精品解析：内蒙古包头市昆都仑区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

昆区2026—2027学年度第一学期阶段性学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3. 已知方程的两根分别为，，则的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解出方程的根，利用根与系数的关系求出两根和与两根积，整体代入计算． 【详解】解：在方程中，，，． 由根与系数的关系得，． ． 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由网格可知，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 5. 如图，菱形中，对角线与交于点，菱形的面积为24，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，然后根据菱形的面积公式求解，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 7. 如图，在中，点是的中点，点为上一点，延长交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，结合图形，即可判断②③④，无条件判断①． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ∴， ∵ ∴，即，故②正确， ∵ ∴ ∴即，故③正确， ∵ ， ，， ， 即，故④正确， 无法判断，故①不正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定最简公分母完成通分，再按同分母分式加法法则计算化简． 【详解】解：原式 ． 10. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 11. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解给定一元二次方程得到两个边长的可能取值，再结合等腰三角形的边长特征分类讨论，依据三角形三边关系排除无法构成三角形的组合，最终计算符合要求的三角形周长． 【详解】解：， ， ∴，， ∴方程的两个根为，， 当腰长为，底边长为时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系， ∴该组合无法构成三角形，舍去； 当腰长为，底边长为时，，满足三角形三边关系， ∴该组合可构成三角形，此时三角形的周长为． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价元/度 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得， ， 解得：，经检验是原方程的解， 答：该市谷时电价元/度． 14. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 15. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，． 求证：．（请用两种方法解答） 【答案】证法一：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ． 证法二：，， ， 四边形是正方形， ，， 在和中，，， ，，， ， ． 【解析】 【分析】证法一：两个三角形有两组对应边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似； 证法二：两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似． 【详解】略． 17. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由． 【答案】（1）羊圈的长为，宽为；或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 （2）不能， 理由：设， 由题意，得， 化简，得， ， 一元二次方程没有实数根． 羊圈的面积不能达到 （3）最大面积为． 理由：设最大面积为． 由题意，得， ， 最大面积为 【解析】 【分析】（1）设，根据面积列方程求解即可得到答案； （2）根据面积列方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与的解析式，结合二次函数性质直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得， 化简，得， 解得，， 当时，， 当时，． 答：羊圈的长为40 m，宽为16 m；或长为32 m，宽为20 m时， 能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图），要用这三种纸片若干块紧密拼接成一个大正方形． （1）如图，若先取用甲，乙纸片各一块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？请画出示意图说明； （2）如图，若先取用甲纸片1块，再取用乙纸片4块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？请画出示意图说明； （3）如图，若先取用甲纸片4块，再取用乙纸片9块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？你能发现图形拼接背后蕴含的数学公式吗？请写出这个数学公式． 【答案】（1）还需要丙纸片2块； （2）还需要丙纸片4块； （3）还需取12块丙纸片能紧密拼接成一个大正方形， 图形拼合背后蕴含数学公式为： 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式的几何意义，计算已有纸片总面积，补全为正方形，求出丙的数量； （2）结合完全平方公式，由1个、4个，确定项系数，得到丙的块数； （3）根据完全平方展开式，由4个、9个求出项系数，得到丙的数量并写出公式． 【小问1详解】 解：甲面积：，乙面积：， ， 所以还需要丙纸片块， 作图：略． 【小问2详解】 解：1块甲面积，4块乙面积， ， 所以还需要丙纸片块，可以拼成边长为的正方形． 作图：略． 【小问3详解】 解：由题意得 4块甲面积，9块乙面积， ∵， ∴还需要丙纸片12块． 蕴含公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆区2026—2027学年度第一学期阶段性学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程的两根分别为，，则的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，对角线与交于点，菱形的面积为24，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，点为上一点，延长交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 计算：_____． 10. 如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 11. 已知实数a，b满足，则______． 12. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为_____． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 14. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 15. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 16. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，． 求证：．（请用两种方法解答） 17. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）你认为羊圈的面积最大能达到多少？试说明理由． 18. 如图，现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图），要用这三种纸片若干块紧密拼接成一个大正方形． （1）如图，若先取用甲，乙纸片各一块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？请画出示意图说明； （2）如图，若先取用甲纸片1块，再取用乙纸片4块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？请画出示意图说明； （3）如图，若先取用甲纸片4块，再取用乙纸片9块，还需取丙纸片几块能紧密拼接成一个大正方形？你能发现图形拼接背后蕴含的数学公式吗？请写出这个数学公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $