培优专题04 整式的乘法计算题1考点15题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题04 整式的乘法计算题 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法计算题 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方 题型3 同底数幂的除法 题型4 幂的运算值为1的分类讨论计算题 题型5 幂的新定义运算 题型6 整式乘法运算 题型7 整式乘法不含某项求字母的值 题型8 整式乘法的化简求值 题型9 多项式乘法中的规律性计算 题型10 整式的除法运算 题型11 乘法公式计算 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 求完全平方式中的字母系数 题型14 乘法公式中的新定义运算 题型15 乘法公式中的配方法 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法计算题 ◆题型1 同底数幂的乘法 1．（25-26七年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】各小题根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）根据新定义得出，根据同底数幂的乘法得出，解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ， ， ， ， 3．（26-27七年级下·江苏宿迁·周测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 幂的乘方与积的乘方 6．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查幂的运算法则，本题先算同底数幂、幂的乘方和积的乘方，以及合并同类项法则，解题的关键是掌握这些运算法则． 本题先分别计算、、，再算加减． 【详解】解： 7．（26-27八年级上·广东广州·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，都是非负整数），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把、转化为以为底的幂，再根据同底数幂乘法法则合并指数，最后令指数相等解方程求出； （2）先把转化为以为底的幂，变形已知等式得到的值，再整体代入同底数幂的式子求值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 8．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）完成以下问题 (1)已知：，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由积的乘方可得，再进一步求解即可； （2）由条件可得，进一步可得，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 9．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把转化为以2为底的幂，再利用同底数幂相乘法则合并，根据题目给出结论，底数相同则指数相等列方程求． （2）逆用同底数幂乘法，提取公因式化简等式左边，算出结果后写成2的幂，再由底数相同指数相等求． （3）先把拆成，再变形为，结合已知，，把、转化为、的乘方形式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，， ， ，即， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴ ． 10．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，， (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用同底数幂相乘和幂的乘方的逆用进行计算； （2）运用同底数幂相乘和幂的乘方的逆用进行计算，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 同底数幂的除法 11．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方、同底数幂乘法和除法法则计算即可． （2）根据整式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除即可； （3）先将底数都化成，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 13．（26-27六年级下·山东泰安·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知，求的值 (2)已知，则的值 (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ，解得． 14．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 15．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ 【答案】(1)243 (2)27 【分析】（1）逆用同底数幂除法法则可得，再逆用幂的乘方运算法则可得，即；然后将代入求值即可； （2）由题意可得，再逆用同底数幂除法法则可得，即；然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． ◆题型4 幂的运算值为1的分类讨论计算题 16．（26-27八年级上·贵州铜仁·期中）如果成立，那么满足它的所有整数x的值是（     ） A． B．0或2 C． D．0或 【答案】D 【分析】非零数的零次幂等于1，1的任何次幂等于1，的偶次幂等于1．据此分类讨论即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当且时，原式成立， 此时 ②当时，原式成立， 此时； ③当且为偶数时，原式成立， 此时； 综上，满足条件的整数为或． 17．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 18．（26-27八年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键． 【详解】解：①当，即时，，即 ∴； ②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数； (i)由解得：， (ii)解得：，此时，为奇数，不合题意， ∴； 综上所述：或， 故选：B． 19．（26-27八年级上·全国·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D．除以外的任何值 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质以及“任何一个不等于0的数的零次幂，都等于1”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及零指数幂的知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 20．（26-27七年级下·全国·暑假作业）若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出答案． 【详解】解：， ∴当时，， ，即， 当时，，即， 故x的取值有2个， 故选：C． 【点睛】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． ◆题型5 幂的新定义运算 21．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 【答案】(1)2； (2)证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）设，根据定义得到，根据同底数幂乘法的运算法则推出，则，据此证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）略 22．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①3；②；③14 (2)证明：∵，，， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义计算即可；②根据“雅对”的定义可得，解方程即可；③设，仿照示例求解即可； （2）根据题意可得，，，则可证明，根据推出，据此证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）略 23．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【详解】（1）解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． （2）解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． （3）解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 24．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据新定义运算，把拆成，转化为后代入求值． ②先把写成，逆用新定义得到，对应括号内的数相等，列等式求出． （2）利用新定义，依次化简，得到对应的3的幂次，再根据同底数幂乘法，指数相加进行计算． 【详解】（1）解：① ； ②， 又， ． ． ． （2）解：， ， …… ， ． 25．（2026·湖南·三模）定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A．    B． C．             D． 【答案】 3 A、C 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）根据新定义，举反例的方式逐一进行判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）设，则，， ∴， ∴；故A正确； 举反例，令，左边，右边，；故B错误； 设，，则，，右边左边，等式成立，故C正确； 举反例，令，左边，右边，D错误； 故正确的有A，C. ◆题型6 整式乘法运算 26．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 28．（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知． (1)计算：； (2)计算：（结果按降幂排列）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整式的加减混合运算法则进行计算，即可求解； （2）先计算乘法，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 29．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按运算顺序先计算同底数幂乘法，再展开完全平方项，最后做单项式乘多项式运算； （2）分别计算积的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项； （3）先完成单项式乘多项式的展开，再合并同类项； （4）按多项式乘多项式法则展开后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 30．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ◆题型7 整式乘法不含某项求字母的值 31．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若的结果中不含有的一次项，求的值． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据题意得一次项的系数为0，列出方程，求解即可． 【详解】解：原式， 不含有的一次项， ， ， 则的值为． 32．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知代数式， ．与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； 【答案】，. 【分析】先计算A与B的乘积，根据积的二次项系数为0、常数项为列方程组求解． 【详解】解：， ∵积中不含x的二次项，且常数项为， ∴， 解得． 33．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 34．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 35．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． ◆题型8 整式乘法的化简求值 36．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 37．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）化简求值：，其中，． 【答案】； 【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简代数式，再代入和的值求出代数式的值即可． 【详解】解： 当，时， ． 38．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先根据整式的乘法法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 ． 39．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式计算，再计算括号内，然后利用多项式除以单项式运算法则计算括号外的，再把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ； 当，时 原式． 40．（2026·青海西宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． ◆题型9 多项式乘法中的规律性计算 41．（2026·福建莆田·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，则的展开式为 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，，展开式的规律，即可求解； （2）根据，，，的项数、系数和的规律，即可求解； （3）根据规律得出原式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：∵，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ，展开式中共有项，系数和为， ∴的展开式共有项，系数和为； （3）解：根据规律可知： ． 42．（2026·河南平顶山·三模）观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． (1)请直接写出第六个等式______． (2)若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明如下： 左 右边． 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）结合已知各式得到等式，计算等式左边即可． 【详解】（1）解：观察题干各式可知； （2）略． 43．（25-26七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 44．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； (1)直接写出结果：_____；_____． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：_____（用含的代数式表示）； (3)善于思考的小聪通过计算 ；；； 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】(1)1225，9025 (2) (3)解：小聪发现的规律是，其中 ∵； ； ； ∴规律是，其中， 证明：左边， ∵ ∴左边 右边 ∴左边右边 ∴该等式成立． 【分析】（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解答； （2）根据（1）中归纳规律即可解答； （3）先根据四组数据找到规律，再利用多项式乘法运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵；……． ∴个位数字是5的两位数字的平方，用十位数字乘十位数字加上1所得积作为高位的部分，低位部分的数为25， ∴ （2）解：由（1）可知，十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数字平方的结果是：． （3）略 45．（2026·安徽阜阳·三模）【预备知识】在如图1的表格中，表格中的数据关系为：．请将材料中横线上所缺数字或代数式补充完整： (1)如图2是2026年4月的月历，将图1平移覆盖在图2中，使得，则 ① ； (2)如图3，将1~31按顺序依次填入的表格中，将图1平移覆盖在图3中，使得字母a对应任何一个数，经过反复计算后，发现的值是定值，则这个定值为 ② ； 【规律证明】 (3)若将图1平移覆盖含有m列（）和n行（）的表格中，已知表格中的数据按正整数顺序依次从左到右逐行排列，设，则， ③ ， ④ ， ∴ ⑤ ；（用含k或m的代数式填空） 【答案】(1)①7 (2)②5 (3)③，④，⑤m 【分析】（1）由题可知，再根据定义计算即可； （2）设，则，再根据定义计算即可； （3）设，则，，再根据定义计算即可． 【详解】（1）解：由题可知， ； （2）解：设，则， ； （3）解：设，则，； ． ◆题型10 整式的除法运算 46．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再进行单项式的乘除即可． 【详解】解： ． 47．（26-27六年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算法则，单项式除以单项式和单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)（i），（ii） 【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可； （2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可； （3）（i）用大长方形的周长减去小长方形的周长求解即可； （ii）首先求出长方形B的面积，然后利用题中除法运算的竖式运算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴； （2）解：根据题意得， ∴另一个多项式为； （3）解：（i）根据题意得，， 解得； （ii）长方形B的长为，宽为， 长方形B的面积， ∵长方形C的一个边长为， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 49．（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，理解题干中提供的运算方法是解题关键 按照题干所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：如图， 故． 50．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 能被整除，理由如下： (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）略 （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． ◆题型11 乘法公式计算 51．（26-27七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ； 当，时， 原式． 52．（26-27七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用平方差公式计算，对变形后利用完全平方公式展开，合并同类项化简原式，最后代入数值计算结果． 【详解】解： 当，时， 原式 53．（26-27七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】先提取公因式，将带分数转化为与相关的和差形式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： 原式 ． 54．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)∵， 又， ∴， 即， ∴． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）略 55．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先计算括号内的多项式乘法与完全平方运算，再合并同类项，然后计算整式除法，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． ◆题型12 通过对完全平方公式变形求值 56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按要求回答问题 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)11 (2)3 【详解】（1）解： ； （2）解：，， 得， 解得． 57．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形，把写成，整体代入求值； （2）先求，变形为，算出结果后再开平方得到． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ， ． 58．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 59．（26-27七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】 【分析】因为已知和的数值，所以可以将已知条件代入完全平方和的展开式中，通过移项变形即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 60．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知求： (1) (2) 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）利用完全平方公式变形，整体代入数值计算即可． （2）利用完全平方公式变形，整体代入数值计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． ◆题型13 求完全平方式中的字母系数 61．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（     ） A．3或9 B．3或4 C．或6 D．或9 【答案】D 【分析】先合并同类项，再根据完全平方式的结构特征列方程求解． 【详解】解：合并同类项得， ∵ 该多项式是完全平方式，且， ∴ ， 即或， 解得或． 62．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴，即或． 63．（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式是某个关于的整式的平方，则__________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，由平方项确定对应的两个数，匹配中间一次项的系数建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方． ∴该式满足完全平方公式的结构，即． ∵． ∴等式两边一次项系数相等，可得． 当时，解得． 当时，解得． 64．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，那么的值为________． 【答案】 9或81 【分析】根据完全平方式的性质求出的可能值，再根据多项式乘法展开，由不含一次项得到的值，代入计算即可. 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或. 展开得： . ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得. 当，时，. 当，时，. 即的值为9或81. 65．（25-26八年级上·河南信阳·期末）阅读与思考 下面是信阳市某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知是含字母单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．涛涛：根据两数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ． 综上所述，为或或． 成成：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思： ①上述解答过程得到等式：；观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如：；，发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数一定存在某种关系． 任务： (1)请你根据成成的反思，写出系数、、之间存在的关系式． (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，求出满足条件的单项式； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，请求出实数的值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握完全平方公式及关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为是解决问题的关键． （1）根据成成的反思即可得到答案； （2）根据材料中的方法，分两种情况讨论求解即可得到答案； （3）由（1）中结论，直接列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据成成的反思可知：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为； （2）解：①当为含字母的一次单项式时，则， ∴或； ②当为含字母的四次单项式时，则； ∴； 综上所述，或或； （3）解：由（1）可知：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为， 关于的多项式是一个含的多项式的平方， ， ∴， 解得． ◆题型14 乘法公式中的新定义运算 66．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义，分别化简、,再结合方程求解； （2）利用多项式不含一次项则一次项系数为0求解． 【详解】（1）解：根据定义，化简 ， ， ， 解得：． （2）解：根据定义，化简： ， 的代数式中不含的一次项， ， 解得：． 67．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数、并说明理由． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）根据定义化简计算，可得a，b，c之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：； 理由：假设a，b，c是完美数， 则结果为常数， 原式 ， ∵结果为常数， ∴． 68．（24-25七年级下·全国·单元复习）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算与解一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于的方程，熟记完全平方公式，平方差公式及解一元一次方程的步骤． 先根据新定义规定的运算法则得出，再将左边利用完全平方公式和平方差公式去括号，继而合并同类项，移项，系数化为1可得答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 解得：． 69．（24-25七年级下·广东梅州·阶段检测）对有理数a、b、c、d定义新运算“”， 规定，请你根据新定义规定解答下列问题： (1)计算； (2)当时，求上式的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查新定义，整式化简求值，理解新定义和掌握整式混合运算法则是解题的关键. （1）根据新定义，得到原式，再根据整式混合运算法则计算即可； （2）把代入（1）所得的化简式，计算即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：当时， 70．（24-25八年级上·全国·阶段检测）已知a,b是实数，定义关于“”的一种运算：. (1)小明通过计算发现 . (2)利用以上信息得 . 若，求 的值. (3)请判断等式是否成立？说明理由。 【答案】(1) (2)4，144 (3) 解：成立， 理由如下： ∵由（1）可知：左边， 右边， ∴． 