精品解析：湖南湘潭市岳塘区2026-2027学年八年级数学上学期 期中考试卷

2026年下学期期中八年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 2. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅毫米，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项分式的分子或分母因式分解，判断分子与分母是否含有公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项A中，的分子与分母有公因式，可约分为，不是最简分式，不符合题意， 选项B中，分母，分子与分母有公因式，可约分为，不是最简分式，不符合题意， 选项C中，分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式，符合题意 选项D中，分子，分子与分母有公因式，可约分为，不是最简分式，不符合题意， 故答案为C． 4. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴且， ∴， 故选：D． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运用，根据对相应的运算法则将变形为是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 6. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 先对代数式因式分解，再求得，进而代值解题即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴．   故选：A． 7. 如果把中的a与b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可得． 【详解】解：因为， 所以如果把中的与都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 8. 多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∵多项式可以因式分解成， ∴， 又∵和都是整数， ∴，， ∴． 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 10. 当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（ ） A. 只有小明的答案正确 B. 只有小亮的答案正确 C. 小明和小亮的答案合在一起才正确 D. 小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】解： . 故答案为：. 13. 设，化简二次根式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的基本性质，结合题干给出的的取值范围去掉绝对值符号，可完成化简． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ， ∴， 故． 14. 若实数m，n满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴． 15. 计算乘积_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式将所求每一个因式变形，计算即可得到结果． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，利用平方差公式拆项后前一项与后一项出现倒数是解题的关键，计算中有时利用公式求解运算更加简便． 16. 已知，则__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质2、完全平方公式的变形；先将两边同时除以得，，然后将利用完全平方公式进行变形，最后代入求值即可，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：且， 两边同时除以得， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， 解得， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】；当，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取的值是解题的关键． 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 【详解】解：原式 根据分式有意义的条件可知， ∴当取范围内的整数时，只有． ∴当时，原式． 21. （1）若，解这个分式方程； （2）若方程无解，求m的值． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【小问1详解】 解：若，分式方程为， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 解得． ∵方程无解， ∴分以下两种情况： ①当时，方程无解，符合题意； ②当或，即或时，原分式方程无解，符合题意， ∴或， ∴或； 综上，的值为或或． 22. 2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． （1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ （2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 【答案】（1）“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元 （2）“山侠”公仔最多能购进个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元，先求出购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用，再根据“商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个”建立分式方程求解； （2）设购进“山侠”个，则购进“水仙”个，根据“商店计划用不超过10200元的资金”建立一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元， 由题意得，购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用都为（元）， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴“山侠”公仔的单价为（元） 答：“水仙”公仔的单价为元，则“山侠”公仔的单价为元； 【小问2详解】 解：设购进“山侠”个，则购进“水仙”个， 由题意得，， 解得：， 答：“山侠”公仔最多能购进个． 23. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】（1）①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② （2）2024 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【小问1详解】 ①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； 【小问2详解】 设，， 则， ， 原式 ． 24. 【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期期中八年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅毫米，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值是零，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 7. 如果把中的a与b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的4倍 C. 是原来的 D. 不变 8. 多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 10. 当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（ ） A. 只有小明的答案正确 B. 只有小亮的答案正确 C. 小明和小亮的答案合在一起才正确 D. 小明和小亮的答案都不正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 12. 分解因式：______． 13. 设，化简二次根式：____________． 14. 若实数m，n满足，则的值为_________． 15. 计算乘积_________． 16. 已知，则__________． 三、解答题（本大题共8题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 21. （1）若，解这个分式方程； （2）若方程无解，求m的值． 22. 2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作． （1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？ （2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个． 23. 整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： ． 24. 【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $