4.4.3 不同函数增长的差异教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.3 不同函数增长的差异（教学设计） 课题 4.4.3 不同函数增长的差异 单元 第四章 指数函数与对数函数（4.4 对数函数 第3课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、通过比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，直观理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的含义，发展直观想象素养； 2、经历“小范围观察—大范围观察—一般化”的探究过程，体会从特殊到一般的研究方法，会用“总会存在，当时恒有…”的方式刻画增长速度的差异； 3、能根据实际问题的增长情况选择合适的函数模型，感受不同函数增长差异的实用价值。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》4.4《对数函数》的第3课时。学生已学完指数函数与对数函数的图象和性质，本节把一次函数、指数函数、对数函数放在一起比较增长的差异，为下一节“函数的应用（二）”中选择函数模型作准备。 教师用书对4.4的重点、难点表述为：重点是对数函数的概念、图象和性质；难点是“对数函数性质的归纳，对‘指数爆炸’‘直线上升’‘对数增长’的理解”（教师用书 p.179）——本节正是这一难点的落点。 本节没有例题（教师用书 p.183 原话：“本小节设置了三个‘探究’和一个‘思考’，没有设置例题，练习要结合‘探究’和‘思考’的结论来完成”）。教材的推进由三个“探究”和一个“思考”串成： 探究一：以与为例，先在较小的范围（表4.4-3、图4.4-5）观察，再在较大的范围（表4.4-4、图4.4-6）观察，归纳出“不在同一个‘档次’上”，并一般化到（）与（）； 探究二：以与为例（表4.4-5、图4.4-7），归纳出对数函数的增长速度越来越慢，并用“思考”框把放大1000倍再比较，仍得同样规律，随后一般化到（）与（）； 探究三：把、、画在同一坐标系中比较，概括三类增长差异，并讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义。 教师用书强调：这里“主要是让学生直观地感受不同函数的增长差异，不必给出严格的证明”（教师用书 p.182，出现两次）；用信息技术“将起到至关重要的作用”（教师用书 p.183）。 学情分析 学生已掌握三类函数的图象和性质，也具备用计算工具求值、作图的能力。本节学生面临的主要障碍： 1、只凭“函数值大小”看增长，不会区分“值的大小”与“增长的快慢”，容易在“一度小于”处产生困惑； 2、习惯在同一个范围内比大小，不习惯“小范围看不出差异、大范围差异明显”这种观察方式； 3、对“总会存在一个，当时恒有…”这种刻画方式不熟悉，说不出“不在同一个档次上”的意思； 4、对“对数增长”慢到什么程度缺乏量感。 教学策略：用“小范围大范围”两步观察制造认知冲击；用表格数据与图象相互印证；用“思考”框把放大1000倍，逼学生认识到对数增长的“慢”是本质属性而不是系数造成的。 教学重点 直观感受一次函数、指数函数、对数函数增长的差异，理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义。 教学难点 理解“增长速度”与“函数值大小”的区别；用“存在，当时恒有…”刻画增长差异。 教学准备 多媒体课件（PPT）、信息技术作图工具（几何画板或 GeoGebra、电子表格软件）、计算器 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【节首语：为什么要比较增长差异】 教师呈现教材节首语：在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律。下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。 教师提问：我们已经分别研究过指数函数和对数函数的性质。现在把它们和一次函数放在一起，你估计会看到什么？ 教师明确本课的两个关键词：增长速度（不是函数值的大小）与增长方式（越来越快、保持不变、越来越慢）。 1、理解本课的目的：为了在实际问题中“选择合适的函数模型”； 2、说出自己的猜想：指数函数增长很快，对数函数增长很慢，一次函数“匀速”； 3、明确本课要比较的是“增长的快慢”，不是“谁大谁小”。 由节首语点明本节的应用价值，让学生带着“为了选模型”的目的去比较；同时把“增长速度”与“函数值大小”的区别提前点出，这是本节最易混淆的地方。 新知 探究1 【探究一：指数函数与一次函数（第一步，小范围）】 教师呈现教材探究：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 师生活动：不妨以函数和为例。 教师用信息技术列出两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3）： 取； 对应； 对应。 教师在同一坐标系中画出两图象（图4.4-5），并标出交点。 师生共同观察：函数和的图象有两个交点，。在区间上，的图象位于的图象之上，；在区间上，的图象位于的图象之下，；在区间上，的图象又位于的图象之上，。 教师追问：既然有时小于，还能说指数函数增长得快吗？ 教师引导得出：虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同——函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化。 1、用计算工具完成表4.4-3； 2、在坐标系中画出与的图象，标出交点、； 3、分段比较两个图象的上下位置，说出与的大小关系的变化； 4、在教师追问下意识到：“值的大小”会反复，但“增长的快慢”是另一种比较。 先在小范围观察，学生会看到“上下交替”的现象，这正是制造认知冲突的地方——为下一步“放到大范围看”作铺垫。教师用书指出“教科书是从一个较小的范围到一个较大的范围”展开的（教师用书 p.182）。 新知 探究2 【探究一（第二步，大范围）：差异到底有多大】 教师在更大的范围内观察和的增长情况。 教师用信息技术列出表4.4-4： 取； 对应； 对应。 教师在同一坐标系中画出两图象（图4.4-6）。 师生共同观察：当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道。 教师给出归纳（教材原文）：虽然函数与在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度。尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有。 教师一般化：一般地，指数函数（）与一次函数（）的增长差异都与上述情况类似。即使的值远远大于的值，（）的增长速度最终都会大大超过（）的增长速度。 教师呈现教材旁注：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长。 1、完成表4.4-4，感受“每增加2，翻两番而只增加4”； 2、观察图4.4-6，说出“的图象越来越陡，几乎垂直”； 3、理解“不在同一个档次上”的含义； 4、复述“总会存在一个，当时恒有”这句话的意思； 5、注意“即使远大于”这一加强，体会指数增长的“爆炸性”。 把范围放大到，与形成巨大反差，学生才真正“看见”指数爆炸。教师用书指出“在区间上可以观察到两个函数的增长差异不大；而在区间上，则可以观察到两个函数的增长差异就很大”（教师用书 p.182）。 新知 探究3 【探究二：对数函数与一次函数】 教师呈现教材探究：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 师生活动：以为何不选？教师说明教材的选择——为更好地体现对数增长逐渐趋缓的特点，选取一次函数与对数函数比较（教师用书 p.182）。 教师用信息技术列出表4.4-5： 取； 对应“不存在”、； 对应。 教师在同一坐标系中画出两图象（图4.4-7）。 师生共同观察：时两者都是1；时而，对数函数已落后；到时而，差距越来越大。 教师给出归纳（教材原文）：虽然对数函数（）与一次函数（）在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着的增大，一次函数（）保持固定的增长速度，而对数函数（）的增长速度越来越慢。即使的值很小，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有。 教师呈现教材旁注：对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。 1、完成表4.4-5，注意时不存在； 2、观察图4.4-7，说出“越来越平缓，越来越远离轴”； 3、复述“总会存在一个，当时恒有”； 4、思考：如果把放大1000倍，还会被超过吗？ 与探究一完全平行（小范围大范围一般化），学生已有经验，节奏可以加快。“为什么选而不选”这一说明很关键，让学生明白教材的选材是“为了更能体现特点”，而不是随意选的。 新知 探究4 【思考：把放大1000倍再比】 教师呈现教材“思考”框：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？ 教师用信息技术把两个函数画在同一坐标系中。 师生共同观察：即使把放大1000倍，一次函数最终仍会超过它。 教师点明：这说明对数函数“增长速度越来越慢”是它的本质属性，与系数的大小无关——系数只影响“谁先超过谁”，不影响“最终谁超过谁”。 教师由此把探究四的三条结论汇总，引导讨论“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”三个术语。 1、观察放大1000倍后的图象，发现规律仍然成立； 2、理解“系数只改变先后，不改变最终的胜负关系”； 3、用自己的语言解释三个术语：“直线上升”指增长速度保持不变；“对数增长”指增长速度越来越慢；“指数爆炸”指增长速度越来越快。 “思考”框是本节的点睛之笔：学生容易以为“对数增长慢”是因为系数小，把放大1000倍正好排除这一误解，让学生认识到这是函数类型本身的性质。