31.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3．1　椭　圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程(一) 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　椭圆的定义 第一部分 4 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 书本105页引入 返回导航 取一条定长的细绳，把他的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。 书本105页探究 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 返回导航 取一条定长的细绳，把他的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。 书本105页探究 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 返回导航 一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。 1．定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．符号表示：|MF1|＋|MF2|＝__(常数)(2a___|F1F2|).　 3．焦点：两个定点____________． 4．焦距：两焦点间的距离__________． 常数 2a >  F1，F2 |F1F2| 校本资料73页 返回导航 即时练 √ × × × 校本资料73页 返回导航 2．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…；A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则(　　) A．点B和C都在椭圆M上 B．点C和D都在椭圆M上 C．点D和E都在椭圆M上 D．点E和B都在椭圆M上 C　 返回导航 解析：由同心圆及点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上得|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12. 因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9＝14≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6＝11≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12，故点D和E都在椭圆M上． 返回导航 C　 返回导航 4．在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，某椭圆上的动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝2，则定点B的坐标可以是__________________．(写一个即可) 解析：由已知可得|PA|＋|PB|＝2>|AB|，即点B在以A为圆心2为半径的圆内，且点A，B不重合，即点B在圆(x＋1)2＋y2＝4内，故可以是(0，0)，(0，1)等． (0，0)(答案不唯一) 返回导航 知识点二　椭圆的标准方程 第二部分 16 一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ 问题探究 F1 F2 O M 观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴， 所以我们以经过椭圆的两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy。 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ 问题探究 F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ 问题探究 F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ 问题探究 F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？ 问题探究 F1 F2 O M 二、椭圆的标准方程 椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 F1 F2 O M 当焦点F1,F2在y轴上时，椭圆的方程是什么？ 问题探究 F2 F1 O M 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 焦点F1(0,-c)，F2(0,c) 例题讲解 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程. 书本107页 课堂练习 例2 如果点在运动过程中，总满足关系式 那么点M的轨迹是什么曲线？为什么，写出它的方程。 书本115页习题3.1 解：点M的轨迹为椭圆； 理由：由关系式：表示的是点点(0,3) 的距离与点点（0，-3）的距离之和为10； 且定长2a=10；两定点的距离2c=6；满足椭圆的定义； 根据关系式可知：椭圆的焦点在y轴上，且a=5，c=3， 所以椭圆的方程为 课堂练习 例3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 书本115页习题3.1 （1） 焦点坐标分别是（0，-4），（0,4）a=5 （2）a+c=10,a-c=4. 例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 书本108页 例题讲解 例3 设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0). 直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程. 书本108页 练习巩固 练习1 已知A,B两点的坐标分别为（-1,0），（1,0），直线AM,BM相交与点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M（x，y），由斜率公式 所以点M的轨迹为直线x+3=0（去掉点（-3,0）） 书本109页练习第4题 练习巩固 练习1 已知A,B两点的坐标分别为（-1,0），（1,0），直线AM,BM相交与点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M（x，y），由斜率公式 所以点M的轨迹为直线x+3=0（去掉点（-3,0）） 书本109页练习第4题 练习巩固 练习2 如图圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆O上任意一点。线段AP的垂直平分线和半径OP相交与点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 解：设点Q（x，y）， 满足椭圆的定义，因此点Q的轨迹是椭圆。 书本115页习题3.1第6题 O P A Q 由已知 由已知 因此， 又Q为动点，O,A为定点，r为定值 例1： 经过椭圆的右焦点作垂直于x的直线AB，交椭圆于A,B两点，是椭圆的左焦点。 （1）求的周长 书本109页练习第3题 （2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？ 的周长为20 不变，过两个焦点的三角形周长始终等于4a 返回导航 练习巩固 练习1 已知A,B两点的坐标分别为（-1,0），（1,0），直线AM,BM相交与点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 解：设点M（x，y），由斜率公式 所以点M的轨迹为直线x+3=0（去掉点（-3,0）） 书本109页练习第4题 C　 【解析】　依题意a＝9，因为|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝18，所以|PF2|＝12. 校本资料75页 返回导航 20 返回导航 训练 5 返回导航 训练 B　 返回导航 (0，1)∪(1，2) 返回导航 课堂巩固自测 　B　 返回导航 AB　 返回导航 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． (0，1) 返回导航 4．(教材P109T2改编)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； 返回导航 返回导航 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：椭圆定义中a，b，c的关系；不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 课堂小结 返回导航 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $