第19讲 双曲线的简单几何性质（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第19讲 双曲线的简单几何性质 【人教A版】 模块二 双曲线的简单几何性质 【知识点1 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【变式1-1】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点坐标为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（25-26高三上·福建·开学考试）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【变式2-3】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 ____________. 【变式3-3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为____________. 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式4-2】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式5-2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 【例6】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式6-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【题型7 双曲线中的最值问题】 【例7】（25-26高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式7-2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【变式7-3】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【题型8 双曲线的实际应用】 【例8】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【变式8-2】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）点到双曲线C：的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设双曲线，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 10．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，双曲线，双曲线，则（   ） A． 的实轴长等于的虚轴长 B．的虚轴长等于的实轴长 C．的离心率等于的离心率 D．的焦距等于的焦距 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线：（，）的两个焦点分别为，（），直线：与双曲线的右支交于，两点，且，则（   ） A．当时，双曲线的离心率为 B．当时，与的面积之比为5∶1 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，与的周长之比为5∶3 三、填空题 12．（25-26高二上·四川绵阳·期末）双曲线的渐近线方程为___________． 13．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为___________． 14．（25-26高二上·重庆·期中）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 16．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； (2)设，求的面积. 18．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 19．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线，左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求； (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 双曲线的简单几何性质 【人教A版】 模块二 双曲线的简单几何性质 【知识点1 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率. 3．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 双曲线的简单几何性质】 【例1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【解题思路】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【解答过程】由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 【变式1-1】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长及半焦距即可得解. 【解答过程】双曲线的实半轴长，半焦距， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的几何性质可得方程，解得的值，即可得解. 【解答过程】因为双曲线（，）的上焦点为， 所以，渐近线方程为，则， 因为，所以，解得，即，可知， 则该双曲线实半轴长为 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的焦点坐标为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【答案】A 【解题思路】根据焦点相同求出双曲线方程为，逐项分析即可判断. 【解答过程】椭圆半焦距，则，解得，双曲线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错误； 对于C，双曲线的离心率，C错误； 对于D，双曲线的实轴长为2，D错误. 故选：A. 【题型2 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例2】（25-26高三上·福建·开学考试）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得，再由离心率和关系求，得到双曲线的标准方程. 【解答过程】 依题意，，，解得，， 所以， 故该双曲线方程为． 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 【变式2-3】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； (3)焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【解答过程】（1）由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. （2）由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. （3）由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 【题型3 双曲线的对称性及其应用】 【例3】（25-26高三上·江苏·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】延长交双曲线左支于点，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【解答过程】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【变式3-1】（2026·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【解答过程】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 ____________. 【答案】6 【解题思路】根据双曲线的定义和对称性，可列式求值. 【解答过程】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 故答案为：6. 【变式3-3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【解答过程】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为：. 【题型4 双曲线的渐近线方程】 【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件求出，再求渐近线方程. 【解答过程】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【解答过程】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求出，再由渐近线的定义即可得解. 【解答过程】依题意，由为双曲线的焦点得，所以， 故渐近线方程为． 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·广西·阶段检测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将到的距离表示出来，然后得到，然后根据和列出等式求出结果即可. 【解答过程】由题意知，一条渐近线方程为：，即. 设为到的距离，则，， 在中，在中， 所以，化简得：，由于， 所以，即，所以渐近线方程为. 故选：B. 【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】 【例5】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式5-1】（2026高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是其渐近线上一点，若，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意可得，进而可判断为正三角形，求得，得解. 【解答过程】由，得为直角三角形， 又，所以点在第一或第四象限内，不妨取点在第一象限内，如图， 则，又，所以为正三角形，故， 因为点是其渐近线上的一点，所以， 则双曲线的离心率. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支相交于P、Q两点，若，点位于第一象限，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，，易得，令，则，利用双曲线的性质可得，可求出、，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】如下图所示： 由，不妨设，则，， 于是，，设，则， 由双曲线的定义得， 即，解得，因此，解得， ，，由勾股定理得， 即，解得，所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【解答过程】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 【题型6 由双曲线的离心率求参数】 【例6】（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【解答过程】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【解题思路】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 【变式6-2】（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【解答过程】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 【变式6-3】（25-26高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】根据离心率列方程，从而求得. 【解答过程】，，因为，所以，解得. 故选：B. 【题型7 双曲线中的最值问题】 【例7】（25-26高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【解答过程】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 【变式7-1】（2026·新疆·模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解题思路】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【解答过程】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以 ， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的性质求解； （2）利用点在双曲线上以及两点间的距离公式求解. 【解答过程】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 【变式7-3】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【解答过程】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 【题型8 双曲线的实际应用】 【例8】（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解题思路】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【解答过程】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【解答过程】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， ， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D. 【变式8-3】（25-26高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为. 由题意可知，代入双曲线方程，得， 所以该塔筒的高为. 故选:C. 模块三 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【解题思路】由点在双曲线上代入解得，确定双曲线的方程即可得到虚轴长为. 【解答过程】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 2．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）点到双曲线C：的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解. 【解答过程】由题意可知，双曲线的渐近线方程为， 即，不妨取渐近线为， 根据点到直线距离公式， 将点代入到公式可得. 故选：C. 3．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）双曲线与的（    ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．渐近线方程相同 D．焦距相等 【答案】C 【解题思路】分别求出两个双曲线的实轴长，虚轴长，焦距及渐近线方程，比较即可判断各选项. 【解答过程】对于双曲线的实轴长为4，虚轴长为， 焦距为，渐近线方程为； 对于双曲线，当时，实轴长为， 虚轴长为，焦距为，渐近线方程为； 当时，实轴长为，虚轴长为， 渐近线方程为，焦距为. 故选：C. 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【解答过程】依题意，，， 又，所以，整理得， 所以， 所以双曲线E的渐近线方程为， 故选：B. 6．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据角平分线性质可得，，结合双曲线定义可得，，利用余弦定理列式求解即可. 【解答过程】因为为的平分线，且，，， 则，即， 由双曲线定义可得，即，解得， 又因为的平分线垂直于，则， 可得，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【解答过程】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义，可得和的表达式，设焦距，根据余弦定理，可得，根据的离心率，代入化简，可得，进而可得，代入双曲线的离心率公式，即可得答案. 【解答过程】由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式联立得， 设焦距， 由余弦定理得， 整理得，即， 又的离心率，所以，代入上式得， 所以的离心率. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设双曲线，则（    ） A．的虚轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABC 【解题思路】根据双曲线的几何性质计算虚轴长，焦距，离心率及渐近线判断各个选项. 【解答过程】由题意得，则， 虚轴长为，选项A正确； ，焦距为，选项B正确； 的离心率为，选项C正确； 渐近线为，选项D错误． 故选：ABC. 10．（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，双曲线，双曲线，则（   ） A． 的实轴长等于的虚轴长 B．的虚轴长等于的实轴长 C．的离心率等于的离心率 D．的焦距等于的焦距 【答案】ABD 【解题思路】先根据已知双曲线方程，结合双曲线的性质，分别求出双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和焦距，再分析选项的正误． 【解答过程】由题意得双曲线，则， 双曲线，则， 又，双曲线的实轴长为， 虚轴长为，焦距为，， 双曲线的实轴长为，虚轴长为， 焦距为，， ，即 的实轴长等于的虚轴长，故A正确； ，即的虚轴长等于的实轴长，故B正确； ，当且仅当时，，当时，， 双曲线的离心率不一定等于的离心率，故C错误； ， 的焦距等于的焦距，故D正确． 故选：ABD． 11．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线：（，）的两个焦点分别为，（），直线：与双曲线的右支交于，两点，且，则（   ） A．当时，双曲线的离心率为 B．当时，与的面积之比为5∶1 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，与的周长之比为5∶3 【答案】ACD 【解题思路】选项A和C，假设，则，在中，根据双曲线定义和余弦定理可得关系，再根据和求解； 选项B，利用和等高，即高为到直线的距离，结合面积公式求解； 选项D，利用，求得，再利用焦三角形性质分别求和周长. 【解答过程】由题意可知直线过双曲线的右焦点，如图所示：    不妨设点位于第一象限，则，， 设，则. 由双曲线的定义可知，. 在中，由余弦定理可得， 即， 即①. 在中，同理可得②. 当时，由①可得③， 联立②③，得，则，A正确. 设点到直线的距离为， 则，B错误； 当时，由①可得④， 联立②④，得，则，C正确； 将代入④，得， 则的周长为， 的周长为， 则与的周长之比为，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川绵阳·期末）双曲线的渐近线方程为___________． 【答案】 【解题思路】利用双曲线的性质计算即可. 【解答过程】令可得， 即双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解题思路】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·重庆·期中）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解题思路】由题意求得的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【解答过程】由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解. （2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得. 【解答过程】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的方程为，标准方程为. 16．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实轴求出a值，根据离心率求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理，可得的值，代入完全平方公式，化简变形，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以 ， 所以. 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. (1)求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； (2)设，求的面积. 【答案】(1)，和 (2) 【解题思路】（1）根据题意求出，得出即可求解； （2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，，即， 所以，， 所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即和. （2）如图， 设，， 由双曲线的定义可得：，则有，① 又由，则有，② 联立①②解可得， 则△的面积. 18．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【解答过程】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以， 所以方程为，即：. 19．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线，左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求； (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）由双曲线的方程知，， 因为的离心率为2，所以，所以， 从而得，解得. （2）当时，由双曲线，可得. 因为点在第一象限，所以为钝角.又为等腰三角形， 所以. 设点，且，则，解得， 所以点的坐标为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $