第十七章因式分解《易错点讲义》单元复习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解《易错点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 因式分解的概念 题型2 确定公因式 题型3 运用提公因式分解因式 题型4 运用公式法因式分解 题型5 运用提公因式法和公式法因式分解 题型6 利用因式分解进行数的简便计算 题型7 利用因式分解进行求值 题型8 利用因式分解判断数的整除 题型9 因式分解与三角形的综合应用 题型10 因式分解与图形面积 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一、因式分解的意义 1、把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形。 2、从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法。分解后的每一个因式仍为整式，且乘积与原多项式相等。 判断一个变形是否为因式分解，应同时检查：是否由多项式变为乘积；因式是否都是整式；乘开后是否等于原式。 3、多项式各项都含有的公共因式，叫作公因式。通常按以下方式确定可一次提尽的公因式：整数系数取最大公因数；字母取各项都含有的字母；相同字母的指数取各项中的最低指数。 首项为负时，可先提出负的公因式，使括号内首项为正。提出负号后，括号内每一项都改变符号。 公因式也可以是多项式。例如 若括号内互为相反数，可先统一形式： 【针对训练】 【典例精讲】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式． 逐一分析各选项是否符合因式分解的定义即可． 【规范解答】解：A． 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，故此选项错误； B． 为分式，非整式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C． 左边为多项式，右边分解为与的乘积，均为整式，符合因式分解定义，故此选项正确； D． 仍包含加法运算，未完全转化为积的形式，故此选项错误； 故选：C． 【变式训练1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【规范解答】解：A、是因式分解，符合题意； B、等式右边含分式，不是因式分解，不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； 故选A． 【变式训练2】分解因式： （1） ． （2） ． 【答案】 【思路点拨】提公因式法，确定公因式，对于底数互为相反数的幂，通过符号变形统一底数，即可解答． 【规范解答】解：（1）原式 故答案为：． （2）原式 故答案为：． 知识点二、平方差公式 把乘法的平方差公式反过来，得到 适用结构为两项、平方、相减。 不满足平方差结构，不能套用该公式。 【针对训练】 【典例精讲】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式； （2）先用完全平方公式，再利用平方差公式． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 知识点三、完全平方公式 具有这种结构的多项式叫作完全平方式。辨认时先确认两个平方项，再检查剩余一项是否为这两项底数乘积的两倍，最后按中间项符号选择和或差。 【针对训练】 【典例精讲】分解因式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【规范解答】解：； 故答案为：． 【变式训练】因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了因式分解的两种方法，即平方差公式和完全平方公式以及提取公因式法．熟练掌握平方差公式、完全平方公式和提取公因式法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可． （2）对于，先提取公因式，再看剩余部分是否还能继续分解，剩余部分符合完全平方公式的形式，这里，，从而即可因式分解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 典例精析 【题型1 因式分解的概念】 【例1】下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，则A选项不符合题意， B、，公因式未提尽，因式分解不彻底，则B选项不符合题意， C、符合因式分解的定义，则C选项符合题意， D、中等号右边不是积的形式，则D选项不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 【题型2 确定公因式】 【例2】多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握确定多项式各项的公因式，需找出系数部分的最大公约数和各字母的最低次幂是解题关键． 根据公因式的定义即可求解． 【详解】解： ， 多项式各项的公因式是． 故选：C． 【变式2-1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，以及多项式的定义，掌握公因式的定义是解题关键．根据多项式的定义和公因式为作答即可． 【详解】解：公因式为的多项式：， 故答案为：（答案不唯一） 【题型3 运用提公因式分解因式】 【例3】如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：；； 故甲、乙的结果都正确． 故选A． 【变式3-1】分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【题型4 运用公式法因式分解】 【例4】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式4-1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 【例5】请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 【例6】计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 【变式6-1】已知，那么的值为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021． 【答案】B 【分析】将进行因式分解为，因为左右两边相等，故可以求出x得值． 【详解】解： ∴ ∴x=2019 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键． 【题型7 利用因式分解进行求值】 【例7】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 【变式7-1】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 【例8】若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【答案】能被整除，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整除，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意设，代入代数式，即可得，即能被整除． 【详解】解：能被整除，理由为： 由题意设（k为正整数）， 则 ， ∴能被整除． 【变式8-1】对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 【例9】阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)的最大边的值为，，，或 (3) 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； （2）∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键． 【变式9-1】已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键． 先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【题型10 因式分解与图形面积】 【例10】阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握整体思想换元． （1）原式利用图形面积即可求解； （2）原式中整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）①原式中利用完全平方公式分解，令利用平方差公式分解，再将还原即可； ②原式添加辅助项利用完全平方公式分解，得，令利用平方差公式分解，再将还原即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式； ② ， 令， 原式 ， 再将还原， 得到：原式． 【变式10-1】如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、是因式分解，故选项符合题意； C、不是因式分解，故选项不符合题意； D、不是因式分解，故选项不符合题意； 故选：B． 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．将提取得，然后代入求值即可． 【详解】解：， 把，代入得： 原式． 故选：A． 4．小友在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案，因式分解的结果是，则□中的数字是（   ） A．6 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解以及平方差公式的知识点，掌握平方差公式最关键． 本题根据平方差公式，将因式分解的结果展开，得到与原式相对应的形式，进而确定“”中的数字，即可解决求多项式中被污染系数的问题． 【详解】解：∵， ∴， 即是． 故选：D． 5．图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 6．博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．动脑筋 B．爱动脑筋M C．W爱动脑筋 D．爱开动脑筋 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式，平方差公式将式子因式分解，再根据题中的密码编译可得到密码信息是：爱开动脑筋，从而得到答案． 【详解】解： ∵对应的密码是开，对应的密码是动，对应的密码是脑，对应的密码是筋，而3是常数，它对应的密码是爱， ∴合起来的密码信息可能是：爱开动脑筋， 故选：D． 7．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．已知，，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的因式分解．先将代数式进行因式分解，然后代入求解即可． 【详解】 ， 故答案为：． 9．若二次三项式可分解为，则m的值为 _____ ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 10．已知a、b、c为的三边长，且，其中c是中最短的边长，且c为整数，则___________． 【答案】3或4/4或3 【分析】此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键． 由得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∵c是中最短的边长， ∴． ∴ ∵c为整数， ∴整数c可取3或4． 故答案为：3或4． 11．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底； (2) 解：设 ，则    原式 ． 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）满足完全平方公式，因此还可以因式分解； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：该同学因式分解的结果不彻底； 原式 ， 故答案为：不彻底，； （2）略 12．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此判断即可． 【详解】解：A.，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B.是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C.右边含分式，不是因式分解，不符合题意； D.是因式分解，符合题意； 故选：D． 13．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，整式除法，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，再结合平方差公式进行变形，最后运算除法，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：C． 14．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 15．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 【详解】解：∵， 又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 16．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 17．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 18．若，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶4． 19．已知均为正整数，且满足：，则________． 【答案】2031 【分析】本题考查利用因式分解解方程，将方程通过因式分解转化为乘积形式，找到正整数解的可能组合，进而求解． 将原方程转为为，然后结合条件得出和为正整数，进而根据质数的因数只有1和它本身，得出和的值，只能分别为1和2027，分类讨论求出的值，求出． 【详解】解： 2027是质数，均为正整数， 即， 当时，，此时， 故， 当时，，此时， 故， 综上，． 故答案为：2031． 20．如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 21．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：，灵活运用是解题的关键． （1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 有， 故答案为：B； （2）①∵，即，而， ∴， 故答案为：4； ② ． 22．计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题关键．先将原式变形为，再提取公因式，由此即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 23．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 24．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（   ） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用,用提取公因式法和平方差公式因式分解，熟练掌握用提取公因式法和平方差公式因式分解是解题的关键．根据题中范例的提示，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解，得到，可得到六种密码排列，即可判断答案． 【详解】解：，且，， 各个因式的值是，，， 组成的密码应包含11，12，32， 组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211， 不能组成的密码为123011． 故选：D． 25．若，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知等式变形为，然后进行配方得，可求出的值，代入要求值的代数式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 26．已知，则的值为________________； 【答案】 【分析】根据因式分解将代数式化简，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入是解题的关键． 27．等腰的两边长为，，且则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，非负数性质，求得的值是解题的关键．根据完全平方公式因式分解，根据平方的非负性，求得的值，根据等腰的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长为、、， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 28．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】(1) (2) (3)①576②384 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积问题，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用2种方法表示出正方形的面积，即可得出结论； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）①设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解； ②设，则，由①得，进而求出的长，再根据正方形与正方形的面积之差为进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：①设正方形的边长为， 则 ②设，则：正方形的边长为， 由①知：， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解《易错点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 因式分解的概念 题型2 确定公因式 题型3 运用提公因式分解因式 题型4 运用公式法因式分解 题型5 运用提公因式法和公式法因式分解 题型6 利用因式分解进行数的简便计算 题型7 利用因式分解进行求值 题型8 利用因式分解判断数的整除 题型9 因式分解与三角形的综合应用 题型10 因式分解与图形面积 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一、因式分解的意义 1、把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形。 2、从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法。分解后的每一个因式仍为整式，且乘积与原多项式相等。 判断一个变形是否为因式分解，应同时检查：是否由多项式变为乘积；因式是否都是整式；乘开后是否等于原式。 3、多项式各项都含有的公共因式，叫作公因式。通常按以下方式确定可一次提尽的公因式：整数系数取最大公因数；字母取各项都含有的字母；相同字母的指数取各项中的最低指数。 首项为负时，可先提出负的公因式，使括号内首项为正。提出负号后，括号内每一项都改变符号。 公因式也可以是多项式。例如 若括号内互为相反数，可先统一形式： 【针对训练】 【典例精讲】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】分解因式： （1） ． （2） ． 知识点二、平方差公式 把乘法的平方差公式反过来，得到 适用结构为两项、平方、相减。 不满足平方差结构，不能套用该公式。 【针对训练】 【典例精讲】分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 知识点三、完全平方公式 具有这种结构的多项式叫作完全平方式。辨认时先确认两个平方项，再检查剩余一项是否为这两项底数乘积的两倍，最后按中间项符号选择和或差。 【针对训练】 【典例精讲】分解因式： ． 【变式训练】因式分解： (1) (2) 典例精析 【题型1 因式分解的概念】 【例1】下列各式中，自左向右变形属于正确的因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【题型2 确定公因式】 【例2】多项式各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【题型3 运用提公因式分解因式】 【例3】如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【变式3-1】分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4 运用公式法因式分解】 【例4】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式4-1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 运用提公因式法和公式法因式分解】 【例5】请完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【变式5-1】因式分解： ． 【题型6 利用因式分解进行数的简便计算】 【例6】计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】已知，那么的值为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021． 【题型7 利用因式分解进行求值】 【例7】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，则的值为 ． 【题型8 利用因式分解判断数的整除】 【例8】若是一个正整数，且除以3余2．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 【变式8-1】对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【题型9 因式分解与三角形的综合应用】 【例9】阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【变式9-1】已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是 ． 【题型10 因式分解与图形面积】 【例10】阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是__________； (2)计算：；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①； ②． 【变式10-1】如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．小友在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案，因式分解的结果是，则□中的数字是（   ） A．6 B． C．36 D． 5．图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．博士最近有一个新爱好——密码编译，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，和常数分别对应下列字母或汉字：脑、动、W、M、开、筋、O、爱，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．动脑筋 B．爱动脑筋M C．W爱动脑筋 D．爱开动脑筋 7．在实数范围内分解因式：________． 8．已知，，则代数式的值是____． 9．若二次三项式可分解为，则m的值为 _____ ． 10．已知a、b、c为的三边长，且，其中c是中最短的边长，且c为整数，则___________． 11．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．   解：设 ，则 原式 ， ， ， (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 12．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 13．若，则（   ） A． B． C． D． 14．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 15．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 16．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 17．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 18．若，则的值为___________． 19．已知均为正整数，且满足：，则________． 20．如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 21．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的公式是（请选择正确的一个）． A．    B．    C． (2)请应用上面的公式完成下列各题： ①若，，求的值． ②计算：． 22．计算：，结果正确的是（    ）． A． B．2 C． D． 23．将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 24．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（   ） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 25．若，则=_____． 26．已知，则的值为________________； 27．等腰的两边长为，，且则的周长为________． 28．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，则 ①图中阴影部分正方形的面积=______（结果填具体数值） ②若长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $