专题17.2 用公式法分解因式（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦因式分解核心知识点，以“一提二代三分解”为基础，系统梳理提取公因式法、平方差与完全平方等公式法，进而衔接分组分解法、十字相乘法、因式定理及待定系数法，构建从基础到进阶的递进式学习支架。 资料亮点在于探究式学习（如“智慧数”问题）与数形结合（面积法推导公式），培养抽象能力、几何直观等数学眼光，提升推理意识与运算能力。题型分层设计，课中辅助教学，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，强化应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题17.2 用公式法分解因式 （新教材人教版） 知识点一、因式分解基本解法 2 知识点二、分组分解法 2 知识点三、十字相乘法 2 知识点四、因式定理 3 知识点五、待定系数法 3 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 4 【题型2 平方差公式分解因式】 5 【题型3 完全平方公式分解因式】 6 【题型4 综合应用公式法分解因式】 8 【题型5 综合应用提公因式法、公式法分解因式】 10 【题型6 因式分解在有理数简便运算中的应用】 11 【题型7 十字相乘法】 13 【题型8 分组分解法】 15 【题型9 因式分解的应用】 18 【探究式学习】 19 【课后检测】 23 【复盘笔记】 28 知识点一、因式分解基本解法 “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 知识点二、分组分解法 一般地，分组分解大致分为三步： i．将原式的项适当分组； ii．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点三、十字相乘法 已知，那么将因式分解，则结果为． 例：因式分解： 或 ∴原式 问题：二次三项式如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中． 十字相乘法适用类型：二次三项式 二次三项齐次式 例：因式分解： 或 ∴原式 特殊地，如果，则必有因式； 如果，则必有因式． 知识点四、因式定理 因式定理：如果时，多项式的值为0，那么是该多项式的一个因式． 特别地，如果多项式的系数的和等于0，那么是多项式的一个因式； 如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么是多项式的一个因式． 多项式性质：有理数的分子p是常数项的因数，分母q是首项系数的因数． 例如：分解因式：． 观察可知，当时，，则，其中A为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式A，则可用大除法． ∴． 知识点五、待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等． 即，如果恒成立，那么，，…，，． 待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 【例1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 【变式1-1】下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 【变式1-2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 【变式1-3】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 【题型2 平方差公式分解因式】 【例2】若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 【变式2-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，提公因式法，平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】A项：的公因式是， 正确结果应为，原分解公因式未提尽，A错误； B项：，由平方差公式可得 ，与选项结果不符，B错误； C项：因式分解要求结果为几个整式的乘积形式，该选项右边是和的形式，不符合定义，C错误； D项：提取公因式，可得 ，分解正确，D正确． 【变式2-2】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果为整式乘积，且分解彻底， ∴、，原分解未分解彻底，故该选项错误，不符合题意； 、结果中是分式，不是整式，不符合因式分解定义，故该选项错误，不符合题意； 、，原式分解错误，不符合题意； 、，由平方差公式可得，分解正确，符合题意． 【变式2-3】下列式子中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，符合平方差形式，正确分解为，不等于，故A错误； 对于选项B，提公因式不完整，正确分解应为，故B错误； 对于选项C，因式分解要求最终结果为几个整式的乘积，该式结果仍为和的形式，不符合要求，故C错误； 对于选项D，由完全平方公式可得，因式分解正确，故D正确． 【题型3 完全平方公式分解因式】 【例3】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 【变式3-1】下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，不符合要求； 对选项B：，，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：无法利用完全平方公式分解因式，符合要求． 【变式3-2】把代数式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先提取公因式，然后再按完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ． 【变式3-3】现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片9张， 面积为， 小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，， 还需6张丙纸片． 【题型4 综合应用公式法分解因式】 【例4】分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式4-1】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 【变式4-2】下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 【变式4-3】小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 【题型5 综合应用提公因式法、公式法分解因式】 【例5】将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【分析】运用提取公因式法和平方差公式分解原式，验证甲、乙两人的结果即可判断． 【详解】，与甲的结果一致，甲正确． ，与乙的结果一致，乙正确． 甲、乙的结果都正确． 【变式5-1】一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 【变式5-2】下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确； 【变式5-3】下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解的规则与常用公式，需判断每个选项的分解是否正确，因式分解需分解至每个因式无法再分解，且左右两边必须恒等，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，原式分解不彻底，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、不符合完全平方公式的条件，则，故C错误； 选项D、，故D正确． 【题型6 因式分解在有理数简便运算中的应用】 【例6】结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 【变式6-1】设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 【变式6-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式6-3】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 【题型7 十字相乘法】 【例7】如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 【变式7-1】若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 【变式7-2】下列多项式，不能分解因式的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式因式分解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需依据初中因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），逐个判断多项式能否分解因式，统计不能分解的个数后确定答案，即可求解； 【详解】①∵， ∴由平方差公式可得，原式，能分解因式． ②∵，在实数范围内无法分解， ∴原式不能分解因式． ③∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ④∵， ∴由完全平方公式可得，原式，能分解因式． ⑤∵可通过十字相乘法，将拆分为和1，且， ∴原式，能分解因式． 综上，不能分解因式的只有1个， 故选：A； 【变式7-3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的定义，结合提公因式法、公式法、十字相乘法等因式分解方法，逐项判断选项的正确性即可． 【详解】解：A、，∴A错误． B、，原式未分解彻底，∴B错误． C、，∴C正确． D、，∴D错误． 故选：C． 【题型8 分组分解法】 【例8】分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 【变式8-1】已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先对已知等式变形因式分解，结合得出的值，再代入 判断正负，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，且， ∴两边同乘，得 展开整理得 因式分解得 ，即 ∵ ， ∴ ，可得 ∴ ∴ 将代入 得 ∵ ， ∴ ，即 ． 【变式8-2】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 【变式8-3】下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 【题型9 因式分解的应用】 【例9】对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 【答案】A 【分析】利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 【变式9-1】能被下列哪个数整除（     ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据题意对原式提取公因式可得，通过计算可得结果为，可知原式能被整除，即可解答． 【详解】解： ， 原式能被整除． 【变式9-2】已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整理后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得原式． 【变式9-3】若长为、宽为的长方形周长为，面积为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到与的值，再对所求代数式因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形长为，宽为，周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴． 【探究式学习】 1．【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 【答案】(1)奇；7和6 (2)证明：设两个数分别为，，其中，且k为整数． 则， ， ． ， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． (3)136；136的智慧分解：35和33或19和15 【分析】（1）根据智慧分解的定义得到答案； （2）类比奇数的证明过程，结合条件证明能被4整除的偶数都是智慧数； （3）根据列举出的这些数寻找规律，根据规律再进一步求解得到答案． 【详解】（1）解：∵是偶数，∴是奇数； ∵， 解得， ∴， 即13的智慧分解为7和6（写成这样：或者也给分）； （2）略 （3）解：将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，发现的规律：第4，7，10个数都是4的倍数， 其中；；；……， 而， ∴第100个智慧数也是4的倍数， ∵第4个数，第7个数，第10个数， ∴第100个智慧数是， 由（2）知，，解得， ∴136的智慧分解：和，（或）； ∵也满足智慧数的定义， ∴136的智慧分解为19和15，（或）． 2．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【答案】(1) (2) (3)，36 【分析】（1）仿照题意可得大正方形的面积等于九个图形的面积之和，据此可得答案； （2）根据（1）可得，据此可得答案； （3）根据，可求出，再根据可得的值． 【详解】（1）解：大正方形的边长是 ，它是由三个小正方形和六个长方形组成的， ∴大正方形的面积等于这九个图形的面积之和， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ， ∴，    ， ∵， ∴          ． 【课后检测】 1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 2．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意； B选项：，含因式，故B不符合题意； C选项：，不含因式，故C符合题意； D选项：，含因式，故D不符合题意． 4．如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 【答案】C 【分析】边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，得到，把多项式因式分解并整体代入即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12， ∴， ∴． 5．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴． 7．因式分解：________． 【答案】 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解. 【详解】解：原式 8．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 9．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题17.2 用公式法分解因式 （新教材人教版） 知识点一、因式分解基本解法 2 知识点二、分组分解法 2 知识点三、十字相乘法 2 知识点四、因式定理 3 知识点五、待定系数法 3 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 4 【题型2 平方差公式分解因式】 4 【题型3 完全平方公式分解因式】 4 【题型4 综合应用公式法分解因式】 5 【题型5 综合应用提公因式法、公式法分解因式】 6 【题型6 因式分解在有理数简便运算中的应用】 6 【题型7 十字相乘法】 7 【题型8 分组分解法】 7 【题型9 因式分解的应用】 8 【探究式学习】 9 【课后检测】 11 【复盘笔记】 13 知识点一、因式分解基本解法 “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 知识点二、分组分解法 一般地，分组分解大致分为三步： i．将原式的项适当分组； ii．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点三、十字相乘法 已知，那么将因式分解，则结果为． 例：因式分解： 或 ∴原式 问题：二次三项式如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中． 十字相乘法适用类型：二次三项式 二次三项齐次式 例：因式分解： 或 ∴原式 特殊地，如果，则必有因式； 如果，则必有因式． 知识点四、因式定理 因式定理：如果时，多项式的值为0，那么是该多项式的一个因式． 特别地，如果多项式的系数的和等于0，那么是多项式的一个因式； 如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么是多项式的一个因式． 多项式性质：有理数的分子p是常数项的因数，分母q是首项系数的因数． 例如：分解因式：． 观察可知，当时，，则，其中A为整式，即是多项式的一个因式．若要确定整式A，则可用大除法． ∴． 知识点五、待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等． 即，如果恒成立，那么，，…，，． 待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 【题型1 判断能否用公式法分解因式】 【例1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 平方差公式分解因式】 【例2】若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【变式2-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列式子中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 完全平方公式分解因式】 【例3】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【变式3-1】下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】把代数式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】现有如图所示的甲、乙两种边长不同的正方形纸片和丙种长方形纸片若干张，小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需要取丙纸片的张数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【题型4 综合应用公式法分解因式】 【例4】分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【题型5 综合应用提公因式法、公式法分解因式】 【例5】将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【变式5-1】一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 因式分解在有理数简便运算中的应用】 【例6】结果为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【题型7 十字相乘法】 【例7】如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【变式7-2】下列多项式，不能分解因式的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 分组分解法】 【例8】分解因式：（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式8-3】下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 因式分解的应用】 【例9】对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 【变式9-1】能被下列哪个数整除（     ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式9-2】已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 【变式9-3】若长为、宽为的长方形周长为，面积为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．【课本再现】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______________数都是智慧数，13的智慧分解为_____________． (2)继续探究，他们发现，，…所以8、12、16等均是智慧数，由此，他们猜想：除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，请证明他们的猜想． (3)根据以上所有探究，如果将智慧数从小到大进行排列为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，……，根据你发现的规律，请直接写出第100个智慧数，以及它的一种智慧分解． 2．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现．做整式的乘法运算时，常利用几何直观的面积法得出结论． ［问题探究］ 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ，它是由两个小正方形和两个长方形组成的，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． ［结论］ (1) ________________________； ［应用结论］ (2)因式分解： ________________________； (3)已知 ， ，分别求 与的值． 【课后检测】 1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 2．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 5．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．因式分解：________． 8．若，，则_______． 9．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 10．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $