16.2 整式的乘法（分层作业练知识）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 16.2 整式的乘法 目 录 A组 巩固过关 知识点01 单项式乘单项式 知识点02 单项式乘多项式 知识点03 多项式乘多项式 知识点04 同底数幂的除法 知识点05 零指数幂 知识点06 单项式除以单项式 知识点07 科学记数法下的除法运算 知识点08 多项式除以单项式 知识点09 整式四则混合运算 知识点10 规律探究问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 单项式乘单项式 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 2．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 知识点02 单项式乘多项式 4．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：长方体体积为． 5．已知，那么的值是________． 【答案】24 【分析】将所求代数式展开化简，利用幂的运算性质构造出已知的形式，通过整体代入，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴． 6．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 知识点03 多项式乘多项式 7．若，则的值为（     ） A． B． C．7 D．13 【答案】C 【分析】展开左侧多项式乘积，根据等式两边多项式对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 8．如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________． 【答案】 【分析】将整式按多项式乘法法则展开并合并同类项，根据展开式不含一次项的条件，令一次项系数为0，建立关于m的方程求解． 【详解】解： ∵展开式中不含有一次项 ∴一次项的系数为0，即， 解得． 9．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米，b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积S（用含a，b的式子表示）； (2)若，，求出该音乐喷泉池的面积S． 【答案】(1)米 (2)156米 【分析】（1）用代数式表示音乐喷泉的长与宽，即可求得其占地面积； （2）求代数式的值即可． 【详解】（1）解：由图知，音乐喷泉池的长为米，宽为米， 则音乐喷泉池的面积米； 答：音乐喷泉池的占地面积S为米； （2）解：当，时，（米）； 答：当，时，米． 知识点04 同底数幂的除法 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：与不是同类项，无法合并，运算错误． B选项：，运算错误． C选项：，运算错误． D选项：，运算正确． 11．南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 【答案】 925 【分析】从已知的两个等式归纳出方括号的运算规则，将待求代数式按同底数幂运算法则化简，提取各字母的指数按规则拼接即可得到密码． 【详解】解：∵ 已知，该式中的指数为3，的指数为1，的指数为8，按顺序拼接三个指数恰好得到318， 又∵ 已知，先化简括号内的代数式， 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加： ， 三个字母的指数依次为6、6、6，按顺序拼接得到666，与已知结果一致 ∴ 所以，密码为925． 12．已知，，求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把 写成 ，再用同底数幂的除法性质代入； （2）把 看作 的平方，直接由（1）的结果求值； （3）先把 、 化成以 为底的幂，再用幂的乘方把待求式化为 与 的整指数幂． 【详解】（1）解：． （2）解：． ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 知识点05 零指数幂 13．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于，而无意义，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，无意义，故不一定正确； ，故错误； 当时，，无意义，故不一定正确； ，，，故正确． 14．若，则所满足的条件是__________________． 【答案】 【详解】解：要使成立，需满足底数， 解得． 15．课堂上老师设计了一种运算：．例如．已知为非零实数，计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 知识点06 单项式除以单项式 16．已知，则整式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得. 17．一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________． 【答案】 【分析】已知三角形面积与某一边的长度，通过三角形面积公式变形得到高的计算式，结合单项式除法法则求解． 【详解】解：∵三角形面积公式为底×高， 设这条边上的高为h，将，底边长代入上式得 ∴． 18．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值； （2）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：， ， ， 【点睛】此题考查了整式的乘除，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 本题考查的是整式的除法、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． 知识点07 科学记数法下的除法运算 19．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 20．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 21．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，求出长方体的体积，再除以速度，即可得出结果． 【详解】解：长方体废水池中废水的体积为， ∵净化速度为， 净化废水所需时间为． 答：这池废水需要能净化完． 知识点08 多项式除以单项式 22．长方形的面积为，其中一边长是，则另一边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∴另一边长是． 23．_____． 【答案】 【分析】运用多项式除以单项式的运算规则，将被除式的每一项分别除以除式，结合同底数幂的除法法则计算各项的商，再合并得到最终结果． 【详解】解： ． 24．先化简，再求值：，其． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算乘法项，再利用多项式除以单项式法则计算除法项；然后去括号、合并同类项完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 知识点09 整式四则混合运算 25．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 【答案】B 【分析】设这个非零的有理数为a，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设这个非零的有理数为a， 根据题意得，， ∴所得结果是1． 26．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】根据定义对所求式子进行化简，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则即可求解； （2）首先计算括号内的多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点10 规律探究问题 28．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． ； ； ； ； ； 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为_________；的展开式中第三项的系数为_________．（        ） A．6，4753 B．6，4752 C．6，4751 D．6，4750 【答案】A 【分析】观察杨辉三角及给出的展开式，归纳出展开式中第二项系数等于，第三项系数等于，据此代入计算即可． 【详解】解：由题意及杨辉三角规律可得：的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为； 的第二项系数为． 的第二项系数为． 又的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为． 的第三项系数为． ． 两个空分别为和． 29．某数学兴趣小组借鉴《详解九章算法》中“垛积术”的思想，探究如下数式的规律： ； ； ； ； … 该兴趣小组通过翻阅其他资料，得知从1到的连续自然数之和的计算公式为，则的值为__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据给出公式以及规律求解． 【详解】解：， 根据规律以及公式可得， ． 30．综合与实践 【活动主题】 借助图形直观感受数与形之间的关系． (1)【初步应用】 如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：______； (2)【拓展创新】 仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：画图略； 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成六个小长方形计算面积为：， 所以． B组 能力进阶 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减、乘除及乘方运算，需根据同类项合并法则、多项式乘多项式法则、同底数幂除法法则、积的乘方法则逐一判断选项 【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；     B、 ，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；     D、 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴，解得， ∵， 所以代入得， 故选：． 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．展开多项式，令x一次项的系数为零，即可得到p与q的关系． 【详解】解：∵ ， 又∵ 展开后不含x的一次项， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 【答案】 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有______（填写序号即可）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了整式的混合运算，分别用含的代数式表示出，，，再代入，根据整式的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：①，，， ∴ ， 故的值不是2的倍数； ②，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； ③，，， ∴ ， 故值一定是2的倍数； ④，，， ∴ ， 故的值是2的倍数； 综上所述，的值是2的倍数的有②③④． 故答案为：②③④． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化面积是平方米． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． C组 思维拔高 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘以多项式，数字类规律探究，熟练掌握给定的操作方法，确定规律是解题的关键，根据给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换后：，，，整式串之和为； 第2次变换后：，，，，，整式串之和为； 第3次变换后：，，，，，，，，，整式串之和为； ； 故第次变换后整式串之和为； ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则， ∵不含的一次项， ∴，解得；故①正确； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3， 即，整理，得， ∴， ∴；故②正确 ③∵第次变换后整式串之和为； ∴时，整式串之和，③正确 故选：D． 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，平方根的定义解方程，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． ①由，代入，，即可解出；②由，代入，，可得的取值范围；③由，代入，，当不含一次项时，将代入即可判断；④由，代入各整式化简得，即可解得的值． 【详解】解：①，，， ， 或， 解得或． 故①正确． ②，，， ，即， ， ，且为任意实数． 故②正确． ③，，， ． 当不含一次项时， ，即． ． 当时，，不是正数， 故③错误． ④， ， ， ， 化简得，，． 故④正确． 综上，正确结论为①②④，共3个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 【答案】 【分析】根据题意可得，由正整数的性质可得，，要使“信使数”最小，则优先让、尽可能小，因此取，，此时，满足要求的最小数为．对于的最大值，容易得到，由为整数可得，为完全平方数，结合，则或．当时，由是整数可得是奇数，从而推断出也是奇数，这与为整数矛盾；当时，可计算得，结合可得，从开始，寻找符合要求的“信使数”即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴， ∵、、、是正整数， ∴，，， ∴， ∴， 要使 “信使数”最小，则，， 此时， ∴，或，， ∵， ∴最小的“信使数”为； ∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是完全平方数，且， ∵， ∴或， 当时， ∵是整数， ∴是偶数， ∴个位数也是偶数， 又∵， ∴也是偶数， ∴与的奇偶性相同， ∴是偶数， ∵是整数， ∴是的因数，这与是偶数矛盾，故舍去； 当时， ∵是整数， ∴是的因数， 又∵是偶数， ∴， ∵， 又∵是正偶数，即， ∴， ∵， ∴， 要使取得最大值，则要尽可能地大， ∴从大到小寻找符合要求的数， 当时， ∵， ∴或，都与矛盾； 当时，或（不符题意，舍去）， ∴，此时，为满足要求的最大“信使数”． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． (1)试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； (3)若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 【答案】(1)多项式，，是“和谐多项式群”，“和谐值” (2)①；② (3)当时，或者当时， 【分析】（1）通过计算判断即可； （2）①首先化简，然后根据题意得到，求出； ②将和代入求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别根据“和谐多项式群”的定义和“和谐值”为求解即可． 【详解】（1）解：多项式，，是“和谐多项式群”． 理由： 多项式是“和谐多项式群”，“和谐值”． （2）解：① 多项式为“和谐多项式群” ，即； ②多项式为“和谐多项式群” “和谐值” 又 ； （3）解：当时，， 此时 又 ， 或 或 又 当时，， 此时 又 此时，不符合题意． 当时，， 此时 又 此时，符合题意． 综上所述，当时，或者当时，． 【点睛】本题主要考查了新定义、整式的乘法，解题关键是理解定义，正确计算． 6．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4； （2）； （3）； （4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）略 （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 拓展 链接中考 1．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、，计算错误． 2．（2026·天津·中考真题）计算的结果为________． 【答案】 【详解】解： ． 3．（2026·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 16.2 整式的乘法 目 录 A组 巩固过关 知识点01 单项式乘单项式 知识点02 单项式乘多项式 知识点03 多项式乘多项式 知识点04 同底数幂的除法 知识点05 零指数幂 知识点06 单项式除以单项式 知识点07 科学记数法下的除法运算 知识点08 多项式除以单项式 知识点09 整式四则混合运算 知识点10 规律探究问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 单项式乘单项式 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：__________． 3．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 知识点02 单项式乘多项式 4．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积是（     ） A． B． C． D． 5．已知，那么的值是________． 6．已知等式成立，求的值． 知识点03 多项式乘多项式 7．若，则的值为（     ） A． B． C．7 D．13 8．如果关于x的整式的展开式中不含有一次项，那么m的值为_____________． 9．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为a米，b米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积S（用含a，b的式子表示）； (2)若，，求出该音乐喷泉池的面积S． 知识点04 同底数幂的除法 10．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 12．已知，，求： (1) (2) (3) 知识点05 零指数幂 13．下列计算一定正确的是（     ） A． B． C． D． 14．若，则所满足的条件是__________________． 15．课堂上老师设计了一种运算：．例如．已知为非零实数，计算：． 知识点06 单项式除以单项式 16．已知，则整式（     ） A． B． C． D． 17．一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________． 18．计算： (1) (2)． 知识点07 科学记数法下的除法运算 19．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 20．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 21．某社区要净化满满一池废水，长方体水池的长为、宽为、高为，已知净化速度为，则这池废水需要多长时间能净化完． 知识点08 多项式除以单项式 22．长方形的面积为，其中一边长是，则另一边长是（     ） A． B． C． D． 23．_____． 24．先化简，再求值：，其． 知识点09 整式四则混合运算 25．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 26．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 27．计算： (1) (2) 知识点10 规律探究问题 28．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． ； ； ； ； ； 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为_________；的展开式中第三项的系数为_________．（        ） A．6，4753 B．6，4752 C．6，4751 D．6，4750 29．某数学兴趣小组借鉴《详解九章算法》中“垛积术”的思想，探究如下数式的规律： ； ； ； ； … 该兴趣小组通过翻阅其他资料，得知从1到的连续自然数之和的计算公式为，则的值为__________（用含的代数式表示）． 30．综合与实践 【活动主题】 借助图形直观感受数与形之间的关系． (1)【初步应用】 如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：______； (2)【拓展创新】 仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． B组 能力进阶 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期末）关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 7．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 9．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在某月的月历中任意框出如图摆放的4个数，，，（四个数均存在），下列四个选项中的值是2的倍数的有______（填写序号即可）． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． C组 思维拔高 1．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）对于五个整式：，，，，，有以下几个结论： ①若实数满足，则或； ②若实数，满足，则为任意实数，； ③若关于的多项式（为常数）不含的一次项，则该多项式的值一定为正数； ④若实数，满足，则． 上述结论中，正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 4．对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． (1)试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； (3)若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 6．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 拓展 链接中考 1．（2026·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·中考真题）计算的结果为________． 3．（2026·广东深圳·中考真题）计算：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $