4.4.2 对数函数的图象和性质 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高中数学必修第一册人教A版

《4.4.2 对数函数的图象和性质》教学设计

基本信息

学科：高中数学

教材版本：人教A版必修第一册

课题：4.4.2 对数函数的图象和性质

课时：第1课时

课型：新授课

授课时长：45分钟

一、课标分析

依据《普通高中数学课程标准（2022年版）》，本节课属于"函数"主题中"指数函数与对数函数"单元。课标要求：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数与指数函数互为反函数。本节课承接对数函数的概念，通过"作图—观察—归纳"生成图象与性质，发展学生直观想象、逻辑推理与数学抽象素养。学业要求：能画出对数函数的图象，能依据图象说出定义域、值域、定点与单调性，并能运用单调性比较两个对数值的大小。

二、教材分析

《对数函数的图象和性质》是人教A版必修第一册第四章"指数函数与对数函数"中4.4节的内容，是继4.4.1对数函数的概念之后的第2课时。学生已经明确对数函数（a>0，且a≠1）的定义域是；本章前面还系统研究了指数函数的图象与性质，"列表、描点、连线"再由图象归纳性质的研究路径，为研究这个新函数提供了完整范式。

教材先让学生用描点法画出的图象，再借助底数互为倒数的两个对数函数图象的关系进行拓展，进而取不同底数在同一直角坐标系内画图，观察共性、归纳性质，最后安排比较对数值大小与溶液酸碱度计量的例题，体现"图象—性质—应用"的研究路径。本节课只研究对数函数的图象、性质及比较大小的基本应用，不涉及复合函数等后续内容，不超课时范围。

三、学情分析

高一学生已经掌握对数函数的概念与定义域，熟悉指数函数"作图—观察—归纳"的研究方法，具备基本的描点作图能力。但学生对底数a如何影响图象的升降缺乏直观感受，容易把对数函数与指数函数的升降规律记混，比较对数值大小时容易忽略先看底数与1的大小关系。

学生常见误区：

1.把对数函数与指数函数的图象形状、升降规律记混；

2.比较对数值大小时不先看底数，直接用真数大小下结论；

3.底数为字母时，忘记分a>1与0<a<1两类讨论。

本节课需要让学生亲手描点作图，借助多个具体函数的图象观察共性，用固定句式归纳性质，并在比较大小训练中强化"先定底数、再看真数"的思维顺序。

四、教学目标

1.通过列表、描点、连线画出的图象，经历"具体函数—图象特征—归纳性质"的过程，能说出对数函数的定义域、值域、定点与单调性，发展直观想象与数学抽象素养。

2.通过在同一坐标系中画多个不同底数的对数函数图象，归纳底数a与1的大小关系对图象升降的影响，能运用单调性比较两个对数值的大小，并对底数为字母的情形进行分类讨论，提升逻辑推理素养。

3.通过对溶液酸碱度等实际问题的分析，体会对数函数刻画现实数量关系的价值，养成先看图象与性质、再作判断的严谨习惯。

五、教学重难点及突破策略

教学重点

1.对数函数的图象特征与性质（定义域、值域、定点、单调性）；

2.运用对数函数的单调性比较两个对数值的大小。

教学难点

底数a与1的大小关系对图象升降的影响；底数为字母时比较大小需要分类讨论。

重难点突破策略

1.学生亲手描点画的图象，再利用底数互为倒数的两个对数函数图象关于x轴对称的关系，由已画出的图象直接对称得到倒数底数对应的图象，降低作图门槛；

2.在同一直角坐标系内画四个不同底数的对数函数图象，用暖色、冷色区分a>1与0<a<1两组，直观呈现升降规律；

3.固定句式板书：比较大小先看底数定增减，再用真数比大小；底数是字母，先分两类再讨论；

4.课堂练习按"同底定值比较—与0比较—实际应用"的梯度设置，当堂反馈纠错。

六、教学准备

教师准备

多媒体课件、几何画板动态演示底数变化；课堂练习题与参考答案；板书设计。

学生准备

预习课本4.4.2，复习对数函数的概念与指数函数的研究方法，准备坐标纸、铅笔与直尺。

七、教学过程（总时长45分钟）

环节一：情境导入（5分钟）

教师活动：展示新闻素材："三星堆遗址祭祀坑的碳-14测年结果显示，部分坑内标本距今约3000余年。"提问：考古学家无法直接数出文物埋藏了多少年，却能通过测定碳-14含量换算出年代。上节课我们正是由碳-14的衰减规律（其中x为死亡年数，y为碳-14含量）反解出x关于y的对应关系，得到一类新的函数——对数函数。

追问：对于对数函数（a>0，且a≠1），我们目前只知道它的解析式，它的图象是什么形状？有哪些性质？应该按照怎样的顺序研究？

学生活动：回顾碳-14测年情境与对数函数的定义，思考"研究一个新函数先做什么"，对照指数函数的学习经验，明确本节课的任务是画图象、探性质。

设计意图：以考古热点情境唤醒旧知，类比指数函数的研究路径提出问题，让学生带着"方法"进入新课。

环节二：新知探究一 描点作图，初识图象（12分钟）

教师活动：先定研究顺序：研究一个新函数，要先明确解析式与定义域，再画图象，由图象归纳性质。对数函数的定义域是（上节课已明确），所以图象只在y轴右侧。

布置任务：完成x与y的对应值表，用描点法画出函数的图象。当x依次取0.5，1，2，4，8，16时，对应的函数值y依次为−1，0，1，2，3，4，即依次得到描点

引导学生观察图象特征：图象位于y轴右侧，全部过点(1,0)，从左向右上升。追问：底数互为倒数的两个对数函数，比如与这两个函数，它们的图象有什么关系？引导学生取x=2分别计算两个函数值，发现两个函数值互为相反数，猜想两个图象关于x轴对称，并在坐标系中验证，呈现图1。

图1 与的图象

学生活动：独立完成对应值表并描点连线；观察图象特征；计算验证对称猜想，对照图1检查并修正自己画出的图象。

设计意图：让学生经历完整作图过程，借助"倒数底数"关系快速扩展图象，渗透数形结合思想。

环节三：新知探究二 变底探性，归纳性质（13分钟）

教师活动：布置小组任务：底数取3、等不同数值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，归纳对数函数的性质。教师用几何画板演示底数连续变化时图象的升降变化，呈现图2。