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，完全平方公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用所给公式结合完全平方公式计算，然后化简即可； （2）根据（1）中的发现，通过计算可得，然后把代入进行计算即可； （3）利用（1）所给规律分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴， ∴， （3）略 ◆题型15 乘法公式中的配方法 71．（26-27七年级下·浙江杭州·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴当时，的值最小，最小值为2， ∴的最小值为2； （2）解： ， ， ． 的最小值是． （3）解：， ， ∴ ， ， ． 的最大值． 72．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长，并判断的形状． 【答案】(1)； (2)的周长为，是等腰三角形． 【分析】（）根据题干中提供的方法进行解答即可； （）根据，得出，求出，，根据三角形三边关系得出，根据是正整数，求出，然后求出结果即可； 本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 73．（26-27八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)；6 (2)，最小值 【分析】（1）根据配方的基本步骤解答即可； （2）根据配方的基本要求配方成，利用实数的非负性求得最小值即可． 本题考查了配方法解题，非负性解题，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：；6． （2）根据题意，得， ， 故最小值为． 74．（26-27八年级上·四川乐山·期末）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值． 例如：求代数式的最小值．总结出如下解答方法： 解： ∵≥0，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴≥1，∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：； (2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)已知a、b、c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)，小， (3)解：是等腰三角形，理由： ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴的最大值为4，即， ∵， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义．熟练掌握完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解作答即可； （2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可； （3）由题意得，则，由，可得，根据，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是； 故答案为：，小，； （3）略 75．（26-27八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)10，是 (2)2 (3)13，4 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可； （3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：10，是； （2）解：由题意知，， ∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数）， ∴，， ∴， 故答案为：2； （3）解：， ∵S为“完美数”， ∴，解得，， 故答案为：13； ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法计算题 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法计算题 题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方 题型3 同底数幂的除法 题型4 幂的运算值为1的分类讨论计算题 题型5 幂的新定义运算 题型6 整式乘法运算 题型7 整式乘法不含某项求字母的值 题型8 整式乘法的化简求值 题型9 多项式乘法中的规律性计算 题型10 整式的除法运算 题型11 乘法公式计算 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 求完全平方式中的字母系数 题型14 乘法公式中的新定义运算 题型15 乘法公式中的配方法 常考题型·精准突破 考点一 整式的乘法计算题 ◆题型1 同底数幂的乘法 1．（25-26七年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求的值． 3．（26-27七年级下·江苏宿迁·周测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． ◆题型2 幂的乘方与积的乘方 6．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）计算： 7．（26-27八年级上·广东广州·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，都是非负整数），求的值． 8．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）完成以下问题 (1)已知：，求的值； (2)已知，，求的值． 9．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，，用含，的式子表示． 10．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，， (1)求； (2)若，求的值． ◆题型3 同底数幂的除法 11．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 12．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1) (2)； (3)． 13．（26-27六年级下·山东泰安·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知，求的值 (2)已知，则的值 (3)若，求的值 14．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 15．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ ◆题型4 幂的运算值为1的分类讨论计算题 16．（26-27八年级上·贵州铜仁·期中）如果成立，那么满足它的所有整数x的值是（     ） A． B．0或2 C． D．0或 17．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（26-27八年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 19．（26-27八年级上·全国·课堂例题）若，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D．除以外的任何值 20．（26-27七年级下·全国·暑假作业）若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 ◆题型5 幂的新定义运算 21．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定一种运算：若，则．例如：若，则． (1)根据上述规定填空： ，（， ）； (2)小语在研究这种运算时发现一种现象：．下面是她的证明过程． 证明：设，则，即． ∴．∴．∴． 请用这种方法证明：． 22．（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 23．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 24．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地，我们规定对于任意正整数m、n的一种新运算：（其中m、n为正整数）；例如，若，则． (1)若，则： ①计算； ②当，求的值； (2)若为正整数，，化简：． 25．（2026·湖南·三模）定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A．    B． C．             D． ◆题型6 整式乘法运算 26．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 27．（26-27七年级上·上海·阶段检测）计算： 28．（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知． (1)计算：； (2)计算：（结果按降幂排列）． 29．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 30．（黑龙江肇源县联合团体2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）化简． (1) (2) ◆题型7 整式乘法不含某项求字母的值 31．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若的结果中不含有的一次项，求的值． 32．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知代数式， ．与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； 33．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 34．（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 35．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 ◆题型8 整式乘法的化简求值 36．（26-27七年级上·上海·阶段检测）若，求的值． 37．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）化简求值：，其中，． 38．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 39．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 40．（2026·青海西宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． ◆题型9 多项式乘法中的规律性计算 41．（2026·福建莆田·模拟预测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，则的展开式为 ． (2)的展开式共有 项，系数和为 ． (3)利用上面的规律计算：． 42．（2026·河南平顶山·三模）观察下列各式： ； ； ； ； ； …… 请根据上述规律，回答下列问题． (1)请直接写出第六个等式______． (2)若两个两位数，十位数字都为m，一个数的个位数字为n，另一个数的个位数字为，则可得到等式______，并证明等式成立． 43．（25-26七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ；… (1)根据以上规律，则_____； (2)你能否由此归纳出一般性规律：____； (3)根据（2）求出：的结果． 44．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； (1)直接写出结果：_____；_____． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：_____（用含的代数式表示）； (3)善于思考的小聪通过计算 ；；； 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律．设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 45．（2026·安徽阜阳·三模）【预备知识】在如图1的表格中，表格中的数据关系为：．请将材料中横线上所缺数字或代数式补充完整： (1)如图2是2026年4月的月历，将图1平移覆盖在图2中，使得，则 ① ； (2)如图3，将1~31按顺序依次填入的表格中，将图1平移覆盖在图3中，使得字母a对应任何一个数，经过反复计算后，发现的值是定值，则这个定值为 ② ； 【规律证明】 (3)若将图1平移覆盖含有m列（）和n行（）的表格中，已知表格中的数据按正整数顺序依次从左到右逐行排列，设，则， ③ ， ④ ， ∴ ⑤ ；（用含k或m的代数式填空） ◆题型10 整式的除法运算 46．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）计算：． 47．（26-27六年级下·山东烟台·期中）计算： (1)； (2)． 48．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 所以① 所以② 所以③ 所以④ 【理解应用】 (1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求的值；（用含的代数式表示） （ii）长方形B的面积和另一个边长为的长方形C的面积相等，则长方形C已知边长的邻边长为___________．（用含x的代数式表示） 49．（25-26八年级上·广东东莞·期末）可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 50．（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． ◆题型11 乘法公式计算 51．（26-27七年级上·上海普陀·期中）先化简，再求值：，其中，． 52．（26-27七年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 53．（26-27七年级上·上海虹口·期中）用简便方法计算：． 54．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求； (2)试说明：． 55．（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）先化简再求值：，其中，． ◆题型12 通过对完全平方公式变形求值 56．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按要求回答问题 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 57．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 58．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 59．（26-27七年级上·安徽安庆·阶段检测）已知，，求的值． 60．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知求： (1) (2) ◆题型13 求完全平方式中的字母系数 61．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（     ） A．3或9 B．3或4 C．或6 D．或9 62．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 63．（26-27七年级上·上海闵行·期中）已知关于的整式是某个关于的整式的平方，则__________． 64．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，那么的值为________． 65．（25-26八年级上·河南信阳·期末）阅读与思考 下面是信阳市某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知是含字母单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．涛涛：根据两数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ． 综上所述，为或或． 成成：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思： ①上述解答过程得到等式：；观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如：；，发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数一定存在某种关系． 任务： (1)请你根据成成的反思，写出系数、、之间存在的关系式． (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，求出满足条件的单项式； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，请求出实数的值． ◆题型14 乘法公式中的新定义运算 66．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 67．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数、并说明理由． 68．（24-25七年级下·全国·单元复习）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 69．（24-25七年级下·广东梅州·阶段检测）对有理数a、b、c、d定义新运算“”， 规定，请你根据新定义规定解答下列问题： (1)计算； (2)当时，求上式的值． 70．（24-25八年级上·全国·阶段检测）已知a,b是实数，定义关于“”的一种运算：. (1)小明通过计算发现 . (2)利用以上信息得 . 若，求 的值. (3)请判断等式是否成立？说明理由。 ◆题型15 乘法公式中的配方法 71．（26-27七年级下·浙江杭州·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 72．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长，并判断的形状． 73．（26-27八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 74．（26-27八年级上·四川乐山·期末）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值． 例如：求代数式的最小值．总结出如下解答方法： 解： ∵≥0，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴≥1，∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：； (2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)已知a、b、c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并说明理由． 75．（26-27八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $