第十七章 因式分解 /阅读与思考 x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 阅读与思考 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 课 型 新授课 教学 目标 1.通过阅读，理解x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解方法（十字相乘法雏形）。 2.会分解x2+(p+q)x+pq型的二次三项式。 3.体会因式分解与整式乘法的互逆关系，发展观察与归纳能力。 重点 x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解。 难点 找到两个数p、q，使p+q等于一次项系数、pq等于常数项。 教学 方法 阅读研讨法、探究归纳法、讲练结合法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：计算(x+2)(x+3)=x2+5x+6，反过来x2+5x+6怎样分解？引出x2+(p+q)x+pq型因式分解。 2.出示学习目标：①理解方法；②会分解此类二次三项式。 任务驱学 任务1：计算：①(x+1)(x+2)；②(x−1)(x+3)；③(x−2)(x−3)。 任务2：观察结果，一次项系数和常数项与两个因式的常数有什么关系？ 任务3：归纳x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。即对于二次项系数为1的二次三项式x2+ax+b，如果能找到两个数p、q，使p+q=a，pq=b，那么x2+ax+b=(x+p)(x+q)。 探究2 推导：(x+p)(x+q)=x2+qx+px+pq=x2+(p+q)x+pq。 探究3 找p、q的方法：①先把常数项b分解成两个因数的积；②看这两个因数的和是否等于一次项系数a；③找到后写成(x+p)(x+q)。 探究4 符号规律：常数项为正，p、q同号（同正或同负，由一次项系数符号定）；常数项为负，p、q异号。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 分解因式：①x2+5x+6；②x2−7x+12；③x2+x−6。 （①2+3=5，2×3=6，∴(x+2)(x+3)；②(−3)+(−4)=−7，(−3)(−4)=12，∴(x−3)(x−4)；③3+(−2)=1，3×(−2)=−6，∴(x+3)(x−2)） 例2 分解因式：①x2−5x−6；②x2+7x+12。 （①(−6)+1=−5，(−6)×1=−6，∴(x−6)(x+1)；②3+4=7，3×4=12，∴(x+3)(x+4)） 方法归纳：先分解常数项找因数对，再看和是否等于一次项系数；注意符号；可借助十字相乘图辅助。 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演例1、例2；教师介绍十字相乘法的图示，点评找p、q的技巧和符号规律。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.x2+(p+q)x+pq=____。 2.分解因式：①x2+4x+3=____；②x2−5x+6=____；③x2−x−6=____。 3.分解因式：x2+8x+15。 4.分解因式：x2−2x−8。 【参考答案】1.(x+p)(x+q) 2.①(x+1)(x+3) ②(x-2)(x-3) ③(x-3)(x+2) 3.(x+3)(x+5) 4.(x-4)(x+2) 反馈订正：讲评第3、4题找因数对和符号处理。 反馈订正 学生互批、汇报；重点讲评找p、q的方法、符号规律和十字相乘图。 【分层练习】 1. 分解因式：①x2+5x+6；②x2−7x+12；③x2+2x−15。 【答案】①(x+2)(x+3)；②(x−3)(x−4)；③(x+5)(x−3) 2. 分解因式：①x2−x−20；②x2+9x+18；③x2−10x+24。 【答案】①(x−5)(x+4)；②(x+3)(x+6)；③(x−4)(x−6) 3. 分解因式：①2x2+7x+3；②3x2−11x+6；③x2−2xy−3y2。 【答案】①(2x+1)(x+3)；②(3x−2)(x−3)；③(x−3y)(x+y) 4. 分解因式：①(x2+x)2−8(x2+x)+12；②x4−5x2+4。 【答案】①令t=x2+x，t2−8t+12=(t−2)(t−6)=(x2+x−2)(x2+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)；②(x2−1)(x2−4)=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2) 5. 若多项式x2+ax+b可分解为(x+2)(x−3)，求a、b的值。 【答案】(x+2)(x−3)=x2−x−6，故a=−1，b=−6 二次备课 课 堂 小 结 1.公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。 2.关键：找p、q使p+q=一次项系数，pq=常数项。 3.方法：分解常数项→找因数对→验和。 4.符号：常数正同号，常数负异号。 课后 作业 1.必做：完成阅读与思考的练习题。 2.选做：分解因式2x2+5x+2（二次项系数不为1，拓展）。 板 书 设 计 x2+(p+q)x+pq型分解 一、公式：=(x+p)(x+q) 二、关键：p+q=a, pq=b 三、方法：分解常数→找因数→验和 四、符号：正同号、负异号 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $