，B互为“搭档平方式”， ∴； （2）解：不是一个整式的平方，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； 综上，符合题意的是②③④； （3）解：∵，， ∴； ∵A，B互为搭档平方式， ∴是整式的平方， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵A的最大值为8， ∴， ∵， ∴. 18．（25-26七年级下·山东聊城·期末）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． 迁移创新 19．（26-27八年级上·四川眉山·期中）若多项式，则A的最小值是_______． 【答案】13 【分析】利用配方法将多项式变形为完全平方式与常数的和，结合完全平方式的非负性求解最小值． 【详解】解： ． ． ． ∵，． ∴当两个完全平方式的值均为0时，取得最小值． ∴的最小值为． 20．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，，，那么代数式的值是_____． 【答案】3 【分析】先计算、、的差值，将原式拆分为含差值的整式形式，消去含x的项后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 将a、b、c的表达式代入上式． ． 21．（26-27八年级上·湖南永州·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图①所示有正方形1号、2号卡片与长方形3号卡片若干张．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式：__________________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要1号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________________． 【应用拓展】 (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)的值为或或 【分析】（1）利用面积相等即可求解； （2）根据整式的乘法计算即可求解； （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解； （4）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可得到答案． 【详解】（1）解：这个乘法公式是； （2）解：， ∵号卡片面积为，号卡片面积为， ∴需要号卡片张，号卡片张； （3）解：由图③可知矩形面积为， ∴； （4）解：∵，，， ∴，则； ，则； ，则； ∴的值为或或． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 课标要点 1．理解平方差公式、完全平方公式的结构，能逆用乘法公式进行因式分解。 2．会综合提公因式、公式法分解因式，分解到不能再分解为止。 3．能识别多项式是否符合公式形式，做到正确选用公式、准确分解 4．体会逆向思维、整体思想，发展符号意识。 学习重难点 重点： 1．理解平方差公式、完全平方公式的结构特征，能逆用乘法公式进行因式分解。 2．会先提公因式，再运用公式分解因式，并且分解到不能再分解为止。 难点： 1．准确识别公式模型，对式子变形、添括号后构造公式形式。 2．先提公因式，再用公式的综合题型。 3．判断分解是否彻底，区分两个公式，规避符号错误。 知识点一 用平方差公式进行因式分解 公式：，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 适用特征： （1）多项式为两项式； （2）两项都是完全平方形式； （3）两项符号相反（一正一负）。 特别提醒 1）式子结构：只有两项，两项都能写成平方形式，符号一正一负。三个条件同时满足才能用平方差. 2）、可以是单项式，也可以是多项式. 3）分解顺序：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分彻底），有公因式一定要先提取. 4）负号处理：先交换位置变成再分解；不要直接给两个式子都加负号. 5）分解结果保持整式乘积形式，不要展开；相同因式写成乘方形式. 6）底数是多项式时，后面括号要去括号化简、合并同类项. 易错提醒 1）两项都是平方，但符号相同（平方和）强行分解. 2）没有准确写成平方形式，底数判断错误. 3）有公因式不先提，分解不彻底. 4）底数为多项式，去括号时符号出错. 5）分数、小数的平方看错底数. 6）分解完成后又展开括号，变回多项式，失去因式分解意义. 即学即练 1．（26-27七年级上·上海闵行·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·上海闵行·期中）因式分解：__________． 知识点二 用完全平方公式公式进行因式分解 1. 完全平方式： 我们把和这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。 2.公式 ，，即两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 适用特征： 多项式为三项式 首末两项是完全平方形式，且符号为正 中间项是首末两项底数乘积的2倍，符号可正可负 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中央" 特别提醒 1）结构特征：三项式，首尾两项是平方项，中间一项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负. 2）、可以是单项式，也可以是多项式. 3）分解顺序：一提、二套、三检查，有公因式必须先提取公因式，再套用公式. 4）中间项符号决定括号里面的加减：中间正，和的平方；中间负，差的平方. 5）结果写成一个整式的平方，不要写成两个相同因式相乘的形式. 6）首项一般化为正；如果平方项带负号，优先先提取负号，再判断. 易错提醒 1）漏掉中间的2倍. 2）中间项符号判断错误. 3）有公因式不先提，分解不彻底. 4）底数是多项式，整体套用公式时括号处理出错. 5）混淆平方差和完全平方. 6）系数、分数平方判断失误. 7）首项为负直接套公式. 8）分解结束又展开平方，变回多项式. 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东聊城·期末）下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型01 判断能否用公式法分解因式 解题贴士 第1步：先看项数，快速分流 - 两项式 → 优先排查平方差 - 三项式 → 优先排查完全平方 第2步：看每一项能不能写成平方形式（系数、字母都要能写成平方） 第3步：核对符号、核对中间项 - 两项：两个平方项，一正一负，才符合平方差；同正不行 - 三项：首尾是平方项，中间是±2倍首尾底数相乘 第4步：前置检查：有公因式先提公因式，再判断剩下部分能不能套公式 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）下列多项式中不能因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型02 平方差公式分解因式 解题贴士 1.一提：先观察，有公因式优先提取公因式 2.变平方：把两项改写成的标准形式，找准、（、可以是数、单项式、多项式） 3.套公式：写成“和×差”： 4.化简括号：如果a或b是多项式，去括号、合并同类项 5.复查：检查每个因式还能不能继续分解，分解彻底 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）整式因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算：_________． 3．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____________． 题型03 完全平方公式分解因式 解题贴士 1.一提：有公因式，优先先提取公因式 2.找首尾：把首尾两项写成平方形式，确定、；首项为负先提出负号 3.验中间：验算中间项是否等于，判断是和的平方还是差的平方 4.套公式：写成或者 5.复查：括号内能不能继续化简、还有没有因式可以再分解 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）下列四个多项式中，能因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若能运用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为_______． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解：___________． 题型04 综合运用公式法分解因式 解题贴士 先提公因式，再判断用平方差还是完全平方；部分题目会连续两次套用公式（平方差套平方差、平方差+完全平方） 1.一提：优先提取公因式（含负号） 2.定型：看括号内剩下式子的项数 - 两项 → 尝试平方差 - 三项 → 尝试完全平方 3.套公式：按照对应公式分解 4.化简：括号里面去括号、合并同类项 5.再查：看新得到的每一个因式还能不能继续分解 6.收尾：所有因式都不能再分解，书写规范，不展开 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2) 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南·阶段检测）因式分解：． 2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）因式分解： (1) (2) (3) (4) 3．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 题型05综合提公因式法和公式法分解因式 解题贴士 1.看：观察多项式，先找公因式（系数、字母、整体多项式公因式，首项为负优先提出负号） 2.提：把公因式全部提取出来 3.判：看括号内剩余多项式 - 两项：判断是否为平方差形式 - 三项：判断是否为完全平方式 4.套：选用对应公式分解（平方差 / 完全平方） 5.化：因式里有多项式的，去括号、合并同类项化简 6.查：对每一个新因式重复上面流程，只要还能分解，继续分解；全部不能分解为止 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1)； (2) (3) (4) 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海青浦·期中）分解因式： 2．（26-27八年级上·福建泉州·期中）分解因式： (1)； (2)． 3．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06 因式分解在有理数简便运算中的应用 解题贴士 1.观察算式：看式子结构，判断适合提公因式还是平方差 2.变形改写：把数写成平方形式，或者找出相同公因数；相同因数统一 3.因式分解变形 - 有加有减、多个项含相同数字 → 提公因式 - 两个平方数相减 → 平方差公式 4.凑整计算：优先算出和/差，凑出整十、整百、整千 5.算出最终结果 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）运用简便方法计算： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西桂林·期中）计算（     ） A．10000 B．1800 C．180000 D．225000 2．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·广西桂林·阶段检测）计算：_________． 题型07 十字相乘法 解题贴士 逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数 典｜例｜精｜析 1.（26-27八年级上·湖南娄底·阶段检测）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1) (2) 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·全国·单元测试）材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 2．（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 3．（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型08 换元法（整体思想） 解题贴士 把式子中重复出现的相同整体，用一个新字母替换，简化式子；分解完成后，再回代换回原来的整体 适用特征：多项式里面反复出现同一个复杂代数式，直接展开会变繁琐、项数多。 1.找整体：找出重复出现的相同代数式，设为新元（如设 t= 这个整体） 2.代换：原式改写为只含新字母的简单多项式 3.分解：对换元后的式子因式分解（提公因式、公式法、十字相乘） 4.回代：把 t 换回原来的代数式 5.复查：检查每个因式还能不能继续分解，化简括号、合并同类项 典｜例｜精｜析 1．（26-27七年级上·上海松江·期中）阅读材料：在整式运算中，我们常常利用整体换元简化复杂整式的因式分解与求值． 例如：因式分解，可以令， 则原式，将代入， 得：． 利用整体换元的方法因式分解：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 2．（26-27八年级上·山西临汾·期中）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 3．（25-26八年级上·山东烟台·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如： 材料2：因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 材料3：因式分解：，将前两项结合，后两项结合，即． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 请你结合上述材料解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料3分解因式． 题型09 配方法 解题贴士 1.提：有公因式，先提取公因式 2.定：锁定二次项、一次项，准备凑完全平方 3.配：加上一次项系数一半的平方，同时再减去这个数（加多少减多少，式子值不变） 4.整理：写成「完全平方 − 平方数」的形式（必须是减号，才能平方差） 5.套：用平方差分解 6.复查：化简括号，检查因式是否还能继续分解 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海·阶段检测）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)已知为任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 2．（26-27七年级上·上海松江·期中）阅读材料： 选取二次三项式中的两项，配出完全平方式的过程叫做配方． 例如：给定二次三项式． ①选取二次项和一次项配方，可以得到：； ②选取二次项和常数项配方，可以得到：或； ③选取一次项和常数项配方，可以得到：． 根据上述材料提供的方法解决以下问题： 【直接应用】 (1)对于二次三项式，选取二次项和一次项进行配方得 ． 【类比应用】 (2)对于二次三项式，通过选取二次项和一次项进行配方的方法对该二次三项式进行因式分解． 【知识迁移】 (3)若二次三项式（m为常数）的最小值为5，求m的值． 3．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部配方可以用来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：． 因为， 所以． 则这个代数式的最小值是2，这时相应的x的值是． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)借助“配方法”因式分解：； (3)若，求M的最大值，并求出此时a的值． 题型10 利用因式分解解高次不等式 解题贴士 先因式分解，把多项式化成若干一次因式乘积的形式；利用因式符号变化判断整个式子正负，用来求解不等式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读理解题： 原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或；若，则和异号，即：或． (1)分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集； (2)应用：解不等式． 题型11 分组分解法 解题贴士 我们发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法。对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）阅读学习下面材料，解决问题． 材料1：常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)因式分解：； 材料2：我们知道完全平方公式，运用完全平方式是非负数的这一性质，可以找到解决问题的方法．例如， ，． (2)，判断是正数还是负数，说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）因式分解： (1)； (2)． 2．（26-27七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 3．（26-27八年级上·山东烟台·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 题型12 因式分解的应用 解题贴士 1.审题，确定目标（求值/计算/证明整除/判断正负） 2.对式子因式分解，遵循顺序：一提、二套、三十字、换元/配方 3.结合已知条件，整体代入或者分析因式特征 4.整理结果，作答检验 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷）若为完全平方式，则k的值为（     ） A．2 B． C．6 D． 2．（26-27八年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 下面是小华同学的数学日记，请认真阅读并完成相应的任务． 有趣的数学应用2026年我国新能源绿色储能工程全面推进，储能设备与数据节点之间的信息传输依赖高强度密码体系保障安全．因式分解是生成这类密码的一种数学基础． 　　我了解到因式分解密码生成的原理是：将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，各因式计算结果若不足两位的前面补0，将各因式的计算结果按从小到大的顺序排列，即可得到密码． 例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．我是不是也可以用这个方法来设置密码呢？ (1)若某储能数据节点的密码生成用到多项式，则该多项式可分解为；其中代表2026年我国新能源绿色储能工程相关参数，代表储能安全系数，则该数据节点的密码是_______． (2)若另一数据节点的密码生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为8189，求，的值． 3．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． (1)当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． (2)在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 基础通关 1．（26-27八年级上·北京海淀·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 4．（26-27七年级上·上海黄浦·阶段检测）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·上海松江·期中）已知，则整式的值为________． 7．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解：_______． 8．（26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的多项式能被整除，则的值为_________． 9．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）若，，则的值为______． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知，，求代数式的值． 11．（26-27八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 素养提升 14．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 15．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）已知，，则的值是________． 16．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，分别是的三边长，若，，则的长是__________． 17．（26-27八年级上·北京海淀·期中）对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． (1)已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； (2)若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ①    ②    ③    ④ (3)若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，则n的值为________． 18．（25-26七年级下·山东聊城·期末）在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 迁移创新 19．（26-27八年级上·四川眉山·期中）若多项式，则A的最小值是_______． 20．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知，，，那么代数式的值是_____． 21．（26-27八年级上·湖南永州·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图①所示有正方形1号、2号卡片与长方形3号卡片若干张．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题： 【解决问题】 (1)用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式：__________________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要1号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________________． 【应用拓展】 (4)如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求的值． 22．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $