4.5.2 用二分法求方程的近似解教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.2　用二分法求方程的近似解（教学设计）

人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学》必修第一册

一、课题基本信息

课题：4.5.2　用二分法求方程的近似解

教材版本：人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（2019年课标版）

册次：必修第一册（第四章　指数函数与对数函数）

年级：高一年级

课时：4.5.2（4.5节第2课时）

课型：新授课

教学内容：二分法的概念，给定精确度，用二分法求函数零点近似值的一般步骤，借助计算工具求方程的近似解。

二、教材内容分析

本课时承接4.5.1“函数的零点与方程的解”：零点存在定理只回答了“零点是否存在、在哪个区间”的问题，本课时进一步回答“如何把零点求出来”。对于方程这类无法用公式求出精确解的方程，教材给出了具有普遍适用性的方法——二分法：通过不断地把零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值。

二分法是学生第一次系统接触“用逼近思想求近似解”，实现了从“追求精确解”到“满足精确度的近似解”的观念转变，其中蕴含的算法思想与逼近思想是数学学科核心素养的重要体现。“精确度”是本课的核心概念：当区间两个端点的差的绝对值小于精确度时即可停止计算，区间内的任一点都可作为零点的近似值，这一处理为用数学方法解决实际问题提供了新的范式。

三、学情分析

学生已学习4.5.1，能依据零点存在定理判断零点的存在性与所在区间，但面对“解存在却求不出精确值”的方程会产生强烈的认知需求，这正是本课的教学起点。学生对“精确度”缺乏直观认识，容易将其误解为“结果保留一位小数”；在区间更新时，对“弃哪一半、留哪一半”的判断也容易出错。高一学生已具备使用

科学计算器的基本经验，但按算法步骤规范执行、如实记录中间数据的习惯尚待培养，需要教师示范引领、学案支架辅助。

四、教学目标（核心素养导向）

【数学抽象】1. 理解二分法的概念，能从“取中点、缩区间”的具体操作中抽象出逐步逼近的思想方法。

【逻辑推理】2. 掌握给定精确度，用二分法求函数零点近似值的一般步骤，能依据的符号正确判断零点所在的区间并更新端点。

【数学运算】3. 能借助计算器（或计算机）按步骤求方程的近似解，规范书写求解过程，有效控制运算误差。

【直观想象】4. 能借助函数图象直观理解零点所在区间的收缩过程，理解精确度的几何意义。

五、教学重点、难点

教学重点：二分法的概念与给定精确度，用二分法求函数零点近似值的一般步骤。

教学难点：精确度的理解（即可停止计算，而非“四舍五入到一位小数”）；依据的符号正确更新零点所在的区间。

六、教学准备

多媒体课件（演示区间收缩过程动画）、科学计算器（或计算机软件）、学案（含求解过程记录表与课堂练习）。课前要求学生复习零点存在定理，完成学案回顾题：判断函数在区间内是否存在零点（参考数据：，）。

七、教学过程

本课时按“情境导入—新知探究—例题精讲—课堂练习—小结作业”推进，五个环节共45分钟。

环节：情境导入（约5分钟）

教师组织“价格竞猜”游戏：某电商直播间举行价格竞猜活动，一件商品的价格在100元到200元之间（取整数），竞猜者每报一次价格，主播只回答“高了”或“低了”，看谁用最少的次数猜中价格。

学生尝试并交流策略：先报150，若“低了”，则价格在150到200之间，再报175；若“高了”，则价格在150到175之间……每次都报剩余范围的中间数，最多7次就能猜中。

教师追问：这种“每次取中间、范围缩小一半”的策略，能不能迁移到求方程的解上？由此引出课题。

设计意图：以学生熟悉的直播竞猜情境为载体，让学生在游戏中提炼“逐步缩小范围”的策略，为二分法概念的建立搭建生活原型，激发学习兴趣。

环节：新知探究（约15分钟）

活动一：提出问题。如何求方程的解？引导学生令。由上节课的零点存在定理，，，所以零点在区间内。教师指出：这个方程无法像一元二次方程那样用公式求出精确解，需要寻找求近似解的一般方法。

如图1，函数在区间内有一个零点，图象直观呈现出“左负右正、零点夹在中间”的格局。

图1　函数的图象

活动二：缩小区间。取区间的中点2.5，用计算器算得。因为，所以零点在区间内。再取中点2.75，算得，因为，所以零点在区间内。