精品解析：北京汇文中学2026-2027学年七年级上学期期中数学试题

北京汇文中学教育集团2026—2027学年度第一学期 期中考试 初一年级 数学学科 本试卷共6页，共100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一．选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 某日北京的最低气温为，则的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 计划用元购买笔记本和签字笔，购买笔记本的金额与购买签字笔的金额 B. 时间一定，路程与速度 C. 《骆驼祥子》的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D. 圆柱的体积为时，圆柱的底面积与高 3. 一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. B. C. D. 4. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 6. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 7. 在数轴上，到原点距离小于的点对应的有理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 8. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 9. 定义运算：例如：，若，在数轴上的位置如图所示，且，则的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 完全相同的个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为，的大长方形，则图中阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若与是同类项，则______． 12. 若是关于x的方程的解，则a的值是_____． 13. 一个单项式满足下列三个条件：①系数为正；②含有两个字母；③次数是．请写出一个同时满足上述三个条件的单项式________． 14. 用四舍五入法对取近似数得________（精确到）． 15. 年国庆节，全国从月日到月日放假七天．某著名景点在月日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 日 日 日 日 日 日 日 人数变化（万人） 则这七天假期里，游客人数最多的是月________日，达到________万人． 16. 点在数轴的正半轴，，点到表示数的点的距离为，则点表示的数为________． 17. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为： 按此方式，将二进制(1101)2换算成十进制数的结果是_______________. 18. 将到这个整数分成组，分别记为、、，每组中恰有个数，每组中最大数与最小数之和记为这一组的特征数，这三组的特征数之和可能为________（写出一个即可），这三组的特征数之和的最大值为________． 三．解答题 19. 计算 （1） （2） （3） 20. 化简 （1） （2） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值；，其中． 23. 已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上标出，，相反数的位置； （2）若，，，求的值． （3）化简． 24. 本学期学校开展以“感悟泉城美”为主题的研学活动，组织200名学生参观趵突泉和千佛山，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下： 地点 学生票价 趵突泉 20元/人 千佛山 15元/人 （1）参观趵突泉和千佛山的学生各有多少人？ （2）若学生都去参观千佛山，则能节省票款多少元？ 25. 王伟在解方程时． （1）去括号时，等号右边括号里的没有变号，求得方程的解是． ①去括号后，王伟得到的错误方程为 （不用化简）； ②由此推断 ． （2）写出一个的值使原方程的解为正整数． 26. 如图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为，则“步骤”中的的值为 ，校验码的值为 ． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，求的值． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字中，左边被污染的数比右边被污染的数大，这两个数字从左到右分别是多少？ 27. 数轴上点表示的数是（为整数且），对点执行如下操作：先找到对应的点，再将这个点向原点方向平移一个单位长度，这样的一个操作叫完成一次近跳跃，到达原点后停止运动．点表示的数为，点表示的数为，，若线段上存在一点，使，则称是的“可及点”． （1）①，，点表示的数为，当_________时（把符合要求的所有选项填入空格中），点是线段的可及点． A． B． C． D． ②，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为 ． （2）①，经过五次近跳跃后的点是的可及点，，求的取值范围． ②若，为正偶数，存在满足：经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2026—2027学年度第一学期 期中考试 初一年级 数学学科 本试卷共6页，共100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一．选择题（本题共20分，每小题2分） 1. 某日北京的最低气温为，则的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 计划用元购买笔记本和签字笔，购买笔记本的金额与购买签字笔的金额 B. 时间一定，路程与速度 C. 《骆驼祥子》的总页数一定，已读的页数与未读的页数 D. 圆柱的体积为时，圆柱的底面积与高 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、购买笔记本的金额与购买签字笔的金额之和等于50，这两个量不成反比例关系； B、时间一定，则路程与速度的商为定值，成正比例关系，不成反比例； C、已读的页数与未读的页数之和等于定值，这两个量不成反比例关系； D、圆柱的体积为时，圆柱的底面积与高的乘积等于，这两个量成反比例关系． 3. 一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，即一个数用科学记数法表示为，则这个数是． 4. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及绝对值．观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论． 【详解】解：由数轴上点的位置，得， A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、∵，， ∴，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 5. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、如果，那么，此项错误； B、如果，那么，但与不一定相等，则与不一定相等，此项错误； C、如果，那么，此项正确； D、两边同时除以，当时无意义，此项错误． 6. 在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【答案】D 【解析】 【分析】比较出四种晶体熔点的大小即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴熔点最高的是固态酒精． 7. 在数轴上，到原点距离小于的点对应的有理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】D 【解析】 【详解】解：设该点对应的有理数为，由到原点距离小于得，即， 该范围内的有理数有无数个． 8. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里， 由题意得：． 故答案为：D． 9. 定义运算：例如：，若，在数轴上的位置如图所示，且，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再根据新运算的定义化简，代入计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 完全相同的个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为，的大长方形，则图中阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，右上角阴影长方形的两边长为和，左下角阴影长方形的两边长为和， 则图中阴影部分的周长是 ． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 若与是同类项，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴m-1=3，3n=9,， ∴m=4，n=3， ∴4+3=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程求解即可． 12. 若是关于x的方程的解，则a的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 13. 一个单项式满足下列三个条件：①系数为正；②含有两个字母；③次数是．请写出一个同时满足上述三个条件的单项式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：，系数是正数，含有字母a，b，次数为，满足全部条件． 14. 用四舍五入法对取近似数得________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】精确到即保留两位小数，需根据千分位数字按照四舍五入规则判断是否向百分位进位． 【详解】解：精确到即保留小数点后两位，需观察千分位数字， ∵的千分位数字为， ∴需向百分位进，百分位上的加后变为． ∴． 15. 年国庆节，全国从月日到月日放假七天．某著名景点在月日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 日 日 日 日 日 日 日 人数变化（万人） 则这七天假期里，游客人数最多的是月________日，达到________万人． 【答案】 ①. 2 ②. 6.1 【解析】 【分析】根据每日游客人数相对前一天的变化规则，依次计算假期七天的每日游客人数，比较数值大小确定人数最多的日期和对应人数． 【详解】解：已知9月30日游客人数为1.1万人， 10月1日游客人数为万人， 10月2日游客人数为万人， 10月3日游客人数为万人， 10月4日游客人数为万人， 10月5日游客人数为万人， 10月6日游客人数为万人， 10月7日游客人数为万人， 比较上述每日游客人数可得， ∴游客人数最多的是10月2日，达到6.1万人． 16. 点在数轴的正半轴，，点到表示数的点的距离为，则点表示的数为________． 【答案】 1或7 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和两点间的距离解题． 【详解】解：∵ ∴或， ∵点到表示数的点的距离为， 当时，点表示的数为或； 当时，点表示的数为或； 又∵点在数轴的正半轴， ∴点表示的数为或． 17. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为： 按此方式，将二进制(1101)2换算成十进制数的结果是_______________. 【答案】13 【解析】 【分析】首先理解二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则计算即可求解． 【详解】解：； 故答案为：13． 【点睛】考查了二进制位值原则，关键是掌握四则运算的顺序和计算法则，正确进行计算． 18. 将到这个整数分成组，分别记为、、，每组中恰有个数，每组中最大数与最小数之和记为这一组的特征数，这三组的特征数之和可能为________（写出一个即可），这三组的特征数之和的最大值为________． 【答案】 ①. 48（答案不唯一） ②. 57 【解析】 【分析】特征数之和为三组各自最小数与最大数的总和，求最大值时需平衡各组最大数的总和与最小数的总和，通过合理分组让两者的和达到最大． 【详解】解：将1到15按连续5个一组划分：，，， 此时三组特征数分别为，，，特征数之和为； 1是全局最小数，必然为某一组的最小数；15是全局最大数，必然为某一组的最大数， 要使这三组的特征数之和最大，需让三个最大数取最大的三个值13,14,15， 每个组需包含5个数，对于含最大数15的组，除15外还需4个数，为让剩余数的最小值尽可能大，将最小的4个数1,2,3,4放入该组，即该组为，此时该组的最小数，最大数； 剩余数为5到14，共10个数，需分为两组，每组5个；为让这两组的最大数尽可能大，取14和13作为两组的最大数； 对于含最大数14的组，除14外还需4个数，为让剩余数的最小值尽可能大，将剩余数中最小的4个数5,6,7,8放入该组，即该组为，此时该组的最小数，最大数； 剩余数为9到13，共5个数，组成第三组，该组的最小数，最大数； 所以特征数之和的最大值为． 三．解答题 19. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为1，即可得出结果； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1，即可得出结果． 【小问1详解】 解：去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得． 22. 先化简，再求值；，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项，最后将代入进行计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 23. 已知，，为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上标出，，相反数的位置； （2）若，，，求的值． （3）化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用相反数的定义得出相反数的位置； （2）根据，，，结合数轴上三个点的位置，得出的值，再代入代数式求解； （3）结合数轴上点的位置，判断，的符号，去绝对值后合并同类项化简即可． 【小问1详解】 图略 【小问2详解】 解：，，，，，， ，，， ． 【小问3详解】 解：，， ， ． 24. 本学期学校开展以“感悟泉城美”为主题的研学活动，组织200名学生参观趵突泉和千佛山，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下： 地点 学生票价 趵突泉 20元/人 千佛山 15元/人 （1）参观趵突泉和千佛山的学生各有多少人？ （2）若学生都去参观千佛山，则能节省票款多少元？ 【答案】（1）参观趵突泉和千佛山的学生各有120人和80人 （2）节省票款600元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，根据费用列出方程是关键； （1）设参观趵突泉的学生有x人，则参观千佛山的学生有人，根据总费用为3600元列出方程即可求解； （2）用总费用减去全部参观千佛山的费用，便是节省的费用． 【小问1详解】 解：设参观趵突泉的学生有x人，则参观千佛山的学生有人， 由题意得：， 解得：， （人）， 答：参观趵突泉和千佛山的学生各有120人和80人； 【小问2详解】 解：节省票款为：（元） 答：节省票款为600元． 25. 王伟在解方程时． （1）去括号时，等号右边括号里的没有变号，求得方程的解是． ①去括号后，王伟得到的错误方程为 （不用化简）； ②由此推断 ． （2）写出一个的值使原方程的解为正整数． 【答案】（1）①，② （2）的值可以是1（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）①去括号时，等号右边括号里的没有变号，据此解答即可； ②将代入错误方程求解即可； （2）先按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，再根据原方程的解为正整数确定一个的值即可． 【小问1详解】 解：①去括号后，王伟得到的错误方程为． ②∵错误方程的解是， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 要使原方程的解为正整数，则的值可以是1（因为此时，为正整数）． 26. 如图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和位校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为，则“步骤”中的的值为 ，校验码的值为 ． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，求的值． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字中，左边被污染的数比右边被污染的数大，这两个数字从左到右分别是多少？ 【答案】（1）55，5 （2）9 （3）4，0或9，5 【解析】 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出，，，，再根据为10的整数倍，即可求解； （3）根据校验码为8，并结合左边被污染的数比右边被污染的数大，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是7， ∴． 【小问3详解】 解：设左边的数为，则右边的数为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是6， ∴或， 当时，， 当 时，， ∴这两个数字从左到右分别是4，0或9，5． 27. 数轴上点表示的数是（为整数且），对点执行如下操作：先找到对应的点，再将这个点向原点方向平移一个单位长度，这样的一个操作叫完成一次近跳跃，到达原点后停止运动．点表示的数为，点表示的数为，，若线段上存在一点，使，则称是的“可及点”． （1）①，，点表示的数为，当_________时（把符合要求的所有选项填入空格中），点是线段的可及点． A． B． C． D． ②，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为 ． （2）①，经过五次近跳跃后的点是的可及点，，求的取值范围． ②若，为正偶数，存在满足：经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点，直接写出的最大值． 【答案】（1）①ABD，② （2）①，② 【解析】 【分析】（1）①根据可及点的定义逐项判断即可； ②根据近跳跃的定义求出经过次近跳跃后，所到达位置对应的数； （2）①，经过五次近跳跃后的点对应的数，再根据可及点的定义和求出的取值范围； ②找到经过正偶数次近跳跃后到达的点表示的数的变化规律，根据可及点的定义得到关于的不等式，解不等式求出的最大值． 【小问1详解】 ①解：设点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当时， 可得：， 解得：或， 其中在线段上， 是线段的可及点， 故A选项符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中和都在线段上， 是线段的可及点， 故B选项符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中和都不在线段上， 不是线段的可及点， 故C选项不符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中在线段上， 是线段的可及点， 故D选项符合题意； ②解：第一次近跳跃： ， ， 再向原点平移个单位长度，可得：； 第二次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； 第三次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； 第四次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； ，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为； 【小问2详解】 ①解：，经过四次近跳跃后的点是， 第五次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：， 经过五次近跳跃后的点是的可及点， 设线段上与表示的点的距离是的点表示的数是， 则有， 解得：，， 当表示的点在线段上时， 则，， ， ， ； 当表示的点在线段上时， 则，， ， ， ； 综上所述，的取值范围为； ②解：， ， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， ， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 直到跳到原点停止， 经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数最大是，最小是， 当经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数是时， ，， 线段一定包括或， 当经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数是时， ，， 线段一定包括或， 且， 经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点， ， ， 解得：； 的最大值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $