4.4.1对数函数的概念（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版必修第一册

教学目标

1.理解对数函数的定义，掌握对数函数解析式形式，能判断函数是否为对数函数，会求对数函数的定义域。

2.通过实例抽象出对数函数模型，体会对数函数与指数函数的联系，提升抽象概括能力。

3.感受对数函数在实际问题中的应用价值，体会数学模型刻画变量关系的作用，激发探究函数的兴趣。

教学重点

对数函数的概念、解析式形式判断及定义域求法。

教学难点

从指数函数模型反向抽象出对数函数概念，以及在真实情境中建立对数函数模型并解释其实际意义。

教材分析

本节教学内容源于人教A版高一上学期第四章《指数函数与对数函数》第四节《对数函数》（第1课时 对数函数的概念）。核心知识点包括：对数函数的定义 （且）、定义域 、判断函数是否为对数函数、求与对数函数有关的定义域，以及从指数函数实例中抽象对数函数模型并进行简单应用。

本课时是在学生已学习函数概念、指数函数和对数运算的基础上，进一步抽象基本初等函数的过程。教材由碳14衰减这一指数函数模型反解死亡年数，借助指数与对数互化及图象对应关系，说明 与 之间具有唯一确定的对应关系，进而一般化为 ，并由 、 得到定义域。该内容揭示了指数函数与对数函数的内在联系，是后续研究对数函数图象、性质及应用的基础。教学重点为对数函数的概念要素、形式判断和定义域求法；教学中应突出“实例—互化—对应—定义—辨析—应用”的概念形成逻辑，引导学生体会对数函数模型刻画变量关系的价值。

学情分析

学生已学习函数概念、指数函数、对数运算及指数与对数互化，具备一元一次方程、多项式运算等代数基础，对“函数刻画变量关系”已有初步认识。学习本课时，概念辨析和定义域求解有一定可操作性，但学生容易忽略底数 且、真数大于0等限制；从碳14衰减等实例中反向抽象出对数函数，需要较强的对应关系和抽象概括能力。实际应用中对数函数模型的选择、建立与结果解释难度较大。因此，教学中应借助具体实例和指数—对数互化降低抽象难度，通过辨析训练强化概念要素，并把“从指数函数模型抽象对数函数概念”和“建立对数函数模型解决实际问题”作为教学难点加以突破。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情景，引入新课】

【问题引入】情境1：在4.2.1的问题2中，设生物死亡年数为 ，死亡生物体内碳14含量为 ，则 。反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？

【师生活动】

教师引导学生由指数式互化为对数式；

学生列式并观察变量关系。

【详细过程】

由 ，转化为对数形式：。

问题1：对于表达式 ，它是否确定一个函数关系？

以碳14真实情境引出“由含量求时间”的反向问题，激发兴趣，明确从指数关系抽象对数函数的学习方向。

探究点1：由碳14含量问题抽象对数关系

【问题引入】

由 反解出 ，观察 与 的对应关系。

【师生活动】

教师演示“过 轴正半轴上任意一点 作 轴平行线”的图象观察；

学生讨论对应是否唯一。

【详细过程】

如图，过 轴正半轴上任意一点 作 轴的

通过图象与对应关系双重验证，突破“反解后仍为函数”的理解难点，培养抽象概括能力。

平行线，与函数 的图象有且只有一个交点 。即对于任意一个 ，通过对应关系 ，在 上都有唯一确定的数 和它对应，所以 是 的函数。

探究点2：指数函数改写与对数函数定义

【问题引入】

问题2：对于指数函数 ，将其改写为对数形式，能否判断 是否是关于 的函数？

【师生活动】

教师提问，学生类比探究点1改写并判断唯一性；

教师规范书写，交换字母得标准形式。

【详细过程】

改写为 。

是关于 的函数，每个 都有唯一确定的 与之对应。通常用 表示自变量，用 表示因变量，将上式中 与 的位置调换，得 。

一般地，函数 叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 。

问题3：为什么定义域是 ？

因为 ，根据指数函数性质可得 ，即 ，所以定义域是 。

【例题巩固】

例1 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过 年后的物价为 。

（1）该地的物价经过几年后会翻一番？

由指数函数反解自然生成对数函数定义，建立指数函数与对数函数的联系；通过物价模型体会对数函数刻画变量关系的作用。