教师用书指出这“更能体现对数函数增长逐渐趋缓的特点”（教师用书 p.182）。 新知 探究5 【探究三：三者同图比较，概括增长差异】 教师呈现教材探究：类比上述过程， （1）画出一次函数、对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异； （2）试着概括一次函数（）、对数函数（）和指数函数（）的增长差异； （3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义。 教师用信息技术把三条曲线画在同一坐标系中，引导学生按“谁最终增长得最快、谁最终最慢”排序。 师生共同概括（板书）： 一次函数（）：直线上升，增长速度保持不变； 对数函数（）：对数增长，增长速度越来越慢； 指数函数（）：指数爆炸，增长速度越来越快。 教师追问：这三类增长在实际问题中分别适合刻画什么样的变化规律？ 学生回答后教师归纳：匀速增长选一次函数；初期增长快但后期趋缓的选对数型；增长越来越快的选指数型。 1、在同一坐标系中画出三条曲线； 2、按“最终增长快慢”排序：指数函数 一次函数 对数函数； 3、用自己的语言分别解释三个术语，并各举一个生活实例； 4、讨论：人口爆炸、物价缓慢上涨、匀速行驶分别该选哪类模型。 本环节是本节的能力落点，把前面两次比较的结论汇总成“三类增长方式”的整体图景。教师用书明确要求这里“讨论交流‘直线上升’‘对数增长’‘指数爆炸’的含义”（教师用书 p.183），并且“重在理解，不必给出严格的证明”。 课堂 练习 【教材P139 练习】 1、三个变量，，随变量变化的数据如下表： 取； ：； ： ； ：。 其中关于呈指数增长的变量是 。 【答案】（相邻两项之比约为常数18，呈指数增长；增加量递增但比值为变数，为线性增长）。 2、与比较：借助计算工具估算出使的的取值范围（精确到）。 【答案】。 3、对数函数的图象与一次函数的图象有，两个公共点，且，。求一次函数的解析式。 【答案】设。由得；由得。解得，，所以。 4、函数的图象过点，在接近时图象向下无限延伸，之后上升但越来越平缓。则可能是（ ）。 （A），； （B），； （C）；（D），。 【答案】C。 1、独立完成四题，限时12分钟； 2、第1题用“相邻两项之比是否为常数”判断； 3、第2题借助计算工具与图象，先找出两个交点的大致位置； 4、第3题把图象条件翻译成“过点、”，用待定系数法求解； 5、第4题逐项对照图象特征排除。 四道练习分别对应“数据判断”“图象与估算”“由图象求解析式”“由图象选函数”，把本节的增长差异落到具体操作上。教师用书指出“练习要结合‘探究’和‘思考’的结论来完成”（教师用书 p.183）。 课堂 小结 教师引导学生构建本节知识框架： 一、研究方法 小范围观察（差异不大） 大范围观察（差异明显） 一般化到、与。 二、三类增长方式 一次函数（）：直线上升，增长速度保持不变； 对数函数（）：对数增长，增长速度越来越慢； 指数函数（）：指数爆炸，增长速度越来越快。 三、如何刻画“档次”不同 总会存在一个，当时恒有（指数函数最终超过一次函数）； 总会存在一个，当时恒有（对数函数最终被一次函数超过）。 四、易错点 “增长速度”不等于“函数值大小”——在一定范围内可能小于，但最终会远远超过它。 五、应用 根据实际问题的增长情况选择模型：匀速一次；越来越快指数；越来越慢对数。 1、分模块口述本节知识框架； 2、独立绘制三类函数的增长对比图，并标注三个术语； 3、复述“一度小于但最终反超”这一事实，说明“增长速度”与“值的大小”的区别； 4、各举一个生活中的例子对应三类增长。 形成结构化的认识，把三个术语从“口号”变成有数据、有图象支撑的直观理解。这一框架直接服务于下一节“函数模型的应用”——选择模型时正是先判断“属于哪类增长”。 作业 布置 【教材 习题4.4】分层布置： 1、复习巩固（必做）：第4题——由图象判断函数类型； 2、复习巩固（必做）：第6题（选择题）； 3、综合运用（必做）：第9、11题； 4、拓展探索（选做）：第12、13题。 【部分答案（教师用书 p.195--196）】 第6题：B。 第11题：取（万元）；取（万元）——前者为直线上升，后者为指数增长。 第12题：。 第13题：(1) ；(2) 。 记录作业要求，课后独立完成；第4、6题巩固由图象判断增长类型，第9、11题综合运用，第12、13题供学有余力的学生选做。 分层作业，巩固提升。第11题用同一组数据分别按“直线上升”和“指数增长”补全表格，直观对照两类增长，是本节的典型题；第13题是不同底的对数值比较，综合了前两课时的内容。 板书 设计 4.4.3 不同函数增长的差异 一、研究方法 小范围观察（差异不大） 大范围观察（差异明显） 一般化 二、三类增长方式 一次函数 （）：直线上升，增长速度保持不变 对数函数 （）：对数增长，增长速度越来越慢 指数函数 （）：指数爆炸，增长速度越来越快 三、关键结论（“不在同一个档次上”） 总会存在 ，当 时恒有 总会存在 ，当 时恒有 即使 远大于 ，指数函数最终仍远远超过一次函数 四、易错点 “增长速度” “函数值大小”： 在 内小于 ，但最终远远超过 五、数据对照（表4.4-4 节选） ： 而 ；： 而 ；： 而 学科网（北京）股份有限公司 $