精品解析：内蒙古包头市昆都仑区2025-2026学年九年级上学期期中阶段测试数学试题

昆区2025-2026学年度第一学期阶段性学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 计算 的结果为 A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是  （     ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 40 6. 如图，在中，，，，则与间的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 26 7. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 10. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为_____． 11. 如图所示，将矩形沿直线折叠(点在边上) ，折叠后顶点恰好落在边上的点处，若，则的长是_____________ 12. 如图，在中， ，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为_____秒． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 计算 （1）； （2）． 14. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 15. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 16. 如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且的面积等于6，求的面积． 17. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 18. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆区2025-2026学年度第一学期阶段性学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 计算 的结果为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】先计算（-a）2，然后再进行约分即可得. 【详解】 = =b， 故选A. 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键. 2. 下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，因式分解是将多项式化为整式乘积的形式；选项A右边为和的形式，不符合定义；选项B是整式乘法，不是因式分解；选项C等式不成立；选项D正确分解为完全平方式． 【详解】解：∵因式分解需右边为乘积形式且等式成立； 选项A：右边为和，不是乘积； 选项B：右边为多项式，不是乘积形式； 选项C：左边，右边，等式不成立； 选项D：右边为乘积形式，且成立． ∴故选：D． 3. 在平行四边形中，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等，简单计算即可得解；利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件直接计算． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴（对角相等）． ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，，则不一定成立，该选项不符合题意； B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则不一定成立，该选项不符合题意； C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，该选项符合题意； D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则不一定成立，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键． 5. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是  （     ） A. 32 B. 24 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC．在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长． 【详解】∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB5，故菱形的周长为20． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形各边长相等的性质以及勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，则与间的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，与互相平分，推得，根据勾股定理求得，推得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，与互相平分， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故与间的距离为10； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 7. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共有4小题，每道小题各3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故答案为：6． 10. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程根的意义是关键；将已知根代入一元二次方程，求解参数a的值． 【详解】解：将代入方程 得：， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 11. 如图所示，将矩形沿直线折叠(点在边上) ，折叠后顶点恰好落在边上的点处，若，则的长是_____________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△ABF中，利用勾股定理来求BF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC的长． 【详解】∵四边形ABCD为矩形，， ∴AD=BC=10，DC=AB=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△ABF中，， ∴FC=10-6=4， 设EC=x，则DE=EF=8-x， 在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8-x）2=x2+42，解得x=3， 即EC的长为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理． 12. 如图，在中， ，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为_____秒． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 则， ∵的面积等于， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意， ∴， 即的面积等于，则运动时间为1秒； 故答案为：1． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法与加法运算，掌握这两种运算的法则是关键； （1）把各个分式的分子与分母能分解因式的进行因式分解，再约分即可； （2）直接把分子相加，再约分即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 14. 小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算： （1）若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______； （2）现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个插头插在不相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 小明随机选择一个插座插入，则插入的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两个插头插在不相邻插座的结果数为6， 所以两个插头插在不相邻插座的概率． 15. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒 【解析】 【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可； （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答． 【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验：是原方程的根． ∴（元）． ∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元． （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒． 打折前A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为． 打折后A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为0． 由题意得：． 解方程，得：． ∴（盒）． ∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验． 16. 如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且的面积等于6，求的面积． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）72 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质及，证明即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得，再由，得这三个三角形的面积相等，从而得的面积，由即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 17. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ （3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】（1）1350元 （2）60元 （3） 解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为(200-2x)件， 由题意得方程：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数解． 答：利润不能达到2000元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及销售利润的计算和方程求解，理解题意、正确列出方程是关键． （1）直接计算销售单价为55元时的利润，利用利润公式； （2）设售价为x元，根据利润公式列方程求解，并考虑售价范围； （3）列方程判断利润能否达到2000元，通过判别式判断方程是否有解． 【小问1详解】 解：销售单价为55元，比50元提高5元，销售量减少（件），销售量为（件）； 利润为（元）； 答：每天的销售利润为1350元； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵销售单价不得超过65元， ∴不符合题意，舍去， 答：每件工艺品售价应为60元； 【小问3详解】 略 18. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $