精品解析：北京市和平街第一中学2026-2027学年度第一学期高二年级数学期中调研试卷

和平街一中2026—2027学年度第一学期高二年级 数学期中调研试卷 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程及斜率公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则， 所以. 故选：. 3. 任意的，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 6. 已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 7. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 8. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故重合，舍去； 当时，，满足条件， 所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 9. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答． 【详解】由题意得，，， 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值． 设点关于直线的对称点为， 则，解得，， 则， 当时，椭圆有最大离心率，此时，． 故选：B． 10. 设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别考察圆心在原点，在x轴上和在y轴上，结合图形分析，利用圆心到直线距离求出圆心坐标，然后可得面积. 【详解】当时，显然不满足题意； 当时，由图可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 所以，，解得，此时圆心为； 当时，由对称性可知，此时圆心为； 当时，由图可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 所以，，解得，此时圆心为； 当时，由图可知，的最小值等于减去半径，易知，此时圆心为. 连接四点得如图所示四边形， 则四边形的面积. 故选：A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知空间，，，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，且，，则，解得， 故. 故答案为：. 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程结合渐近线方程分析求解，注意焦点所在位置. 【详解】因为表示双曲线，可知，且焦点在y轴上， 则， 又因为渐近线方程为，则，解得. 故答案为：. 13. 求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】化简可知，即圆心为. 因为等同于，斜率为，可知新直线斜率为， 由斜率和圆心可知该直线为，即. 14. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线在两坐标轴上截距之和为零的条件，分直线过原点和直线不过原点两类，结合直线过定点的条件求解方程. 【详解】设直线在轴、轴上的截距分别为，由题意得，即， ①当时，直线经过原点， 设此时直线的方程为：，又直线经过点， 所以，解得：，所以直线的方程为：即； ②当时，，设此时直线的方程为：，即， 又直线经过点，所以，解得：，所以， 所以直线的方程为：即， 所以直线的方程为：或. 15. 已知两点（其中），若圆上总存在点使得，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用向量垂直可得，由圆上一点到圆外定点距离的范围可得的范围. 【详解】设，由， ， 从而，所以， 又因为，所以． 即的取值可看作到原点的距离， 由于，圆的半径， 则圆上一点到圆外一点距离的范围是， 即，解得或． 故答案为：． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可； 对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可； 对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可； 对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可. 【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示， 则为线段的中点，是边长为的正三角形， 两点之间距离的最小值为到的垂线段长度， 此时，故①错误； 对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示， 显然，到平面的距离为定值，面积为定值， 结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，当与重合，与重合时，如图所示， 由正方体可知平面，， 因为平面，所以， 又因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 同理，， 又因为平面，， 所以平面，即平面， 所以存在点，，使得平面，故③正确； 对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点， 取中点，连接，如图所示， 由得四边形是平行四边形，所以 ， 由可知，即， 所以是中点，又因为是中点，所以,， 所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 在直角中，，同理， 所以截面的周长为, 即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2）选择①，或；选择②或③，或3. 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可； （2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 【小问2详解】 如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 18. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：因为， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的左右顶点，过点作轴交的延长线于点，为椭圆的右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程及直线被椭圆截得的弦长； （Ⅱ）求证：以为直径的圆与直线相切. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可知，，，再结合可解出椭圆方程，然后写出直线的方程，与椭圆联立，即可根据弦长公式求得弦长； （Ⅱ）只要证的中点到直线的距离等线段长的一半即可，为此求出方程，联立可得点坐标，从而得中点坐标，及圆半径，最后根据距离公式即可证出． 【详解】（Ⅰ）∵椭圆过点，∴，又，即，. 故，∴椭圆方程为.则，，所以直线的方程为，与椭圆方程联立，消去得到，解得或，由弦长公式得． （Ⅱ）证明：过，的直线的直线方程为： ，与的直线方程联立，可得， 所以以为直径的圆的圆心为，半径， 而圆心到直线的距离， 所以以为直径的圆与直线相切. 20. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小； （3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：∵，, ∴, 又∵,∴； （2） （3）不存在，理由如下： 设， ， ∴， ∴， 即，无解， ∴不存在这样的． 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直得线面垂直，再根据平行转化得结果； （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果； （3）先假设存在，根据（2）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接 ∵， ，∴， 如图以点为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系,∴， ，， , 设平面的法向量为，， 取∴ 又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐角二面角为 ∴， ∴平面与平面所成锐角二面角为. 【小问3详解】 略 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 21. 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． （1）若空间向量，求及； （2）对于空间向量．若，求证：，若，则； （3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 【答案】（1），； （2） 依题意，，，则有， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，，互不相同， 故，若，则； （3） 由，得，则有①， 由及①，可得， ， ， 以上各式相加，得. 由及①，当时，， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由和的定义，求及； （2）由，有，又，所以，互不相同； （3）由已知有，则，通过累加法及证得结论. 【小问1详解】 由，知， 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和平街一中2026—2027学年度第一学期高二年级 数学期中调研试卷 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 任意的，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 设，则“”是直线：和直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A. B. C. D. 10. 设点为函数图象上的动点，是圆：（其中）上的动点，若的最小值为，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 已知空间，，，则＝_____． 12. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 13. 求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 14. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为零，则直线的方程为______． 15. 已知两点（其中），若圆上总存在点使得，则实数的取值范围是___________． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 18. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上，、分别为椭圆的左右顶点，过点作轴交的延长线于点，为椭圆的右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程及直线被椭圆截得的弦长； （Ⅱ）求证：以为直径的圆与直线相切. 20. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小； （3）线段上是否存在一个动点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 21. 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）． （1）若空间向量，求及； （2）对于空间向量．若，求证：，若，则； （3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $