第3章 3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，通过哈雷彗星轨迹、橄榄球等生活实例导入，类比圆的“定点+定长”设计问题思考，引导学生从具体到抽象构建知识支架。 其亮点在于以“数学思维”和“数学语言”为核心，通过即时练辨析2a与|F1F2|的关系培养推理能力，用坐标法推导标准方程强化精确表达，课堂小结提炼分类讨论与方程思想。例如判断轨迹是否为椭圆的练习，帮助学生深化理解，提升抽象能力，也为教师提供完整教学路径。

第三章　圆锥曲线的方程 3．1　椭　圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程(一) 课标要求 1.理解并掌握椭圆的定义．　2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程． 返回导航 生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 返回导航 新课导入 思考1　圆是“到一个定点的距离为定值”的点的轨迹，若改为“到两个定点的距离和为定值”，则该点的轨迹是什么？ 提示：将定长的细绳的两端固定在两点，铅笔拉绳画轨迹，可观察形状为椭圆． 思考2　圆的方程由“定点＋定长”推导，椭圆的方程能否仿此思路推导？需注意什么条件？ 提示： 能．设两个定点、代入距离公式写出等式进行化简，注意“定值＞两点间距离”． 返回导航 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点一　椭圆的定义 第一部分 7 1．定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．符号表示：|MF1|＋|MF2|＝__(常数)(2a___|F1F2|).　 3．焦点：两个定点____________． 4．焦距：两焦点间的距离__________． 常数 2a >  F1，F2 |F1F2| 返回导航 即时练 √ × × × 返回导航 2．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…；A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则(　　) A．点B和C都在椭圆M上 B．点C和D都在椭圆M上 C．点D和E都在椭圆M上 D．点E和B都在椭圆M上 C　 返回导航 解析：由同心圆及点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上得|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12. 因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9＝14≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6＝11≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12，故点D和E都在椭圆M上． 返回导航 C　 返回导航 4．在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，某椭圆上的动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝2，则定点B的坐标可以是__________________．(写一个即可) 解析：由已知可得|PA|＋|PB|＝2>|AB|，即点B在以A为圆心2为半径的圆内，且点A，B不重合，即点B在圆(x＋1)2＋y2＝4内，故可以是(0，0)，(0，1)等． (0，0)(答案不唯一) 返回导航 【感悟提升】　关于椭圆定义的理解 (1)在椭圆定义中，2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含条件． (2)在椭圆定义中，设M为平面内任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则满足|MF1|＋|MF2|＝2a的动点M一定在椭圆上；反过来，椭圆上的任意一点M都满足|MF1|＋|MF2|＝2a. 返回导航 知识点二　椭圆的标准方程 第二部分 15 类别 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ____________________ _________________ 图形     焦点坐标 ____________________ _________________ a，b，c的关系 c2＝_________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2－b2 返回导航 例1　(对接教材例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； 返回导航 (2)焦点在y轴上，且经过点(0，2)和(1，0)； 返回导航 返回导航 【感悟提升】　求椭圆的标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程． ③寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组． ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求． 注意　在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 返回导航 训练 返回导航 返回导航 B　 返回导航 返回导航 (2)若方程mx2＋(1－m)y2＝1(m∈R)表示曲线C.若曲线C是圆，则m的值是__________；若曲线C是椭圆，则m的取值范围是___________________． 返回导航 返回导航 返回导航 训练 B　 返回导航 (0，1)∪(1，2) 返回导航 C　 【解析】　依题意a＝9，因为|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝18，所以|PF2|＝12. 返回导航 20 返回导航 【感悟提升】　椭圆定义的双向运用 (1)判断(正用)：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点间的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆． (2)求值(逆用)：椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2a. 返回导航 训练 5 返回导航 课堂巩固自测 　B　 返回导航 AB　 返回导航 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． (0，1) 返回导航 4．(教材P109T2改编)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； 返回导航 返回导航 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：椭圆定义中a，b，c的关系；不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 课堂小结 返回导航 $