第18讲 双曲线及其标准方程（七大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册
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精品
内容正文：
第18讲 双曲线及其标准方程
【人教A版】
模块二 双曲线及其标准方程
【知识点1 双曲线及其标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
【题型1 双曲线的定义及辨析】
【例1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A．3 B．17 C．3或15 D．1或17
【变式1-1】（25-26高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或5
【变式1-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ）
A．6 B．10 C．2 D．6或10
【变式1-3】（25-26高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A．6或18 B．18
C．8或20 D．22
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上；
(2)，经过点，焦点在轴上；
(3)双曲线过两点．
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】
【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C．3 D．
【变式4-1】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知双曲线的上焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则__________．
【变式4-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的焦点分别为，，则___________.
【题型5 求双曲线的轨迹方程】
【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（25-26高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】
【例6】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（25-26高三上·辽宁·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．
【变式6-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
模块三 双曲线的焦点三角形
【知识点2 双曲线的焦点三角形】
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
【题型7 双曲线中焦点三角形问题】
【例7】（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（ ）
A．16 B． C．32 D．
【变式7-1】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
【变式7-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
【变式7-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.
模块四 课后提升练（19题）
一、单选题
1．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．5或13 D．7或11
2．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C． D．
3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．11 B．9 C． D．5
8．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
二、多选题
9．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是双曲线，则焦距为
10．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A． B．
C．的面积为31 D．的周长为
三、填空题
12．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为____________.
13．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，____________.
14．（25-26高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为____________.
四、解答题
15．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为，，且经过点；
(2)经过点和．
16．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积．
17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若点在上，且，求的面积.
18．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)若，求的面积.
19．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题：
(1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值；
(2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值．
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第18讲 双曲线及其标准方程
【人教A版】
模块二 双曲线及其标准方程
【知识点1 双曲线及其标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
【题型1 双曲线的定义及辨析】
【例1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A．3 B．17 C．3或15 D．1或17
【答案】C
【解题思路】利用双曲线的定义即可求解.
【解答过程】由题意有：，，，
由双曲线的定义有：，且，
所以，所以或.
故选：C.
【变式1-1】（25-26高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．2或5
【答案】B
【解题思路】首先求出、，再根据双曲线的定义计算可得.
【解答过程】双曲线，则，，所以，
又，，解得或，
又，所以.
故选：B.
【变式1-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ）
A．6 B．10 C．2 D．6或10
【答案】D
【解题思路】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解.
【解答过程】因为双曲线的方程为，所以，.
已知，由双曲线的定义可得，即，
所以或.
由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或.
故选：D.
【变式1-3】（25-26高二上·河南驻马店·期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（ ）
A．6或18 B．18
C．8或20 D．22
【答案】B
【解题思路】根据中位线性质可得，利用双曲线的定义可得.
【解答过程】设双曲线的右焦点为，连接.
由题意得，
∵M为线段FP的中点，为线段的中点，
∴，
由双曲线定义得，，故.
故选：B.
【题型2 曲线方程与双曲线】
【例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围.
【解答过程】依题意，方程表示双曲线，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【变式2-1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】利用方程表示双曲线求出的取值范围，根据充分条件和必要条件得到结论.
【解答过程】表示双曲线，
，
，
“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件.
故选：C.
【变式2-2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可.
【解答过程】若方程表示双曲线，
则，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：C.
【变式2-3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解.
【解答过程】方程表示焦点在轴上的双曲线，
由题意可得
解得，
故选：B．
【题型3 双曲线的标准方程的求解】
【例3】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解.
【解答过程】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为，
且，由双曲线性质得，即①，
双曲线过点，
将其代入标准方程得：，化简为②，
联立①②，得，
解得，，
所以双曲线方程为
故选：D.
【变式3-1】（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可.
【解答过程】设双曲线的方程为，
由题可得，
，所以，
解得或（舍），
所以，所以该双曲线的方程为.
故选：A.
【变式3-2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解；
（2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
由，经过点，
可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）依题意设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，焦点在轴上；
(2)，经过点，焦点在轴上；
(3)双曲线过两点．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）利用求出双曲线的标准方程.
（2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可.
（3）设方程为，建立方程组求解即得.
【解答过程】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得，
所以所求双曲线的标准方程为.
（2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由，且点在双曲线上，得，解得，
所以所求双曲线的标准方程为.
（3）设所求双曲线方程为，
由点在双曲线上，得，解得，
所以所求双曲线的标准方程为.
【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】
【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解题思路】由双曲线中的平方关系即可得出答案.
【解答过程】由题意得，所以．
故选：A.
【变式4-1】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知双曲线的上焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.
【解答过程】因为知双曲线的上焦点为，
所以可化为，
故.
故选：D.
【变式4-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则__________．
【答案】
【解题思路】先根据焦距求出，再利用双曲线方程求出，最后利用双曲线的性质列方程求解．
【解答过程】双曲线焦距为，，
又焦点在x轴上的双曲线方程为：，
，
，
，解得．
故答案为：．
【变式4-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的焦点分别为，，则___________.
【答案】
【解题思路】根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，进而根据双曲线的几何性质可得，解方程即可.
【解答过程】由题知，双曲线的焦点分别为，，
所以双曲线焦点在轴上，，且，
所以，解得.
故答案为：.
【题型5 求双曲线的轨迹方程】
【例5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案.
【解答过程】因为圆心，，所以，
因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，
所以，
所以，
所以Q点轨迹为双曲线，且，
所以，则点的轨迹方程为.
故选：B.
【变式5-1】（2026·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程.
【解答过程】依题意，设点，由，
可得，即得点的轨迹方程为.
故选：A.
【变式5-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用双曲线定义计算即可得.
【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少，
又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支，
其中，，则，
又，故爆炸点所在曲线的方程为.
故选：B.
【变式5-3】（25-26高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【解答过程】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B.
【题型6 利用定义求双曲线中线段和、差的最值】
【例6】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可.
【解答过程】
由题知，，，所以，
设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上，
由双曲线的定义知，
所以,
当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式6-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可．
【解答过程】设双曲线的右焦点为，则，，
而（渐近线斜率），
故直线与双曲线的右支交于两个不同的点，
而，仅当共线且A在之间时等号成立，
所以，
当共线且A在之间时等号成立．
所以的最大值为，
故选：C.
【变式6-2】（25-26高三上·辽宁·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【解答过程】由圆可化为，
则，半径为1，
因为是的下焦点，则，
由双曲线定义可得，
所以，
当且仅当四点共线时，取得最小值，
即的最小值是.
故选：B.
【变式6-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【答案】B
【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值.
【解答过程】
由，得，，则，
则双曲线的两个焦点，，
又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径，
所以，，
则
，
即的最大值为．
故选：B.
模块三 双曲线的焦点三角形
【知识点2 双曲线的焦点三角形】
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.
(2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式，求得面积.
方法二：利用公式，求得面积.
(3)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为.
【题型7 双曲线中焦点三角形问题】
【例7】（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（ ）
A．16 B． C．32 D．
【答案】A
【解题思路】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积.
【解答过程】由双曲线的实轴长为4，得，
所以，
又，所以，
因为，所以，
又，所以，
又，所以为等腰直角三角形，
由，得，
所以的面积为.
故选：A.
【变式7-1】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解题思路】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解.
【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得，
所以，四边形为矩形，则，
由双曲线，得，
所以，又由双曲线的定义有，
所以，得，
所以，
即，而，
所以，所以的周长为.
故选：C.
【变式7-2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案；
（2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解.
【解答过程】（1）椭圆的焦点为和，
所以双曲线的，所以，
又双曲线过点，所以，
由，解得，
双曲线的标准方程为
（2）设，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得，
所以，
则的面积，
【变式7-3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.
【答案】(1)10或22
(2)
【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）由双曲线的定义和余弦定理得得解.
【解答过程】（1）双曲线的标准方程为，
故，，，
由双曲线的定义得，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则，解得或.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
（2）由双曲线的定义和余弦定理得，
，
所以，
所以，
所以.
模块四 课后提升练（19题）
一、单选题
1．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．5或13 D．7或11
【答案】C
【解题思路】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案.
【解答过程】由双曲线的方程可得，则，
解得，
由双曲线的定义可知，
因为，所以或13.
当时，，符合题意，
当时，，符合题意.
故选：C.
2．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】B
【解题思路】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可.
【解答过程】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，，
根据得，，所以.
故选：B.
3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可.
【解答过程】由题意可得，
解得，
即实数的取值范围为.
故选：B.
4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程.
【解答过程】由题设，圆的半径为，则，
所以，点的轨迹是以，为焦点，
所以，的双曲线的左支，
又，则，故，
动圆圆心的轨迹方程为.
故选：C.
5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程.
【解答过程】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，
设双曲线，
，
，
由双曲线的定义得，解得，
，所以双曲线.
故选：C.
6．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出.
【解答过程】点是双曲线左支上的点，，
又，设，，解得，，
又双曲线，，，
，
，
.
故选：D.
7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．11 B．9 C． D．5
【答案】B
【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得．
【解答过程】由，得，，，
所以上焦点，则下焦点为，又，
由双曲线的定义得，
由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．
故选：B．
8．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
【答案】B
【解题思路】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案.
【解答过程】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，，
连接，，，，则，
因为，，
所以
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，
故选：B.
二、多选题
9．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是双曲线，则焦距为
【答案】BC
【解题思路】对于选项A，B，C根据椭圆和双曲线的标准方程满足的条件，列出关于的不等式组，求解的取值范围，判断各选项的正确性；对于选项D，根据求解.
【解答过程】对于选项A，曲线为椭圆需满足，解得且，故选项A错误；
对于选项B，曲线为双曲线需满足，解得或，故选项B正确；
对于选项C，焦点在轴上的椭圆需满足，解得，故选项C正确；
对于选项D，因为曲线表示双曲线，所以或，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以，故选项D错误.
故选：BC.
10．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上位于第一象限的一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解题思路】根据题意，利用双曲线的定义与勾股定理得到关于的方程组，解之即可得解.
【解答过程】由题设，是双曲线与以为直径的圆在第一象限上的交点，
且，，则，
则，，
联立，解得，
故，.
故选：ABC.
11．（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A． B．
C．的面积为31 D．的周长为
【答案】AD
【解题思路】根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、b、c的值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出的取值即可得出D答案.
【解答过程】由题知，，则．因为在第一象限，所以．
在中，因为，所以，A正确；
且，可得，B错误；
所以，C错误；
因为，所以，
故的周长为，D正确．
故选：AD.
三、填空题
12．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解题思路】根据双曲线的方程格式进行计算即可.
【解答过程】因为方程表示双曲线，
所以，解得或；
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
13．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，____________.
【答案】
【解题思路】根据给定条件，确定点在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解.
【解答过程】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上，
又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此，
所以.
故答案为：.
14．（25-26高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为____________.
【答案】
【解题思路】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解.
【解答过程】设双曲线E：的右焦点为，则.
由双曲线定义可得，即.
，
当且仅当三点共线时，取得最大值.
∵点N是圆上的动点，
∴圆心设为，半径，
.
故答案为：.
四、解答题
15．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为，，且经过点；
(2)经过点和．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可；
（2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可.
【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为．
由题意知，所以．①；
因为点在双曲线上，所以．②
由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为．
（2）设双曲线的方程为，
则，解得，
所以所求双曲线的标准方程为．
16．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.
（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.
【解答过程】（1）椭圆的焦点为和，
依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）设，，则由双曲线的定义得，
在中，，
则，所以的面积.
17．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若点在上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)5
【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解即可；
（2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案.
【解答过程】（1）由双曲线的定义及，
可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，
设其标准方程为（，），
则，解得，，
所以的方程为；
（2）设，，由双曲线的定义得，
因为，所以，
所以的面积为.
18．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，.
(1)求的方程；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）设，由点在上和即可求解；
（2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解.
【解答过程】（1）设，
由题意可知，当时，，
由点在上可得，即，
又，所以，
所以的方程为.
（2）
由（1）可知，
则，
由题得，
解得，
所以的面积.
19．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题：
(1)已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线外一点，点在双曲线的右支上，求的最小值；
(2)已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用双曲线定义把求的最小值转化为求的最小值，再利用两点间线段最短求解；
（2）利用双曲线定义，结合圆的性质及两点间线段最短求解最小值．
【解答过程】（1）由题意知，
所以要求的最小值，只需求的最小值，
如图1所示，连接交双曲线的右支于点，
当点位于点处时，最小，最小值为．
故的最小值为．
（2）设点的坐标为，则点，是双曲线的焦点，
如图2所示，连接，，
由双曲线的定义，得．
所以 ．
因为点是圆上的点，圆的圆心为，半径为1，
所以，从而，
当且仅当点，在线段上时，等号成立，
故的最小值为．
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