4.5.2用二分法求方程的近似解（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版必修第一册

教学目标

1.理解二分法的原理，掌握用二分法求方程近似解的步骤，会借助函数零点存在定理判断零点所在区间。

2.经历二分法探究、区间不断缩窄的过程，体会逼近思想与程序化算法思想，提升逻辑推理能力。

3.感受无限逼近的数学思想，体会近似求解在实际中的价值，养成严谨求实的数学思维习惯。

教学重点

二分法的原理、操作步骤及用二分法求方程近似解。

教学难点

精确度的理解与终止条件的判断，以及把缩小区间的过程规范表达为程序化算法。

教材分析

本节教学内容源于人教A版高一上学期第四章《指数函数与对数函数》第五节《函数的应用（二）》（第2课时 用二分法求方程的近似解）。核心内容：二分法的概念与适用条件，借助函数零点存在定理确定零点所在区间，通过不断取中点缩小区间求方程近似解，理解精确度及用区间端点作为近似值的意义，体会逼近思想和程序化算法思想。

本课在函数零点、零点存在定理基础上，由线路故障定位的生活情境抽象出“取中点、分区间、缩范围”的逼近策略。其逻辑是：先由连续函数在区间端点函数值异号判断零点存在，再取中点，比较中点函数值与端点函数值的符号，保留含零点的半区间，循环操作直至区间长度满足精确度要求。二分法把方程近似求解转化为可重复执行的算法程序，体现函数与方程的联系，也为后续算法和信息技术应用奠基。教学重点为二分法的原理、步骤及用其求方程近似解；难点在精确度控制与程序化表达。

学情分析

 学生已学习函数零点、零点存在定理、指数函数与对数函数，具有方程求解经验及一元一次方程、二次函数、多项式等相关知识，能理解方程解与函数零点的联系，也具备数形结合和借助信息技术计算的基础。生活情境中的“取中点缩小范围”较易激发兴趣，概念归纳相对容易；但将具体操作抽象为二分法定义和算法步骤，理解精确度含义、判断何时停止、选择区间端点作近似值仍有困难。连续取中点时函数值计算和符号判断较繁琐，易出现区间保留错误。教学中应借助数轴、表格和信息技术降低计算负担，突出“异号区间保留”和“区间长度小于或等于精确度”的终止判断，帮助学生突破程序化操作与逼近思想理解上的难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

情境1：一台电器发生故障，故障点在一条总长 的线路上，如何最快找到故障位置？

最高效的方法不是逐段排查，而是先检测线路中点，判断故障在左半段还是右半段，再对故障所在区间继续取中点排查，不断缩小范围，最终锁定故障点。这种“取中点、分区间、缩范围”的排查思路，就是二分法的生活原型。对此，你能得到什么启发？

【师生活动】

教师提问“如何最快找到故障位置”，学生分组讨论“逐段排查”与“取中点排查”的效率差异；

教师引导学生概括“取中点、分区间、缩范围”，追问“这种方法能否用于求方程近似解”，明确本节课学习方向。

以生活定位问题激发兴趣，让学生初步感受“不断缩小区间”的逼近思想，为抽象二分法概念、明确学习方向作铺垫。

探究点1：二分法的概念

【问题引入】

已知函数 在区间 内存在一个零点，进一步问题是，我们如何求出这个零点？

通过问题1和生活原型抽象二分法定义，借助辨析训练突破“连续且异号”这一概念理解难点，培养抽象概括能力。

一个直观想法是：将零点所在范围尽量缩小，在一定精确度要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值；为方便，可通过取区间中点的方法逐步缩小零点所在范围。

【师生活动】

教师演示“取中点、分区间”的过程，提问“缩小区间时依据什么判断零点在哪一半”；

学生结合函数零点存在定理回答“看区间端点函数值是否异号”。

教师板书二分法定义，学生圈画关键词“连续不断”“”“一分为二”“逐步逼近”。

【详细过程】

对于在区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

注：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点。

【例题巩固】

1、图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是(  B  )

2、在用二分法求函数 零点近似值时，第一次取的区间是 ，则第三次所取的区间可能是（　D　）