第20讲 直线与双曲线的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第20讲 直线与双曲线的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与双曲线的位置关系 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（26-27高二上·全国·课堂例题）直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【解答过程】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C.    【变式1-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解题思路】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可. 【解答过程】直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C. 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【解答过程】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】联立方程得，由题意该方程无解，进而可得. 【解答过程】直线方程与双曲线方程联立：，得， 由题意无解， 当时，即时，方程有一个解，直线方程与双曲线有一个公共点，舍去； 当时，则，即或，无公共点. 综上所述：或， 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【解答过程】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，， 所以 ＝3. 故选：B.    【变式3-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【解答过程】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【解答过程】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 【变式3-3】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【解答过程】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【变式4-1】（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【解答过程】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【解答过程】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， ， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 【变式4-3】（25-26高三下·湖南永州·阶段检测）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点坐标，由点差法分析得到，然后将各个选项代入等式后求得，然后得到直线方程，验证直线方程与曲线是否存在交点即可. 【解答过程】设，，则中点坐标为 ∴，则， ∴， A选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去； B选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去. C选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点存在. A选项知，则，则直线，因为，所以直线是曲线的一条渐近线，故这样的点不存在，舍去. 故选：C. 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二下·四川自贡·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解答过程】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线与双曲线交于两点. (1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围； (2)设，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合双曲线的性质，根据直线与双曲线有两个异支交点，即可得到结果； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形面积. 【解答过程】（1）由题知，直线恒过， 又双曲线的渐近线方程为， 所以要使直线与双曲线交于左支和右支上的两点， 则，即的取值范围为. （2）由题联立，可得， 所以， 所以， 又点到直线距离为， 所以的面积为. 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii）. 【解题思路】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以，解得，， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）证明：易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴. ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为. 【题型6 双曲线中的参数范围及最值问题】 【例6】（2026·江西赣州·一模）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围. 【解答过程】因为直线与双曲线没有公共点， 所以双曲线的渐近线的斜率， 而双曲线的离心率， 当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即， 则双曲线的方程为， 设、、，则， 两式相减得：，即，即， 又，． 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 【变式6-3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【解题思路】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【解答过程】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则 ， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用双曲线离心率公式即可求解； （2）设过的直线方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，表示出直线BD的方程化简即可求解，注意讨论斜率为零的情形. 【解答过程】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点 ，所以 ，解得. 所以双曲线的方程为： . （2）证明：由题意得，故， 过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在 轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故此时直线BD过定点. 若过的直线的斜率为零，则此时即为 轴，此时也过， 综上，直线BD过定点. 【变式7-1】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它的一条渐近线的一个方向向量． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由焦点坐标得，渐近线方向向量推出，结合解出，写出双曲线标准方程； （2）设联立双曲线，得到韦达定理，把用表示，代入韦达的和与积化简，证得乘积为定值． 【解答过程】（1）已知双曲线右焦点为，故，双曲线的一条渐近线的方向向量， 则，且，解得， 故双曲线的标准方程为：． （2）证明：由（1）知，， 由题可知直线斜率不为0，故设其方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴， ， 故为定值． 【变式7-2】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【解答过程】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）证明：易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【变式7-3】（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率、半焦距和双曲线关系可构造方程组求得结果； （2）将直线方程与双曲线方程联立，可得韦达定理的结论，并得到；结合韦达定理化简得到，代入所求式子，即可根据二次函数最值求得结果； （3）将直线与联立，结合可构造方程求得，由此可得在定直线上. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意得：，解得：，，双曲线的方程为. （2）由（1）知：双曲线的上下顶点为， 由题意知：直线斜率显然存在，可设直线，，， 联立得：， 则， ，，， ， ，， 当时，取得最小值，最小值为. （3）证明：直线的方程为，直线的方程为， 联立得：，解得：， 即点在定直线上. 【变式8-1】（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【解答过程】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 【变式8-2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【解题思路】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【变式8-3】（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 【答案】(1) (2)24 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用离心率和焦点到渐近线的距离这两个条件，求出的值，从而确定双曲线方程； （2）由双曲线的对称性四边形为平行四边形，故，设出直线的方程，分别与双曲线联立，由计算四边形面积并借助函数的单调性求最小值； （3）写出直线和的方程，联立求解交点的坐标，证明其横坐标为定值. 【解答过程】（1）因为双曲线的离心率，故， 而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为， 而，故， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设， 由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形， 且为平行四边形的对角线中点，故， 联立，故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而 ， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，四边形的面积的最小值为 （3）证明：左顶点，右顶点， 设过的直线方程 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得，代入 计算：． 由（2）知， 注意到，代入得：， 因此，解得. 故交点的横坐标恒为，即在定直线上. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可. 【解答过程】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【解答过程】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】讨论直线与双曲线的右支只有一个交点的临界情况，即直线与双曲线右支相切或直线与双曲线的渐近线平行求对应参数值，数形结合确定参数范围. 【解答过程】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选：A. 4．（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 6．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【解答过程】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C. 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 【答案】ABC 【解题思路】A由实轴的定义计算；B利用点到直线的距离公式计算；C联立方程组根据判断；D设直线方程，根据韦达定理计算. 【解答过程】由题意可知，，则， 则实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离为， 由对称性可得双曲线的焦点到渐近线的距离为1，故B正确； 联立得， 因直线与没有公共点，则， 得，故C正确； 若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，故设直线方程为， 联立，得， 则由韦达定理可得，且，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【解题思路】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【解答过程】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 【答案】ACD 【解题思路】设出点P坐标，直接计算可判断A、C；比较双曲线的通径长和实轴长可判断B；设出直线l的方程后联立渐近线方程，求出点M，N的坐标，再联立直线l与双曲线方程，利用判别式为零可得参数关系，进而计算点M，N的纵坐标之积可得结果. 【解答过程】依题意，，，，，， 设，则，，即， 双曲线C的两条渐近线方程为， 对于A，，A正确； 对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为， 若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误； 对于C， 是定值，C正确； 对于D，不妨设，，直线l的方程为， 由得， 若直线l与双曲线C相切，则， 化简整理得， 则点M，N的纵坐标之积，D正确. 故选：ACD.      三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为___________． 【答案】或 【解题思路】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【解答过程】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 13．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为___________． 【答案】1 【解题思路】设，通过点差法即可求解； 【解答过程】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1. 14．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解答过程】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与双曲线所过点列出方程，解得，即可确定双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，写出韦达定理，再运用弦长公式，即可得解. 【解答过程】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 17．（26-27高二上·河南·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. 【解答过程】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 18．（2026·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii） 【解题思路】（1）求出渐近线方程，根据垂直关系得到方程，求出，再根据通径长得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设过的直线方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，并得到，，表达出直线的方程，由对称性分析可知直线过的定点在轴上，又，从而求出，故直线过定点； （ii）在（i）基础上，得到，换元得到，，根据单调性求出最值. 【解答过程】（1）的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； （2）（i）证明：由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 19．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 直线与双曲线的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与双曲线的位置关系 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（26-27高二上·全国·课堂例题）直线与双曲线 的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【变式1-3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-2】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【变式3-3】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式4-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三下·湖南永州·阶段检测）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二下·四川自贡·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线与双曲线交于两点. (1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围； (2)设，求的面积. 【变式5-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【题型6 双曲线中的参数范围及最值问题】 【例6】（2026·江西赣州·一模）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【变式6-3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【变式7-1】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它的一条渐近线的一个方向向量． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，，求证：为定值． 【变式7-2】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【变式7-3】（2026·海南三亚·一模）已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（26-27高二上·全国·期中）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上. 【变式8-1】（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明：点Q在定直线上. 【变式8-2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式8-3】（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，则（　　） A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C．若直线与没有公共点，则 D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点 10．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 11．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为___________． 13．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为___________． 14．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为___________． 四、解答题 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 16．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 17．（26-27高二上·河南·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 18．（2026·新疆·模拟预测）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线G的方程； (2)过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 19．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $