4.4.3不同函数增长的差异（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版必修第一册

教学目标

1.理解指数函数、对数函数、一次函数的增长特点，能比较不同函数模型的增长差异，会简单应用函数增长规律分析问题。

2.借助图象、数据表格探究函数增长趋势，体会数形结合、分类讨论的思想，提升观察、对比与归纳能力。

3.感受不同函数模型在现实中的应用价值，体会数学模型刻画变化规律的作用，激发探究数学规律的兴趣。

教学重点

比较一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，概括不同函数模型的增长特点，并简单应用增长规律分析问题。

教学难点

从图象和数据中抽象出函数增长趋势，理解“存在某个时刻后”的大小关系，并能依据实际条件选择合适的函数模型。

教材分析

本节教学内容源于人教A版高一上学期第四章《指数函数与对数函数》第四节《对数函数》（第3课时 不同函数增长的差异）。核心知识点是：比较一次函数、指数函数、对数函数在区间上的增长特点与差异，借助图象和数据表格描述“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”，并能依据实际情境选择合适的函数模型进行简单分析。

本节是在学生已学习一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质基础上，对函数增长方式的进一步比较与归纳。教材以三种奖励方案、细菌分裂、身高增长等情境引入，引导学生从具体函数与、与的图象和数据出发，体会不同函数虽然都递增，但增长速度有本质差异：一次函数匀速增长，指数函数增长越来越快，对数函数增长越来越慢。教学应突出“变化趋势”和“存在某个时刻后”的比较，帮助学生从具体数值大小上升到函数增长规律的概括，形成函数模型选择意识。其知识价值在于用数学模型刻画现实变化规律，为后续建模与优化选择奠定基础。教学重点是借助图象、数据比较不同函数模型的增长差异，概括增长特点并简单应用。

学情分析

学生已掌握一元一次方程、多项式运算，以及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的概念、图象和单调性，具备描点作图、观察图象和简单数据分析的基础。学生对“增长快慢”有生活经验，但容易停留在具体数值大小的比较，难以从变化率和长期趋势角度抽象概括。借助具体函数图象和数据表格，学生较易感知“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的差异，概念归纳具有可操作性；但将增长差异转化为“存在某个时刻后”的比较，并在实际情境中建立或选择函数模型，仍有一定困难。因此，教学中应加强图象直观与数据支撑，引导学生用数学语言表达增长趋势，并把模型选择作为难点加以突破。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

情境1：选择奖励方案

假设遇到一位天使，想送钱，现有三种方案：

方案一：每天给40元；

方案二：第一天给10元，以后每天比前一天多给10元；

方案三：第一天给0.4元，以后每天比前一天翻一番。

设第 天获得的日金额是 元。

问题： 你会选择哪种方案？短期内哪种方案收益高？长期看哪种方案增长最快？

情境2：不同增长模式

（1）某种细菌每20分钟分裂一次，数量呈指数增长；
（2）人的身高在青春期快速增长，但成年后几乎不再增长。

问题： 这两种增长模式有什么不同？你能用学过的函数来描述吗？我们已经学过了一

用“奖励方案”和“细菌分裂、身高变化”的生活情境制造认知冲突，激发兴趣；通过复习旧知明确学习方向：从图象和数据出发比较不同函数模型的增长差异，为新知探究作铺垫。

次函数、二次函数、指数函数、对数函数，它们各自的增长特点是什么？在实际问题中该如何选择模型？

【复习回顾】

常见三种函数模型 、、 在 上都是增函数，它们之间有区别吗？

【师生活动】

教师展示三种奖励方案，追问“短期选哪个？长期选哪个？”

学生口算前4天金额并观察增长趋势；

教师引导学生回顾一次函数、指数函数、对数函数图象，提出本课核心问题：不同函数增长差异是什么？如何选择模型？

探究点1：指数函数与一次函数的增长差异

【问题引入】

问题1：请选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间 上的增长差异，你能描述指数函数的特点吗？不妨以函数 和 为例。

【师生活动】

教师演示 与 的图象，提问“随着 增大，两个函数值增加快慢有何不同？”

学生分组计算 时的函数值，比较增量并归纳。

【详细过程】

列出部分数据：

通过具体函数图象和数据增量，让学生直观感受“指数增长越来越快、一次增长不变”，突破增长差异的理解难点，培养数形结合和数据分析能力。