4.5.3 函数模型的应用教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计

教学目标

1．能借助马尔萨斯人口增长模型、碳14衰减模型等已知函数模型解决实际问题，体会确定参数、计算求解、检验模型的基本过程．

2．通过对模型计算结果与实际数据的比较，认识数学模型的适用条件，能对模型结果与实际的差异作出合理解释．

3．经历"审题—选模—定参—求解—检验—应用"的完整建模过程，发展数学建模、数学运算、数据分析等核心素养．

4．结合第七次全国人口普查、良渚古城考古等真实情境，感悟数学的科学价值与应用价值，增强文化自信．

教学内容

教学重点：利用已知的函数模型解决实际问题，体会数学建模的基本过程．

教学难点：理解模型的适用条件，能解释模型结果与实际数据存在差异的原因．

教学过程

新授课：

（一）情境导入，引出课题

2021年5月11日，国家统计局公布第七次全国人口普查结果：全国人口共141178万人，与2010年第六次全国人口普查相比增长5.38%．人口问题始终是全社会关注的焦点问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T. R. Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，

其中表示时的人口数，表示人口的年平均增长率．

【师生活动】教师展示第七次全国人口普查公报的数据，引导学生阅读；指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，本节课研究如何利用已知的函数模型解决实际问题．

【设计意图】以最新人口普查数据引入，贴近社会热点，激发学习兴趣，自然引出马尔萨斯人口增长模型，为后续建模作铺垫．

（二）新知探究，建构模型

例1　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．

（1）用马尔萨斯人口增长模型建立我国1950—1959年间具体的人口增长模型；

（2）利用（1）中的模型计算1951—1958年各年末的人口总数，与国家统计局网站公布的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数将达到13亿？

分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体模型，关键是确定两个参数：人口初始量与年平均增长率．由题意＝55196（万人）．以1950年末为起始年，1959年末为第9年，设年平均增长率为，则

，

即．两边取常用对数，得，

所以，，即．

于是，我国1950—1959年间的人口增长模型为

（2）利用上述模型计算1951—1958年各年末的人口总数，并与实际数据比较（取整到万位），如下表所示．

表1　模型计算值与实际人口数据的比较

根据表中数据画出散点图，并画出模型的图象，如图1所示．由图可以看出，所得模型与1950—1959年间我国实际人口数据基本吻合．

图1　我国1950—1959年人口实际数据散点图与模型图象

（3）设经过年我国人口总数达到13亿（即130000万），则

，

即．两边取自然对数，得，

，

即．也就是说，大约在1950年后的第39年（即1989年），我国人口总数将达到13亿．

事实上，我国1989年的人口总数约为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由模型所得结果与实际不符的情形，应当如何看待？

这是因为模型刻画的是"自然增长"状态，而我国人口基数较大，人口增长过快，与经济发展水平产生了较大矛盾，我国从20世纪70年代起逐步实施了计划生育政策，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，因此出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．这说明数学模型都是有适用条件的，用模型分析实际问题必须结合实际加以检验和修正．

【师生活动】教师引导学生经历"审题—确定参数—计算求解—检验比较—解释修正"的全过程；借助信息技术完成对数运算与作图，组织学生讨论模型结果与实际数据产生差异的原因．

【设计意图】通过人口增长模型的建立、检验与预测，让学生完整感受利用已知函数模型解决实际问题的过程，体会"建模—求解—检验—修正"的迭代思想，发展数学建模与数据分析素养．

例1小结：利用已知函数模型解决实际问题的一般步骤：①审题选模：读懂数据，明确模型结构；②确定参数：利用已知数据求出模型中的待定常数；③计算求解：求函数值或解方程（不等式）；④检验比较：将结果与实际数据对照，判断模型是否适用；⑤回答或修正：回答实际问题，或对模型进行修正后再用．

例2　2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

分析：死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，可选择指数型函数（）建立函数模型．碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14的残留量就衰减为原来的一半，据此可以确定底数：

，

即．取（把碳14的初始量看作1），设生物死亡年数为，则死亡生物机体内碳14含量与初始量的比值为

．

解：由题意得