16.3.2 完全平方公式（第1课时 完全平方公式）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

【新教材】人教版·八年级上册 第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 1 2 3 能结合多项式乘法运算和几何图形面积，准确说出完全平方公式，分清两个公式的结构特征； 掌握完全平方公式，能正确运用公式进行整式计算、简便运算； 经历探究完全平方公式的推导过程，体会数形结合思想，提升符号意识与逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就在多项式乘法的基础上，继续探究、掌握一组新的乘法公式 ——完全平方公式. 同学们，上节课我们学习了平方差公式，知道特殊形式的多项式相乘可以直接套用公式快速计算. 那大家想一想，如果是两个相同二项式相乘，也就是(a+b)(a+b)、(a-b)(a-b)，又会得到怎样的结果呢？ 导入新课 3 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）； （2）； （3）； （4）． 上面的几个运算都是形如的多项式相乘 新知探究 = =， = =． 对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 ， ． 新知探究 ， ． (乘法的)完全平方公式 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 完全平方公式是多项式乘法中的特殊情形． 新知探究 思考：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？ 新知探究 图形演示： 新知探究 图形演示： 新知探究 解：（1） = = （2） = = ( 𝒂 + 𝒃 ) 𝟐=𝒂𝟐+𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐 例1：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． ( 𝒂 𝒃 ) 𝟐=𝒂𝟐-𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐 典例分析 1．计算：（    ） A． B． C． D． A 【解析】根据完全平方公式展开即可． 解：原式=, 故选：A． 基础训练 2．已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________． 或 【解析】直接利用完全平方公式求解． 解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或，故答案为：或 基础训练 例2：运用完全平方公式计算． （1）； （2）． 解：（1） = = = （2） = = = 运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 典例分析 1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【解析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可；（2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 解：（1） ； （2） ． 基础训练 2．利用完全平方公式计算：_____． 【解析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 1 基础训练 思考：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？ (1)(－a－b)2＝[－(a＋b)] 2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2； (2)(a－b)2＝(b－a)2； (3)(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab． 若两式相等，则有2b2－2ab＝0，b2＝ab． 因此，只有在a＝b或b＝0的情况下，两式才相等． 新知探究 完全平方公式 ①（乘法的）完全平方公式 左边:是两个数的和或差的平方，括号里是两项，整体平方; 右边:是三项式，首、末两项是两个数的平方，符号恒为正;中间一项是这两个数乘积的 2 倍，符号和左边括号内的符号一致. 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 字母公式：(𝒂+𝒃) 𝟐=𝒂𝟐+𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐，(𝒂𝒃) 𝟐=𝒂𝟐-𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐． ③公式的应用与拓展 直接计算整式平方； 凑整法进行数的简便运算; (-a-b)2＝(a＋b)2 ， (a-b)2＝(b-a)2 ，注意 ②公式结构特征 新知总结 17 1．下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． D 【解析】根据完全平方公式为，平方差公式为，逐一判断选项即可． 解： 选项A：，可用平方差公式计算，不能用完全平方公式，故 A不符合题意； 选项B：，可用平方差公式计算，不能用完全平方公式， B不符合题意；选项C：，可用平方差公式计算，不能用完全平方公式， C不符合题意； 选项D：，符合完全平方公式的计算形式，D符合题意． 巩固练习 2．利用完全平方公式计算： (1)___________； （2）________； (3)__________________． 【解析】本题考查了多项式的乘法-完全平方公式，用完全平方公式式求解即可，熟记乘法公式是解本题的关键． 解:(1)； （2）； （3） ． 巩固练习 3．运用完全平方公式计算： (1); (2); (3); (4)． 【解析】本题考查了完全平方公式,掌握完全平方公式是解题的关键. （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 巩固练习 4．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【解析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则.（1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可;（2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可. 解：（1） ； （2） ． 巩固练习 5．小吴同学在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为40，则阴影部分的面积是（  ） A．24 B．20 C．15 D．12 D 【解析】设，根据题意得到，利用完全平方公式求出的值，结合图形割补法可知阴影部分面积等于． 解：设， ，且两个正方形面积之和为40， ， ，， ，即， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则阴影部分的面积为： ． 拓展提升 6．利用完全平方公式,可以解决很多数学问题. 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，所以． 因为，所以．所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值： (2)若,求的值. 【解析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．（1）利用完全平方公式的变形计算求解：；（2）利用完全平方公式的变形计算求解：． 拓展提升 解：（1），，． ， ， ． （2）， ． ， ． 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第117页习题16.3第2题、第4题 选做题： 教材第118页习题16.3第7题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $