4.4.1 对数函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课　标　要　求

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节的要求是：通过具体实例，了解对数函数的概念。

【内容分析】

本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书·数学·必修第一册》（2019年版）第四章第四节第一课时，是继指数函数、对数之后学习的第一个以对数为载体的函数模型。学生在第四章已经学习了指数函数的概念与性质、对数的概念与运算，本节在此基础上，从“已知变化规律反推变化时间”的真实问题出发，把指数式改写为对数式，抽象出对数函数的概念，并研究其定义域。对数函数与指数函数密切相关，是基本初等函数的重要组成部分，也为后续深入研究对数函数奠定概念基础。

【教材分析】

教材以碳-14含量与生物死亡时间的关系为背景，设计了“具体实例—观察共性—抽象定义—辨析巩固”的概念形成过程，突出数学抽象素养的培养。教材紧接着安排了求定义域的例题，让学生在运用中加深对底数、真数限制条件的理解。

【学情分析】

学生已经掌握指数函数的概念与性质，能够进行指数式与对数式的互化，具备从实际情境中抽象函数模型的初步经验。但对“以对数式为载体定义新函数”的思维转变仍有障碍，容易在真数取值范围、底数限制条件上出错。教学中应借助熟悉的测年问题，让学生经历完整的概念形成过程，在辨析中澄清认识，发展数学抽象与逻辑推理素养。

教　学　目　标

【德育特色】

1.结合我国三星堆遗址考古等重大工程中碳-14测年技术的应用，感受数学在文明探源中的力量，增强文化自信与民族自豪感。

2.通过“情境—抽象—应用”的探究过程，养成严谨求实的科学态度，提升用数学眼光观察世界、用数学语言表达世界的意识。

【知识技能】

1.能从碳-14含量与生物死亡时间的等量关系中写出对数式，并抽象出对数函数的概念。

2.能说出对数函数的定义，明确底数 a>0 且 a≠1 的合理性，会判断一个函数是不是对数函数。

3.会求对数函数及简单组合形式函数的定义域。

【核心素养】

1.数学抽象：从碳-14衰减等具体模型中抽象出对数函数的概念。

2.逻辑推理：依据对数与指数的关系，说明对数函数定义域为 (0,+∞) 及底数限制条件的合理性。

3.数学运算：能熟练进行指数式与对数式的互化，求相关函数的定义域。

4.数学建模：体会对数函数是刻画“已知变化倍数反推所需时间”这类问题的基本数学模型。

【教学重点】对数函数的概念、解析式与定义域。

【教学难点】对数函数概念的形成过程；底数 a 的取值范围与真数取值范围合理性的理解。

教　学　过　程

教 学 内 容 及 活 动

设计意图

及时长

【复习导入】

1.复习提问：指数式 与对数式 之间如何互化？（学生口答，教师板书：当 a>0，且 a≠1 时， 对应 ，二者可以互相改写。）

2.情境创设：近年来，三星堆遗址的考古发掘备受关注，科学家正是利用碳-14测年技术推断出土遗物的年代。生物死亡后，体内碳-14含量 P 与死亡时间 t（单位：年）之间满足关系式 （t≥0）。

图1　碳-14含量P随时间t变化的示意图

问题1：当碳-14含量衰减为原来的一半、四分之一时，生物分别死亡了多少年？

学生活动：由指数式与对数式的关系，将 改写为 。当 时，；当 时，。

问题2：一般地，对每一个 ，是否都存在唯一确定的 t 与之对应？

预设：由对数的定义，对每一个 ，都有唯一确定的 与之对应，所以 t 是 P 的函数。

以三星堆考古这一真实情境切入，复习指数与对数的互化，让学生感受数学的应用价值，自然引出本课要研究的函数模型。

（3分钟）

【新授环节一】对数函数的概念

问题3：观察函数 （），再看下面的例子，它们有什么共同特点？

①某地区生产总值年均增长率为6%，经过 x 年翻一番，则 ，即 （x≥0）。

②在对数运算中，对每一个大于0的实数 x，、、 都有唯一确定的值与之对应。

归纳共性（师生共同完成）：这些关系式中，自变量都出现在对数式中（真数位置），底数都是不等于1的正常数，对每一个允许取值的自变量，都由对数运算唯一确定一个函数值。

1.对数函数的定义：一般地，把函数 （a>0，且 a≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 。

通过问题串引导学生观察共性，经历“具体实例—观察共性—抽象定义—辨析巩固”的概念形成过程，发展数学抽象素养；借助辨析题澄清概念外延。

（10分钟）