第10讲 因式分解全方法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第10讲 因式分解全方法 讲义 【知识点01】因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。例如 x²-4=(x+2)(x-2)，左边是多项式，右边是两个整式的积。 判断一个变形是不是因式分解，看三条： （1）结果是“积”的形式，不能是和或差； （2）右边的每个因式都必须是整式； （3）必须分解到每个因式都不能再分为止，本章讨论的范围是有理数范围。 因式分解与整式乘法互为逆运算：把积展开成和差，是整式乘法；把和差收成积，是因式分解。因此判断时只看最后一步——最后一步做的是乘法展开，就是整式乘法；最后一步写成几个因式相乘，才是因式分解。 【知识点02】提公因式法 公因式的确定概括为“三定”：定系数、定字母、定指数。 （1）定系数：取各项系数的最大公约数； （2）定字母：取各项都含有的字母，相同的多项式整体也可以作为公因式； （3）定指数：相同字母取次数最低的。 例如 12a²b-18ab²+6ab 中，系数 12、18、6 的最大公约数是 6，字母 a、b 在各项中都出现且次数最低都是 1，所以公因式是 6ab。 操作按四步走：找公因式 → 用原式各项分别除以公因式 → 写成“公因式×(各项的商)” → 核对括号内项数与原式项数是否相同。 三个细节必须守住：① 某项被完全提出时，括号内要保留 1，不能空着；② 首项系数为负时，通常把“-”一并提出，括号内每一项都要变号；③ 提完公因式后，如果括号内还能分解，必须继续分解。 【知识点03】公式法 1. 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。 结构特征是两项、两项都能写成平方、符号相反。用之前先把系数化成平方形式，例如 25x²-16y² 先写成 (5x)²-(4y)²，再得 (5x+4y)(5x-4y)。 注意 a²+b² 这种两项同号相加的式子，在有理数范围内不能分解，不要硬套公式。 2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。 结构特征是三项；首末两项都是平方且同为正；中间项是首末两项底数乘积的 2 倍，符号可正可负。核对办法：看中间项的绝对值是否等于 2×√首项底数×√末项底数。例如 9a²-12ab+4b² 中，2×3a×2b=12ab，与中间项吻合，故原式=(3a-2b)²。 首项为负时先提负号：-x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²。遇到相同的整体（如 x+y），把它看成一个字母，(x+y)²-6(x+y)+9=(x+y-3)²。 【知识点04】十字相乘法 基本型：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。做法是把常数项拆成两个数的积，同时这两个数的和等于一次项系数。 一般型：ax²+bx+c（a≠0）。把二次项系数拆成两个数的积、常数项拆成两个数的积，交叉相乘后相加，结果等于一次项系数。写成因式时横着抄，两个 x 项系数分别与两个常数配对。 符号规律：常数项为正，两数同号（一次项系数为正取同为“+”，为负取同为“-”）；常数项为负，两数异号，绝对值较大的那个数与一次项系数同号。 口诀：拆两头、凑中间、交叉验、横着写。以 2x²+7x+3 为例，二次项拆成 2x 与 x，常数项拆成 3 与 1，交叉相乘 2x×3+x×1=7x，故 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。 【知识点05】分组分解法 适用情形：四项及以上，且整体没有公因式，也套不上平方差或完全平方。 思路一，分组提公因式：把各项分成两组，组内先分解，两组之间再提出共同的因式。例如 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)。 思路二，分组用公式：让其中一组构成完全平方或平方差，再与剩下的项合起来用平方差。例如 a²-2ab+b²-c²=(a-b)²-c²=(a-b+c)(a-b-c)。 分组的原则是“预见到能继续走”：分组后组内要能分解，组间要能提出公因式或用上公式；一种分法走不通就换一种，可按系数分、按字母分、按次数分。 拆项添项是分组思想的延伸：为了凑成公式，把某一项拆开，或配上一对“+”“-”相等的项。例如 x²+6x+5=x²+6x+9-4=(x+3)²-2²=(x+5)(x+1)。 【知识点06】方法选择与分解顺序 拿到题目先看结构，再定方法：各项有公因式，先提公因式；两项，想平方差；三项，先查完全平方，再试十字相乘；四项及以上，考虑分组。 顺序上遵循“一提二套三十字，四分组，五检到底”：先提公因式，再套公式，其次十字相乘，然后分组分解，最后检查每个因式是否还能再分。把“还能再分吗”作为每一步的收尾动作，是避免分解不彻底最有效的习惯。 序号 易错点 典型错解 正确做法与纠错要点 1 把整式乘法当成因式分解 (a+b)(a-b)=a²-b²，说成“分解因式” 看最后一步：得到和差式是乘法展开；因式分解的结果必须是积 2 结果没有化成积 a²-2ab+b²-1=(a-b)²-1，认为已分解完 (a-b)²-1 仍是差的形式，继续用平方差：(a-b+1)(a-b-1) 3 公因式取不彻底 8a³b²-12a²b³=2a²b²(4a-6b) 系数取最大公约数、相同字母取最低次幂：4a²b²(2a-3b) 4 某项被提尽后漏写 1 a²b+ab=ab(a) 括号内项数必须与原式项数相同：ab(a+1) 5 提出负号后符号未全变 -3x²+6x-3=-3(x²+2x-1) 提“-”后括号内每一项都变号：-3(x²-2x+1)=-3(x-1)² 6 平方差公式误用于平方和 x²+4=(x+2)(x-2) 平方差要求两项符号相反；x²+4 在有理数范围内不能分解 7 系数没有先化成平方形式 4x²-9=(4x+3)(4x-3) 先写 (2x)²-3²，再得 (2x+3)(2x-3) 8 完全平方的中间项对不上 x²+4x+16=(x+4)² 中间项应为 2×x×4=8x；中间项不是 ±2ab 时不能用完全平方 9 分解不彻底 x⁴-1=(x²+1)(x²-1) x²-1 还能分解：(x²+1)(x+1)(x-1) 10 十字相乘两数符号取错 x²-x-12=(x-3)(x-4) 积为 -12 应异号、和为 -1，取 -4 与 3：(x-4)(x+3) 11 整体公因式的符号没处理 3m(b-c)-2n(c-b)=(b-c)(3m-2n) 由 c-b=-(b-c)，原式=3m(b-c)+2n(b-c)=(b-c)(3m+2n) 【题型一】概念辨析与结果判断 【例1】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】先根据右边是否为整式乘积形式排除部分选项，再验证剩余选项的变形是否正确． 【详解】解：A．左边为整式乘积，右边为多项式，属于整式乘法，不符合题意； B．右边为和的形式，不是整式乘积，不符合题意； C．左边为多项式，右边为整式乘积形式，且等式成立，符合题意； D．右边展开为，与左边不相等，变形错误，不符合题意． 【例2】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）如果因式分解得，则__________． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】将因式分解结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：将展开，得： ， ∵， ∴对比对应项系数可得． 【例3】．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【答案】 ①，从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； ②是因式分解． 检验： 即从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； ③从左到右的变形不是化成整式的乘积的形式，不是因式分解； 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】①略 ②略 ③略 【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 【题型二】公因式与提公因式法 【例4】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母与，的最低次数为1，的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 【例5】．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 【变式1】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 【答案】 【知识点】公因式、提公因式法分解因式 【分析】分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数为， 公因式为 【变式2】．（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）直接提公因式即可分解； （2）先将原式变形为，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】公因式、提公因式法分解因式 【分析】（1）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （2）找出多项式各项公因式，提取公因式完成因式分解； （3）先利用统一底数，再提取公因式分解因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式， ． 【题型三】平方差公式的应用 【例6】．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 【变式1】．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 【变式2】．（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）分解因式：______________ 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解：． 【变式3】．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则___________． 【答案】72 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解． 【详解】解：∵， ∴ = ． 【题型四】完全平方公式的应用 【例7】．（26-27八年级上·湖南永州·期中）阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想因式分解：__________________． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】观察到两个因式中存在公共多项式，将其设为整体变量，展开化简后借助完全平方公式逐步分解，回代整体后即可得到最终结果． 【详解】解：令，则原式， ， ， ， 将代入得． 【变式1】．（2026·浙江丽水·二模）多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】运用完全平方公式对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵完全平方公式为， ∴． 【变式2】．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是______． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 【变式3】．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ）； A．提取公因式   B．平方差公式   C．完全平方公式 (2)在第四步中，该同学将用含的代数式代换，这个结果是否分解到了最后？请说明理由： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)没有分解到最后．理由：因式分解需分解到每个多项式因式都不能再分解为止，可继续分解为，原式最终分解结果为． (3) 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】（1）对比第二步到第三步的变形形式，匹配对应因式分解方法． （2）根据因式分解的最终要求，判断各因式是否可继续分解． （3）采用换元法简化多项式，代回原变量后分解至最简． 【详解】（1）解：∵第二步到第三步是将变形为， ∴运用了完全平方公式． （2）略． （3）解：设． 原式 将代回，得 原式 ． 【题型五】十字相乘法 【例8】．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】十字相乘法 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】明确该二次三项式符合十字相乘法分解因式的适用形式，确定使用十字相乘法解题．因为二次项系数为1，所以需要找到两个整数，满足乘积等于常数项，且和等于一次项系数1。将找到的两个整数分别代入两个一次因式的常数项，写出分解后的因式形式，对应选项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 【变式2】．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）分解因式：________． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】．（26-27八年级上·山西临汾·期中）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】十字相乘法 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可； ②令，然后利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①把“”看成一个整体，令 ∴ ； ②把看成一个整体，令 ∴ ． 【题型六】分组分解法 【例9】．（24-25八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 【例10】．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】对多项式分组后，先提每组的公因式，再提取整体公因式完成分解． 【详解】解： ． 【变式1】．（25-26八年级·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26八年级·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【知识点】分组分解法 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 【变式3】．（25-26八年级上·山西大同·期末）小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下： 这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)分解因式分组分解法体现的数学思想有（     ） A．方程思想     B．数形结合思想     C．分类讨论思想     D．整体思想 (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)D (2) (3)解：这个三角形是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 【知识点】分组分解法 【分析】（1）因式分解中把相同的公因式看成整体，再运用提公因式法进行分解，因此体现了整体思想； （2）运用材料的分组分解法求解即可； （3）运用分组分解法将化为，根据平方的非负性求得，即可判断的形状． 【详解】（1）解：分组分解法体现的数学思想有整体思想． （2）解： ． （3）略 【题型七】因式分解在求值与计算中的应用 【例11】．（26-27八年级上·云南昆明·期中）如图，边长为，的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（     ） A．70 B．120 C．35 D．24 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】根据长方形周长和面积公式得出和的值，利用提公因式法分解因式，代入求值即可. 【详解】解：∵长方形的周长为，面积为 则， ∴ ∴ 【例12】．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，是实数． ①若，，则的值为________； ②若且，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】①通过等式左右分别相加可直接求出的值；②利用完全平方公式对已知等式进行恒等变形，结合的条件建立关于的方程求解． 【详解】解：①∵，， ∴将两式左右两边分别相加，得， 化简得； ②∵， ∴将其代入已知等式， 得， 展开完全平方得， 合并同类项得， 由完全平方公式，上式可化为， 化简括号内的式子得， ∵， ∴将代入上式，得，即， ∴，解得． 【例13】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 解：原式 ； ②求的最小值． 解：原式 ； ∵， ∴， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解； (2)当x为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值为． 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）按照例题方法，先配方，再按照平方差公式进行因式分解即可； （2）按照例题方法，先配方，再根据平方式的非负性，求最小值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 【变式1】．（25-26八年级·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】（1）根据题中所给方法进行因式分解即可； （2）根据题中所给方法求解最大值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∴当时，的最大值为． 【变式2】．（26-27八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：若，求，的值. 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，求的值． (2)当，为何值时，有最小值，最小值为多少？ (3)求代数式的最小值是多少？并求出此时，满足的数量关系． 【答案】(1) (2)当，时，代数式有最小值，最小值为 (3)代数式的最小值是，此时，满足的数量关系为 【知识点】因式分解的应用、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）把配方，根据非负性的性质，求代数式的值，解答即可． （2）把配方，根据非负性的性质，解答即可． （3）把配方，仿照（2）的思路，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∴． （2）解：根据题意，得 ， ， ∵，， ∴， 故当，时，式子取得最小值， 此时，， 故当，时，代数式有最小值，最小值为． （3）解：根据题意，得 ， ， ∵， ∴， 故当时，式子取得最小值， 此时，， 故当时，代数式有最小值，最小值为． 【变式3】．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1) (2)多项式的最大值为 (3) 【知识点】因式分解的应用、确定第三边的取值范围、通过对完全平方公式变形求值、综合运用公式法分解因式 【分析】（1）先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值； （3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 【变式4】．（25-26八年级·山西运城·期末）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式分解因式 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． （一）四种方法对比 方法 结构特征 关键步骤 最容易错的地方 提公因式法 各项含有公共因式（系数、字母或多项式整体） 三定公因式；括号内项数与原式一致；提出负号后全变号 漏写 1、符号错、公因式取不彻底 平方差公式 两项；都能写成平方；符号相反 先化成 (　)²-(　)²，再写成 (a+b)(a-b) 平方和误用、系数未开方、分解不彻底 完全平方公式 三项；首末是平方且同为正；中间项为 ±2ab 先定 a、b，再核对中间项 中间项系数对不上、首项为负未先提负号 十字相乘法 二次三项式 x²+px+q 或 ax²+bx+c 拆两头、凑中间、交叉验、横着写 两数符号取错、因式组合试不全 分组分解法 四项及以上；整体无公因式、套不上公式 组内先分解，组间提公因或用公式 分完走不下去不换法、组间公因式没提出 （二）口诀与检查清单 口诀：一提二套三十字，四分组，五检到底。 四条检查：① 结果是不是积的形式；② 每个因式是否都分解到不能再分；③ 括号内项数与原式项数是否一致，被提尽的项有没有补 1；④ 首项符号与括号内各项符号是否配套。 一、单选题 1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用平方差公式进行因式分解．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，检查各选项是否可表示为两个平方的差． 【详解】解：平方差公式为． 选项A、，为两数平方和，无法用平方差公式分解； 选项B、，为两数平方差，可以用平方差公式分解因式； 选项C、，为平方和的相反数，无法用平方差公式分解； 选项D、，不是两数平方差，无法用平方差公式分解． 故选：B． 2．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，然后用公式法求解． 【详解】解：． 故选：C． 3．利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，通过提取公因式进行因式分解，然后利用乘法分配律简化计算即可 【详解】解：， 又， 故选：A 4．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ , 故选：． 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这两个数（或式）的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，，不符合完全平方公式，故此选项错误； B，，不符合完全平方公式，故此选项错误； C，，符合完全平方公式，故此选项正确； D，，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选：C． 6．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 7．将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，先通过平分差公式将因式分解后的结果进行变形，再根据等式的性质即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵将因式分解后得， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 9．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 10．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题 11．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．分解因式：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 【答案】 【分析】仿照例题，先将前三项分组分解得到完全平方式，再提取中间两项的公因式，最后把看作整体，用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 把看作整体，根据完全平方公式，可得原式． 14．已知关于的多项式的值与无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】将多项式部分中的提取出，即可求解． 【详解】解： 关于的多项式的值与无关， 则 解得． 15．若，，则=___________． 【答案】 【分析】首先进行因式分解，再把已知式子的值代入计算，即可求得其结果． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解及代数式求值问题，利用因式分解法求代数式的值是解决本题的关键． 16．一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0.当时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，的值为__________；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为__________． 【答案】 18 8906 【分析】先根据新定义计算第一个空，再用数位表示法化简和，结合完全平方数的性质和整除条件，找出所有符合条件的“吉祥数”，再计算求和． 【详解】解：1. 计算： 已知 ，按规则调换数位得， ； 2.化简和： 对于吉祥数，由定义得 ， 即，，其中，且四个数字互不相等，，， ， 因此； 按规则得，， ， 因此； 3. 根据条件筛选符合要求的： ，由题意是完全平方数， 因为，且各数位互不相等， 所以， 所以或； 条件为整数： 当，即时，原式 ， ∵为整数，则整除，且能被4整除， 若整除，符合的因数为5，13； 当时，，，，，数字互不相等且不为，且满足为整数，符合条件，得； 当时，，，，，数字互不相等且不为，且满足为整数，符合条件，得； 当，即时，原式， 对逐一验证，均不满足原式为整数，无符合条件的； 4. 计算符合条件的的和：． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解：原式＝ ； （2）解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先提取公因式3n，再根据完全平方公式分解因式； （2）先提取公因式（a-b），再利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： = =； （2） = = =． 【点睛】此题考查了多项式的分解因式，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法是解题的关键． 19．探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现：分解因式：__________；__________；__________； (2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数，之间有何数量关系？说明理由； (3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式． 【答案】(1)，， (2)，理由： ∵ 可以分解成完全平方式， ∴ 设． ∴ ． ∴ ． 由，得． 把代入 ∴ ． (3) 【分析】（1）直接利用完全平方公式，把、、分别因式分解． （2）设，展开后对比系数得到、，消去推导出和的关系式． （3）分两种情况讨论，与作为平方项时添加，作为中间项时添加，写出全部符合要求的单项式． 【详解】（1）解： （2）略． （3）解：① 当和是平方项时： 可添加单项式或． ② 当是中间项时： 可添加单项式． ∴ 满足条件的单项式是． 20．把下列各式因式分解： (1) (2) (3)如果，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先观察多项式各项的公因式，提取公因式后完成因式分解； （2）先提取各项的公因式，再观察剩余多项式的形式，判断是否符合平方差公式的结构，利用平方差公式继续分解； （3）先对所求多项式提取公因式，再观察剩余部分是否符合完全平方公式的结构，将其变形为含和的形式，最后代入已知条件计算． 【详解】（1）解： （2） （3）． 21．例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子因式分解即可； （2）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． （3）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能大于． 证明： ∵是的三边长 ∴， ∴， ∴ 即原式的值不能大于． (3) 是等边三角形. 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 【分析】把多项式恰当分组，凑出完全平方式，再用平方差公式或者利用平方的非负性解题； 小问结合三角形三边关系、平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）略 （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 因式分解全方法 讲义 【知识点01】因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。例如 x²-4=(x+2)(x-2)，左边是多项式，右边是两个整式的积。 判断一个变形是不是因式分解，看三条： （1）结果是“积”的形式，不能是和或差； （2）右边的每个因式都必须是整式； （3）必须分解到每个因式都不能再分为止，本章讨论的范围是有理数范围。 因式分解与整式乘法互为逆运算：把积展开成和差，是整式乘法；把和差收成积，是因式分解。因此判断时只看最后一步——最后一步做的是乘法展开，就是整式乘法；最后一步写成几个因式相乘，才是因式分解。 【知识点02】提公因式法 公因式的确定概括为“三定”：定系数、定字母、定指数。 （1）定系数：取各项系数的最大公约数； （2）定字母：取各项都含有的字母，相同的多项式整体也可以作为公因式； （3）定指数：相同字母取次数最低的。 例如 12a²b-18ab²+6ab 中，系数 12、18、6 的最大公约数是 6，字母 a、b 在各项中都出现且次数最低都是 1，所以公因式是 6ab。 操作按四步走：找公因式 → 用原式各项分别除以公因式 → 写成“公因式×(各项的商)” → 核对括号内项数与原式项数是否相同。 三个细节必须守住：① 某项被完全提出时，括号内要保留 1，不能空着；② 首项系数为负时，通常把“-”一并提出，括号内每一项都要变号；③ 提完公因式后，如果括号内还能分解，必须继续分解。 【知识点03】公式法 1. 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。 结构特征是两项、两项都能写成平方、符号相反。用之前先把系数化成平方形式，例如 25x²-16y² 先写成 (5x)²-(4y)²，再得 (5x+4y)(5x-4y)。 注意 a²+b² 这种两项同号相加的式子，在有理数范围内不能分解，不要硬套公式。 2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。 结构特征是三项；首末两项都是平方且同为正；中间项是首末两项底数乘积的 2 倍，符号可正可负。核对办法：看中间项的绝对值是否等于 2×√首项底数×√末项底数。例如 9a²-12ab+4b² 中，2×3a×2b=12ab，与中间项吻合，故原式=(3a-2b)²。 首项为负时先提负号：-x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²。遇到相同的整体（如 x+y），把它看成一个字母，(x+y)²-6(x+y)+9=(x+y-3)²。 【知识点04】十字相乘法 基本型：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。做法是把常数项拆成两个数的积，同时这两个数的和等于一次项系数。 一般型：ax²+bx+c（a≠0）。把二次项系数拆成两个数的积、常数项拆成两个数的积，交叉相乘后相加，结果等于一次项系数。写成因式时横着抄，两个 x 项系数分别与两个常数配对。 符号规律：常数项为正，两数同号（一次项系数为正取同为“+”，为负取同为“-”）；常数项为负，两数异号，绝对值较大的那个数与一次项系数同号。 口诀：拆两头、凑中间、交叉验、横着写。以 2x²+7x+3 为例，二次项拆成 2x 与 x，常数项拆成 3 与 1，交叉相乘 2x×3+x×1=7x，故 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。 【知识点05】分组分解法 适用情形：四项及以上，且整体没有公因式，也套不上平方差或完全平方。 思路一，分组提公因式：把各项分成两组，组内先分解，两组之间再提出共同的因式。例如 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)。 思路二，分组用公式：让其中一组构成完全平方或平方差，再与剩下的项合起来用平方差。例如 a²-2ab+b²-c²=(a-b)²-c²=(a-b+c)(a-b-c)。 分组的原则是“预见到能继续走”：分组后组内要能分解，组间要能提出公因式或用上公式；一种分法走不通就换一种，可按系数分、按字母分、按次数分。 拆项添项是分组思想的延伸：为了凑成公式，把某一项拆开，或配上一对“+”“-”相等的项。例如 x²+6x+5=x²+6x+9-4=(x+3)²-2²=(x+5)(x+1)。 【知识点06】方法选择与分解顺序 拿到题目先看结构，再定方法：各项有公因式，先提公因式；两项，想平方差；三项，先查完全平方，再试十字相乘；四项及以上，考虑分组。 顺序上遵循“一提二套三十字，四分组，五检到底”：先提公因式，再套公式，其次十字相乘，然后分组分解，最后检查每个因式是否还能再分。把“还能再分吗”作为每一步的收尾动作，是避免分解不彻底最有效的习惯。 序号 易错点 典型错解 正确做法与纠错要点 1 把整式乘法当成因式分解 (a+b)(a-b)=a²-b²，说成“分解因式” 看最后一步：得到和差式是乘法展开；因式分解的结果必须是积 2 结果没有化成积 a²-2ab+b²-1=(a-b)²-1，认为已分解完 (a-b)²-1 仍是差的形式，继续用平方差：(a-b+1)(a-b-1) 3 公因式取不彻底 8a³b²-12a²b³=2a²b²(4a-6b) 系数取最大公约数、相同字母取最低次幂：4a²b²(2a-3b) 4 某项被提尽后漏写 1 a²b+ab=ab(a) 括号内项数必须与原式项数相同：ab(a+1) 5 提出负号后符号未全变 -3x²+6x-3=-3(x²+2x-1) 提“-”后括号内每一项都变号：-3(x²-2x+1)=-3(x-1)² 6 平方差公式误用于平方和 x²+4=(x+2)(x-2) 平方差要求两项符号相反；x²+4 在有理数范围内不能分解 7 系数没有先化成平方形式 4x²-9=(4x+3)(4x-3) 先写 (2x)²-3²，再得 (2x+3)(2x-3) 8 完全平方的中间项对不上 x²+4x+16=(x+4)² 中间项应为 2×x×4=8x；中间项不是 ±2ab 时不能用完全平方 9 分解不彻底 x⁴-1=(x²+1)(x²-1) x²-1 还能分解：(x²+1)(x+1)(x-1) 10 十字相乘两数符号取错 x²-x-12=(x-3)(x-4) 积为 -12 应异号、和为 -1，取 -4 与 3：(x-4)(x+3) 11 整体公因式的符号没处理 3m(b-c)-2n(c-b)=(b-c)(3m-2n) 由 c-b=-(b-c)，原式=3m(b-c)+2n(b-c)=(b-c)(3m+2n) 【题型一】概念辨析与结果判断 【例1】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【例2】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）如果因式分解得，则__________． 【例3】．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？若是，请检验其是否正确． ①； ②； ③． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【题型二】公因式与提公因式法 【例4】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【例5】．（26-27八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【变式1】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 【变式2】．（26-27八年级上·山东威海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型三】平方差公式的应用 【例6】．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【变式2】．（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）分解因式：______________ 【变式3】．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则___________． 【题型四】完全平方公式的应用 【例7】．（26-27八年级上·湖南永州·期中）阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想因式分解：__________________． 【变式1】．（2026·浙江丽水·二模）多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是______． 【变式3】．（26-27八年级上·山东淄博·期中）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（    ）； A．提取公因式   B．平方差公式   C．完全平方公式 (2)在第四步中，该同学将用含的代数式代换，这个结果是否分解到了最后？请说明理由： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【题型五】十字相乘法 【例8】．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·天津和平·阶段检测）分解因式：________． 【变式3】．（26-27八年级上·山西临汾·期中）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【题型六】分组分解法 【例9】．（24-25八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【例10】．（26-27八年级上·湖南永州·阶段检测）分解因式：______． 【变式1】．（25-26八年级·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【变式2】．（25-26八年级·贵州毕节·期末）【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式3】．（25-26八年级上·山西大同·期末）小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下： 这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)分解因式分组分解法体现的数学思想有（     ） A．方程思想     B．数形结合思想     C．分类讨论思想     D．整体思想 (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【题型七】因式分解在求值与计算中的应用 【例11】．（26-27八年级上·云南昆明·期中）如图，边长为，的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（     ） A．70 B．120 C．35 D．24 【例12】．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，是实数． ①若，，则的值为________； ②若且，则的值为________． 【例13】．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 解：原式 ； ②求的最小值． 解：原式 ； ∵， ∴， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解； (2)当x为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值． 【变式1】．（25-26八年级·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】阅读材料：形如的式子称为完全平方式．当多项式不是完全平方式时，我们常通过“加项再减项”的方法构造完全平方式，这种方法不仅可以分解因式，还能解决与非负数相关的最值问题． 例1：分解因式： 例2：求最值：， ，，∴当时，的最小值为－1． 【类比探究】请用上述方法解决问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最大值． 【变式2】．（26-27八年级上·四川眉山·期中）阅读材料：若，求，的值. 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，求的值． (2)当，为何值时，有最小值，最小值为多少？ (3)求代数式的最小值是多少？并求出此时，满足的数量关系． 【变式3】．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【变式4】．（25-26八年级·山西运城·期末）配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． （一）四种方法对比 方法 结构特征 关键步骤 最容易错的地方 提公因式法 各项含有公共因式（系数、字母或多项式整体） 三定公因式；括号内项数与原式一致；提出负号后全变号 漏写 1、符号错、公因式取不彻底 平方差公式 两项；都能写成平方；符号相反 先化成 (　)²-(　)²，再写成 (a+b)(a-b) 平方和误用、系数未开方、分解不彻底 完全平方公式 三项；首末是平方且同为正；中间项为 ±2ab 先定 a、b，再核对中间项 中间项系数对不上、首项为负未先提负号 十字相乘法 二次三项式 x²+px+q 或 ax²+bx+c 拆两头、凑中间、交叉验、横着写 两数符号取错、因式组合试不全 分组分解法 四项及以上；整体无公因式、套不上公式 组内先分解，组间提公因或用公式 分完走不下去不换法、组间公因式没提出 （二）口诀与检查清单 口诀：一提二套三十字，四分组，五检到底。 四条检查：① 结果是不是积的形式；② 每个因式是否都分解到不能再分；③ 括号内项数与原式项数是否一致，被提尽的项有没有补 1；④ 首项符号与括号内各项符号是否配套。 一、单选题 1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 2．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．利用因式分解计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 6．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 7．将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 9．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 10．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 11．因式分解：_____． 12．分解因式：________． 13．阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 14．已知关于的多项式的值与无关，则的值为_____． 15．若，，则=___________． 16．一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0.当时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，的值为__________；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为__________． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．分解因式： (1)； (2) 19．探究不同情境，回答下面问题： (1)观察与发现：分解因式：__________；__________；__________； (2)归纳与猜想：若也可以分解成完全平方的形式，那么系数，之间有何数量关系？说明理由； (3)拓展与应用：若多项式加上一个含字母的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式． 20．把下列各式因式分解： (1) (2) (3)如果，，求的值. 21．例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $