第17讲 直线与椭圆的位置关系（九大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第17讲 直线与椭圆的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与椭圆的位置关系 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解题思路】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【解答过程】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式1-2】（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【解答过程】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【解答过程】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D. 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【解答过程】由可得， 故，故或， 故选：D. 【变式2-3】（25-26高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案. 【解答过程】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【解答过程】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【解答过程】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题直接求得，从而求得椭圆的方程； （2）写出直线的方程，联立椭圆方程，表示出，根据弦长公式求得. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，由题可知，，解得. 所以椭圆的方程为. （2）易知， 因为，所以直线的方程为. 由，得， 设，则. 所以.    【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·安徽合肥·期中）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，通过点差法即可求解. 【解答过程】设，，则， 所以， 整理得， 因为为弦的中点， 所以，， 所以， 所以弦所在直线的方程为， 即. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设， ，利用点差法计算可得. 【解答过程】依题意直线的斜率存在，设， ， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】中点弦问题，利用 “点差法”求解即可. 【解答过程】设过点的直线与椭圆相交于，两点，则 ， 且，两式相减，整理得：， 所以，即直线的斜率为. 故所求直线方程为，即. 故选：C. 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件先确定椭圆的方程，结合点到直线的距离公式、弦长公式计算三角形面积即可. 【解答过程】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以 的面积为. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】先联立方程组得出判别式大于0，得,再根据点到直线距离得出参数. 【解答过程】联立，化简得, 因为直线与交于两点，所以, 解得,即得, 由已知的面积是的面积的2倍，得, ，解得或， 时，不合题意，故. 故选：B. 【变式5-2】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆的顶点和焦距的概念，写出参数，进而求出，直接写出标准方程即可； （2）根据直线所过的定点，设出方程，联立椭圆标准方程，根据韦达定理以及椭圆弦长公式，求出直线斜率，进而根据点到直线距离公式求出三角形的高，直接求出面积. 【解答过程】（1）由题可知，可得，则， 所以椭圆标准方程为. （2）设点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组得，消去得， 当时，即时，即或时， 直线与椭圆存在两个交点，此时， 可知， 可得，化简得，解得，即， 由对称性可知，或时，的面积相同， 当时，直线方程为，即， 此时原点到直线的距离为， 则的面积为. 【变式5-3】（2026·四川成都·二模）设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． (1)求的离心率； (2)设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）4 【解题思路】（1）写出的面积表达式，可得出，即可求出离心率； （2）（i）设，利用两点间距离公式以及二次函数最值可求得当时，取得最大值为，求得，可得出的方程； （ii）对直线的斜率是否存在分类讨论，联立直线与椭圆方程，解得，再由三角形面积关系可求得，利用椭圆范围以及二次函数最值可求得的最大值为4. 【解答过程】（1）易知， 所以的面积为，可得， 又因为，可知； 故的离心率为 （2）（i）由（1）可知的方程可设为； 设，则，可得，又， 故 因为，所以时，取得最大值为， 即，解得. 故的方程为. （ii）设，则，所以； 当时，此时直线的斜率不存在，可得，， 故， 当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如下图： 联立可得， 解得， 因为，与共底边， 所以 又因为，所以， 可得， 令，因为，所以； 因此； 当时，取得最大值为4， 此时，解得， 因为点在第一象限内，故，即； 综上可知，的最大值为4. 【题型6 椭圆中的参数范围及最值问题】 【例6】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【解答过程】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】显然直线斜率存在，设其方程为，设，，直线方程代入椭圆方程整理后由韦达定理得，由中点坐标公式表示出中点的横坐标，然后用横坐标表示出并化为的代数式，从而求得最大值． 【解答过程】显然直线斜率存在，设其方程为，设，， 由得，， ，， ∴，， ， ， 又，时取得最大值1， 所以的最小值是． 故选：A． 【变式6-2】（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）;（ⅱ） 【解题思路】（1）由已知左顶点和离心率，直接求出的值即可写出椭圆标准方程.    （2）（i）以直线的斜率为参数表示出中点的坐标，利用构成的相似三角形面积比推出，再将点坐标代入椭圆方程解出即可求得点，（ii）将两弦长用斜率表示出来，化简发现平方和为定值，最后由基本不等式直接求出最大值. 【解答过程】（1）由题意得，所以，所以， 进而，即， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设点，由点在椭圆上且位于轴的上方知， 故直线的斜率必存在且大于，故设的方程为， 联立，整理得， 所以有，整理得，进而， 因为是线段的中点，所以点，即， 因为直线过原点且与平行，即，所以相似于， 直线即直线交于点，交于点， 则有， 因为时在第二象限,所以的斜率小于， 此时三点共线且在之间，即， 即，即，故点， 将其代入椭圆方程得， 代入得， 解得，因为，所以， 所以，即点. （ⅱ）由上知，直线的斜率为，其方程为， 联立，整理得， 则， 又直线的斜率为 故直线的方程为， 联立，整理得， 则， 则， 所以， 当且仅当，即，解得时等号成立， 此时点，故的最大值为. 【变式6-3】（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【解答过程】（1）将点和点代入 （）得， 解得，，所以的方程为． （2）证明：由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由椭圆过点的坐标及离心率公式，求出，得到椭圆的方程； （2）先设出直线和的方程，联立方程组求出点，的坐标，进而求出直线的方程，得到直线过定点. 【解答过程】（1）点在椭圆：上，所以， 椭圆的离心率为，，，， 得，，，， 椭圆的标准方程为. （2）证明：设过点的直线，，， 联立方程组得，得， ， ， ，则， ，所以， 同理可得，即， 当时，， 直线的方程为， 整理可得， 所以直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点， 所以直线恒过定点. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）证明：设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【变式7-2】（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 【解题思路】（1）由椭圆的性质列出方程解得参数即可写出椭圆方程； （2）（ⅰ）设交点坐标，讨论直线斜率，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标的关系式，从而写出直线的方程，由直线方程得到直线的定点坐标； （ⅱ）由（ⅰ）得并通过（ⅰ）中结论化简，通过换元法结合基本不等式求得面积的最大值. 【解答过程】（1）依题意可知， 解得，， 椭圆的标准方程为． （2）（i）证明：设，，， 当直线斜率为时，直线与轴重合，，，三点共线， 直线恒过定点，定点在轴上， 当直线斜率不为时，设直线方程为， 依题意， 得，， ，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以得， 所以直线恒过定点． （ⅱ）由（ⅰ）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 【变式7-3】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆 （）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由已知条件结合椭圆的定义及离心率公式，确定的值，从而求得的值，得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，根据弦长公式列得关于的方程，求解可得的值，进而根据直线的方程，求得其斜率； （3）结合韦达定理，由斜率公式用表示，化简即可得解. 【解答过程】（1）由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. （3）证明：由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合焦点坐标，列出方程组求解即可； （2）设出切线方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系可求出切点坐标；再求出过点的垂线，与直线联立求出点坐标后即可证得. 【解答过程】（1）依题意，，，解得，，即，，所以椭圆的方程为； （2）证明：依题意，直线的斜率存在且不为零，由（1）知，，设直线为，，则，， 由，得， 所以，由，得； 所以，所以，即； 又因为，所以，直线的方程即为； 由，得； 又与直线垂直，所以，所以直线的方程为； 由，得，即，解得；所以点在定直线上. 【变式8-1】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题设结合椭圆中的几何意义及其关系即可求解； （2）先由题设直线，与椭圆联立得韦达定理，将韦达定理代入转换化简后的代数式求出点T的横坐标为定值即可得证. 【解答过程】（1）由题可得即， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上.    【变式8-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简； （3）直线的方程为，联立直线、的方程求出点的坐标，结合韦达定理化简得出. 【解答过程】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）证明：依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设， ， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 【变式8-3】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)点Q在定直线上 【解题思路】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【解答过程】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 【题型9 椭圆中的向量问题】 【例9】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【解答过程】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 【变式9-1】（2026·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【解答过程】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D. 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【解答过程】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 【变式9-3】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【解答过程】（1）由题意， ， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由 . 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以 . 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以 ， 所以 ， 当时，取得最大值，为. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解题思路】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【解答过程】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值. 【解答过程】设点、，直线的方程可化为， 联立可得，解得，， 由弦长公式可得. 故选：C. 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【解答过程】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 4．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程求得m的值，进而求得两平行线间的距离得到最小值． 【解答过程】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去x，整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为． 所以最小值为． 故选：B． 5．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【解答过程】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C. 7．（25-26高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解答过程】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 8．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【解答过程】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数n的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】设对称点为，线段的中点为，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理、、以及，得出的范围即可. 【解答过程】设椭圆上关于直线对称的两点是，，线段的中点为，则， 因为直线l的斜率为，所以直线的斜率为，设直线的方程为， 联立，得， 解得，即， 由韦达定理得，， 所以，，， 所以，解得，所以，即， 结合选项可知C不符合题意． 故选：ABD． 10．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，射线（为坐标原点）交椭圆于点，则（    ） A．椭圆的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当时，直线的方程为 D．当轴时，的面积为 【答案】AC 【解题思路】利用椭圆的性质计算参数可判定A，利用中点弦可判定B，利用两直线垂直的关系结合点斜式可判定C，先计算，再联立直线与椭圆方程计算N点坐标，即可判定D. 【解答过程】A，易知，解得，所以，故A正确； B，设，则，作差得， 即，易知，故B错误；    C，当时，，则直线为，故C正确； D，当轴时，此时，不妨设，则， 所以，易知，与椭圆联立可得， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设求得的斜率，利用点在椭圆上得到，代入化简即得；D选项，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【解答过程】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A正确，B错误； C选项，∵ A,B 为的左、右顶点，∴, 设由题意得，则， 的斜率为 则，故C正确；    D选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得，， 由，解得， 设，则， 则， ， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为___________. 【答案】 【解题思路】利用点差法求解即可. 【解答过程】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆的方程为，点P的坐标为，则过点P且与椭圆相切的直线方程为___________． 【答案】或 【解题思路】设出切线方程，联立方程组，通过判别式为0，求解即可． 【解答过程】椭圆的方程为，可得，点P的坐标为， 过点P且与椭圆相切的直线方程之一是， 另一条切线为：， 由可得， ，解得， 所以切线方程为； 所以过点P且与椭圆相切的直线方程：或． 故答案为：或． 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【解答过程】取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，最大值为.    故答案为：. 四、解答题 15．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆长轴长与离心率求出代入椭圆的标准方程即可. （2）联立直线方程与椭圆方程，有两个公共点即联立后的方程有两根，结合根的判别式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题设，则， 故椭圆； （2）联立，则，化简得：， 由直线与椭圆有两个公共点，则， 得. 16．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）由椭圆的长轴及点在椭圆上建立方程，解得，即可求得椭圆离心率； （2）由（1）得到椭圆方程，设交点坐标，然后代入椭圆方程，由中点坐标即可求出直线斜率. 【解答过程】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 17．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【解答过程】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）证明：   设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 19．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【解题思路】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【解答过程】（1）由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． （2）①证明：由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 直线与椭圆的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与椭圆的位置关系 【知识点1 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【题型1 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【变式1-1】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-2】（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式1-3】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【题型2 根据直线与椭圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦”问题 (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型3 椭圆的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求的方程； (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为直线与交于两点，求． 【题型4 椭圆的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·安徽合肥·期中）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 【变式5-3】（2026·四川成都·二模）设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为． (1)求的离心率； (2)设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2． （i）求的方程； （ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值． 【题型6 椭圆中的参数范围及最值问题】 【例6】（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知过点D（2，0）的直线l与椭圆 相交于不同的两点A、B，M是弦AB的中点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 【变式6-3】（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【题型7 椭圆中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【变式7-2】（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【变式7-3】（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆 （）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【题型8 椭圆中的定直线问题】 【例8】（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），过点作垂直于交直线于点，证明点在定直线上. 【变式8-1】（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 【变式8-2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【变式8-3】（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【题型9 椭圆中的向量问题】 【例9】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式9-2】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【变式9-3】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知椭圆与直线交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）椭圆上的点到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 7．（25-26高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 8．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数n的值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 10．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，射线（为坐标原点）交椭圆于点，则（    ） A．椭圆的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当时，直线的方程为 D．当轴时，的面积为 11．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 三、填空题 12．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为___________. 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知椭圆的方程为，点P的坐标为，则过点P且与椭圆相切的直线方程为___________． 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为___________． 四、解答题 15．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围. 16．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 17．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 19．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $